Kalkulator Distribusi Eksponensial
Masukkan laju λ atau rata-rata sebuah distribusi eksponensial dan sebuah nilai x, lalu dapatkan kepadatan, probabilitas kumulatif dan ekor, probabilitas rentang, median dan persentil apa pun — dengan perhitungan yang ditampilkan, pemeriksaan sifat tanpa memori, dan kurva yang diarsir. Gratis, tanpa perlu mendaftar.
Menambahkan P(x ≤ X ≤ nilai ini) ke hasil.
Menunjukkan bahwa sisa waktu tunggu yang akan datang tidak bergantung pada s.
Mencari x dengan P(X ≤ x) = p, misalnya 0,9 untuk persentil ke-90.
Hasil
λ = 1/rata-rata = 1/4 = 0,25
| Probabilitas | Arti | Nilai |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | paling banyak 6 (juga: kurang dari 6) | 0,7769 |
| P(X > 6) | lebih dari 6 (juga: paling sedikit 6; fungsi kelangsungan hidup) | 0,2231 |
| f(6) | Kepadatan pada x: f(x) = λe^(−λx). Kepadatan, bukan probabilitas: nilainya bisa melebihi 1. | 0,055783 |
4
Rata-rata (1/λ)
16
Varians (1/λ²)
4
Simpangan baku (1/λ)
2,7726
Median (ln 2 / λ)
0,25
Laju bahaya (λ)
Sifat tanpa memori
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. Keduanya sama: telah menunggu 3 sebelumnya tidak mengubah sisa waktu tunggu.
Kuantil
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Jadi P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
Kurva kepadatan
Kepadatan eksponensial dengan λ = 0,25. Area yang diarsir di bawah kurva adalah P(X ≤ x).
Cara Menggunakan Kalkulator Distribusi Eksponensial
- 1. Sebutkan parameter yang Anda ketahui. Pilih laju λ (kejadian per satuan waktu) atau rata-rata 1/λ (satuan waktu per kejadian), lalu ketikkan nilainya. Kalkulator mengonversi yang satunya dan menampilkan konversinya.
- 2. Masukkan x. Waktu, jarak atau besaran lain yang ingin Anda ketahui. Tambahkan batas atas jika Anda menginginkan probabilitas suatu rentang.
- 3. Tambahan opsional. Masukkan waktu yang sudah ditunggu, s, untuk melihat sifat tanpa memori bekerja, atau probabilitas p untuk mencari x yang memotongnya (p = 0,9 memberi persentil ke-90).
- 4. Baca hasilnya. P(X ≤ x), P(X > x), kepadatan f(x), rata-rata, varians, median dan laju bahaya, serta kurva dengan probabilitas Anda diarsir.
Apa yang Dimodelkan Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial menggambarkan waktu tunggu hingga kejadian berikutnya ketika kejadian terjadi secara independen dengan laju rata-rata yang konstan: jarak waktu antara panggilan ke saluran bantuan, waktu hingga sebuah atom radioaktif meluruh, jarak antara cacat di sepanjang kabel. Distribusi ini merupakan padanan kontinu dari distribusi geometrik, dan terkait erat dengan distribusi Poisson: jika jumlah kejadian dalam suatu periode berdistribusi Poisson dengan laju λ, waktu antarkejadian berdistribusi eksponensial dengan λ yang sama.
| Besaran | Rumus |
|---|---|
| Kepadatan | f(x) = λe−λx |
| Probabilitas kumulatif | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Fungsi kelangsungan hidup | P(X > x) = e−λx |
| Kuantil untuk probabilitas p | x = −ln(1 − p) / λ |
| Rata-rata dan simpangan baku | 1/λ masing-masing |
| Varians | 1/λ² |
| Median | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
Laju atau rata-rata? Periksa parameter yang dipakai sumber Anda
Buku teks berbeda dalam parameter yang dipakai. Sebagian menulis laju λ; yang lain menulis rata-rata (atau skala) θ = β = 1/λ. Perangkat lunak juga terbagi dengan cara yang sama: dexp, pexp dan qexp di R memakai laju, begitu pula EXPON.DIST di Excel, sedangkan scipy.stats.expon di Python memakai scale = 1/λ. Keliru di sini adalah kesalahan paling umum pada distribusi ini — rata-rata 4 menit berarti laju 0,25 per menit, bukan 4. Pilih opsi yang sesuai di atas dan kalkulator melakukan konversinya.
Contoh Kasus: Waktu Tunggu Antarpanggilan
Panggilan ke saluran bantuan rata-rata datang setiap 4 menit, sehingga rata-ratanya adalah 4 dan λ = 1/4 = 0,25 per menit. Peluang panggilan berikutnya memakan waktu paling lama 6 menit adalah P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, dan peluang panggilan itu lebih lama adalah P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231. Peluang waktu tunggu jatuh antara 2 dan 6 menit adalah e−0,5 − e−1,5 = 0,3834.
Median waktu tunggu adalah ln 2 / 0,25 = 2,7726 menit — lebih pendek dari rata-rata 4, karena distribusinya menjulur ke kanan. Persentil ke-90 adalah −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 menit: sembilan dari sepuluh panggilan tiba dalam sekitar 9,2 menit setelah panggilan terakhir.
Sifat tanpa memori
Misalkan 3 menit telah berlalu tanpa panggilan. Peluang menunggu paling sedikit 6 menit lagi adalah P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231 — tepat sama dengan P(X > 6), angka untuk awal yang baru. Eksponensial adalah satu-satunya distribusi kontinu dengan sifat ini, dan itu mengikuti dari laju bahaya yang konstan: pada setiap saat peluang kejadian dalam saat berikutnya adalah λ, berapa pun lamanya Anda sudah menunggu.
Kapan eksponensial merupakan model yang keliru
Sifat tanpa memori adalah asumsi yang kuat. Baterai atau manusia menua, sehingga model masa hidup dengan laju bahaya yang naik (Weibull atau gamma) lebih cocok daripada eksponensial; eksponensial cocok untuk kejadian yang datang tanpa keausan, seperti kedatangan acak.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Bagaimana cara mencari λ dari rata-rata?
- Ambil kebalikannya: λ = 1/rata-rata. Rata-rata waktu tunggu 4 menit memberi λ = 0,25 per menit, dan laju 3 kejadian per jam memberi rata-rata 1/3 jam, atau 20 menit. Jaga agar satuan x konsisten dengan satuan λ, atau probabilitasnya akan salah.
- Apa arti sifat tanpa memori?
- Artinya P(X > s + t | X > s) = P(X > t): waktu yang sudah Anda tunggu tidak mengubah distribusi waktu yang masih harus ditunggu. Jika bus datang secara acak dengan jarak rata-rata 10 menit, setelah menunggu 20 menit sisa tunggu yang diharapkan tetap 10 menit.
- Bagaimana hubungan distribusi eksponensial dan Poisson?
- Keduanya menggambarkan proses yang sama dari dua sisi. Poisson menghitung kejadian dalam periode tetap; eksponensial mengukur waktu antarkejadian. Jika panggilan datang 3 per jam (Poisson, λ = 3), jeda antarpanggilan berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 20 menit, dan peluang menunggu lebih dari 5 menit adalah e−3 × 5/60 = 0,7788.
- Bagaimana cara menghitung P(X > x) untuk distribusi eksponensial?
- Gunakan fungsi kelangsungan hidup e−λx. Dengan λ = 0,25 dan x = 6, hasilnya e−1,5 = 0,2231. Tidak perlu mengurangkan dari 1 — itulah sebabnya kalkulator menghitung ekor atas secara langsung dan menjaga ketelitiannya jauh di ekor.
- Mengapa median lebih kecil dari rata-rata?
- Distribusinya sangat menjulur ke kanan: banyak waktu tunggu singkat dan beberapa yang sangat panjang menarik rata-rata ke atas. Median adalah ln 2 / λ, sekitar 69% dari rata-rata 1/λ. Separuh dari semua waktu tunggu lebih pendek dari 0,69 kali waktu tunggu rata-rata.
- Apakah distribusi eksponensial merupakan model yang baik untuk masa hidup?
- Hanya jika laju kegagalannya konstan, seperti untuk guncangan acak atau komponen elektronik pada masa pakai normalnya. Keausan, kematian dini dan penuaan membuat laju bahaya berubah seiring waktu, dan eksponensial kemudian salah menilai kedua ekornya. Periksa kecocokannya sebelum mengandalkannya.