حاسبة التوزيع الأسّي
أدخل المعدل λ أو المتوسط لتوزيع أسّي وقيمة x، لتحصل على الكثافة والاحتمالات التراكمية واحتمالات البقاء واحتمال مدى، والوسيط وأي مئين — مع عرض العمل واختبار عدم الذاكرة ومنحنى مظلَّل. مجاني ودون تسجيل.
يضيف الاحتمال P(x ≤ X ≤ هذه القيمة) إلى النتائج.
يبيّن أن الانتظار المتبقي لا يعتمد على s.
يجد x الذي يحقق P(X ≤ x) = p، مثل 0.9 للمئين التسعين.
النتائج
λ = 1/المتوسط = 1/4 = 0.25
| الاحتمال | المعنى | القيمة |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | على الأكثر 6 (أو: أقل من 6) | 0.7769 |
| P(X > 6) | أكثر من 6 (أو: على الأقل 6؛ دالة البقاء) | 0.2231 |
| f(6) | الكثافة عند x: f(x) = λe^(−λx). هذه كثافة وليست احتمالًا: قد تتجاوز 1. | 0.055783 |
4
المتوسط (1/λ)
16
التباين (1/λ²)
4
الانحراف المعياري (1/λ)
2.7726
الوسيط (ln 2 / λ)
0.25
معدل الخطر (λ)
عدم الذاكرة
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0.1054 / 0.4724 = 0.2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0.2231. الاحتمالان متساويان: فالزمن المنقضي 3 لا يغيّر شيئًا من الانتظار المتبقي.
الكمية
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0.9) / 0.25 = 9.2103. إذن P(X ≤ 9.2103) = 0.9.
منحنى الكثافة
كثافة أسّية بـ λ = 0.25. المساحة المظلَّلة تحت المنحنى هي P(X ≤ x).
كيفية استخدام حاسبة التوزيع الأسّي
- 1. حدِّد المعلمة التي تعرفها. اختر المعدل λ (الأحداث في كل وحدة زمن) أو المتوسط 1/λ (وحدات الزمن لكل حدث)، ثم اكتب قيمته. تحسب الحاسبة الأخرى وتعرض التحويل.
- 2. أدخل x. الزمن أو المسافة أو الكمية الأخرى التي تسأل عنها. وأضف طرفًا أعلى إذا أردت احتمال مدى.
- 3. إضافات اختيارية. أدخل الزمن المنقضي s لترى خاصية عدم الذاكرة في العمل، أو احتمالًا p لتجد x الذي يقطعه (p = 0.9 يعطي المئين التسعين).
- 4. اقرأ النتائج. P(X ≤ x) وP(X > x) والكثافة f(x)، والمتوسط والتباين والوسيط ومعدل الخطر، ومنحنى مظلَّل بالاحتمال الذي تحسبه.
ما الذي يصفه التوزيع الأسّي
يصف التوزيع الأسّي زمن الانتظار حتى الحدث التالي حين تقع الأحداث مستقلة بمعدل متوسط ثابت: الفاصل بين مكالمات خط المساعدة، أو الزمن حتى تضمحل ذرة مشعة، أو المسافة بين العيوب على طول كابل. وهو النظير المستمر للتوزيع الهندسي، وهو مرتبط بـتوزيع بواسون: فإذا كان عدد الأحداث في فترة يتبع بواسون بمعدل λ، فإن الفترات بين الأحداث أسّية بالمعدل λ نفسه.
| الكمية | الصيغة |
|---|---|
| الكثافة | f(x) = λe−λx |
| الاحتمال التراكمي | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| دالة البقاء | P(X > x) = e−λx |
| الكمية للاحتمال p | x = −ln(1 − p) / λ |
| المتوسط والانحراف المعياري | 1/λ لكل منهما |
| التباين | 1/λ² |
| الوسيط | ln 2 / λ ≈ 0.6931 / λ |
معدل أم متوسط؟ تحقق مما يستخدمه مصدرك
تختلف الكتب في المعلمة، فبعضها يكتب المعدل λ، وبعضها يكتب المتوسط (أو المقياس) θ = β = 1/λ. وتختلف البرمجيات بالطريقة نفسها: فدوال dexp وpexp وqexp في R تأخذ المعدل، وكذلك الدالة EXPON.DIST في Excel، بينما تأخذ scipy.stats.expon في Python المقياس scale = 1/λ. والخلط بينهما أكثر الأخطاء شيوعًا مع هذا التوزيع: متوسط قدره 4 دقائق هو معدل قدره 0.25 في الدقيقة، لا 4. اختر الخيار المناسب أعلاه وستقوم الحاسبة بالتحويل.
مثال محلول: الانتظار بين المكالمات
تصل المكالمات إلى خط مساعدة كل 4 دقائق في المتوسط، فالمتوسط 4 وλ = 1/4 = 0.25 في الدقيقة. احتمال أن تستغرق المكالمة التالية 6 دقائق على الأكثر هو P(X ≤ 6) = 1 − e−1.5 = 0.7769، واحتمال أن تستغرق أكثر من ذلك هو P(X > 6) = e−1.5 = 0.2231. واحتمال أن يقع الانتظار بين دقيقتين و6 دقائق هو e−0.5 − e−1.5 = 0.3834.
الوسيط للانتظار هو ln 2 / 0.25 = 2.7726 دقيقة، وهو أقصر من المتوسط 4، لأن التوزيع ملتوٍ نحو اليمين. والمئين التسعون هو −ln(0.1) / 0.25 = 9.2103 دقيقة: تصل تسع مكالمات من كل عشر خلال نحو 9.2 دقيقة من المكالمة الأخيرة.
عدم الذاكرة
افترض أن 3 دقائق مرت دون مكالمة. احتمال الانتظار 6 دقائق على الأقل إضافية هو P(X > 9) / P(X > 3) = 0.1054 / 0.4724 = 0.2231، وهو بالضبط P(X > 6)، أي الرقم نفسه لبداية جديدة. والتوزيع الأسّي هو التوزيع المستمر الوحيد الذي له هذه الخاصية، وهي تنتج عن معدل الخطر الثابت: في كل لحظة يكون احتمال حدوث الحدث في اللحظة التالية هو λ، مهما طال الانتظار.
متى يكون التوزيع الأسّي نموذجًا خاطئًا؟
عدم الذاكرة افتراض قوي. فالبطارية والإنسان يتقادمان، لذلك يناسب نموذج عمر بمعدل خطر متزايد (ويبل أو غاما) أفضل من الأسّي؛ أما التوزيع الأسّي فيناسب الأحداث التي تقع دون بلى، مثل الوصول العشوائي.
الأسئلة الشائعة
- كيف أجد λ من المتوسط؟
- خذ المقلوب: λ = 1/المتوسط. فمتوسط انتظار 4 دقائق يعطي λ = 0.25 في الدقيقة، ومعدل 3 أحداث في الساعة يعطي متوسطًا قدره 1/3 ساعة، أي 20 دقيقة. اجعل وحدات x متسقة مع وحدات λ، وإلا فستكون الاحتمالات خاطئة.
- ماذا تعني خاصية عدم الذاكرة؟
- تعني أن P(X > s + t | X > s) = P(X > t): فالزمن الذي انتظرته بالفعل لا يغيّر توزيع الزمن المتبقي. فإذا كان الباص يصل عشوائيًا بمتوسط فجوة قدره 10 دقائق، فبعد انتظار 20 دقيقة يبقى متوسط الانتظار المتبقي 10 دقائق.
- ما العلاقة بين التوزيع الأسّي وتوزيع بواسون؟
- يصفان العملية نفسها من جانبين. يعدّ بواسون الأحداث في فترة ثابتة، ويقيس الأسّي الزمن بين الأحداث. فإذا وصلت المكالمات بمعدل 3 في الساعة (بواسون، λ = 3)، فالفاصل بين المكالمات أسّي بمتوسط 20 دقيقة، واحتمال انتظار أكثر من 5 دقائق هو e−3 × 5/60 = 0.7788.
- كيف أحسب P(X > x) للتوزيع الأسّي؟
- استخدم دالة البقاء e−λx. مع λ = 0.25 وx = 6 تكون القيمة e−1.5 = 0.2231. ولا حاجة إلى الطرح من 1، ولذلك تحسب الحاسبة الذيل العلوي مباشرة وتحافظ على دقتها بعيدًا في الذيل.
- لماذا الوسيط أصغر من المتوسط؟
- التوزيع ملتوٍ نحو اليمين بشدة: انتظارات قصيرة كثيرة وقليل من الانتظارات الطويلة جدًا ترفع المتوسط. والوسيط هو ln 2 / λ، أي نحو 69% من المتوسط 1/λ. فنصف الانتظارات تقريبًا أقصر من 0.69 من متوسط الانتظار.
- هل التوزيع الأسّي نموذج جيد لمدد الحياة؟
- فقط حين يكون معدل الفشل ثابتًا، كما في الصدمات العشوائية أو الأجزاء الإلكترونية خلال عمرها المفيد. فالبلى والوفيات المبكرة والتقادم تجعل معدل الخطر يتغير مع الزمن، ويخطئ الأسّي عندها في الذيلين. تحقق من مطابقة النموذج قبل الاعتماد عليه.