Calculadora de distribuição exponencial
Digite a taxa λ ou a média de uma distribuição exponencial e um valor x, e obtenha a densidade, as probabilidades acumulada e de sobrevivência, a probabilidade de um intervalo, a mediana e qualquer percentil — com o cálculo mostrado, uma verificação de falta de memória e uma curva sombreada. Gratuito, sem cadastro.
Acrescenta P(x ≤ X ≤ este valor) aos resultados.
Mostra que a espera que ainda vem não depende de s.
Encontra o x com P(X ≤ x) = p, como 0,9 para o 90.º percentil.
Resultados
λ = 1/média = 1/4 = 0,25
| Probabilidade | Significado | Valor |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | no máximo 6 (também: menor que 6) | 0,7769 |
| P(X > 6) | mais que 6 (também: pelo menos 6; a função de sobrevivência) | 0,2231 |
| f(6) | Densidade em x: f(x) = λe^(−λx). Uma densidade, não uma probabilidade: pode ultrapassar 1. | 0,055783 |
4
Média (1/λ)
16
Variância (1/λ²)
4
Desvio padrão (1/λ)
2,7726
Mediana (ln 2 / λ)
0,25
Taxa de risco (λ)
Falta de memória
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. Os dois são iguais: já ter esperado 3 não muda nada sobre a espera que ainda falta.
Quantil
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Assim, P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
Curva de densidade
Densidade exponencial com λ = 0,25. A área sombreada sob a curva é P(X ≤ x).
Como usar a calculadora de distribuição exponencial
- 1. Diga qual parâmetro você conhece. Escolha a taxa λ (eventos por unidade de tempo) ou a média 1/λ (unidades de tempo por evento) e digite-a. A calculadora converte o outro e mostra a conversão.
- 2. Digite x. O tempo, a distância ou outra quantidade sobre a qual você pergunta. Acrescente um limite superior se quiser a probabilidade de um intervalo.
- 3. Extras opcionais. Digite um tempo já esperado, s, para ver a falta de memória em ação, ou uma probabilidade p para encontrar o x que a deixa de lado (p = 0,9 dá o 90.º percentil).
- 4. Leia os resultados. P(X ≤ x), P(X > x), a densidade f(x), a média, a variância, a mediana e a taxa de risco, e uma curva com a sua probabilidade sombreada.
O que a distribuição exponencial modela
A distribuição exponencial descreve o tempo de espera até o próximo evento quando eventos ocorrem de forma independente a uma taxa média constante: o intervalo entre chamadas para uma central de atendimento, o tempo até um átomo radioativo se desintegrar, a distância entre falhas ao longo de um cabo. É a contraparte contínua da distribuição geométrica e está ligada à distribuição de Poisson: se o número de eventos em um período segue Poisson com taxa λ, as esperas entre eventos são exponenciais com o mesmo λ.
| Grandeza | Fórmula |
|---|---|
| Densidade | f(x) = λe−λx |
| Probabilidade acumulada | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Função de sobrevivência | P(X > x) = e−λx |
| Quantil para a probabilidade p | x = −ln(1 − p) / λ |
| Média e desvio padrão | 1/λ cada |
| Variância | 1/λ² |
| Mediana | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
Taxa ou média? Confira qual delas a sua fonte usa
Os livros divergem quanto ao parâmetro. Alguns escrevem a taxa λ; outros, a média (ou escala) θ = β = 1/λ. Os softwares se dividem da mesma forma: dexp, pexp e qexp do R recebem a taxa, assim como EXPON.DIST do Excel, enquanto scipy.stats.expon do Python recebe scale = 1/λ. Confundi-los é o erro mais comum com essa distribuição — uma média de 4 minutos é uma taxa de 0,25 por minuto, não 4. Escolha a opção correspondente acima e a calculadora faz a conversão.
Exemplo prático: tempo de espera entre chamadas
As chamadas para uma central de atendimento chegam em média a cada 4 minutos, então a média é 4 e λ = 1/4 = 0,25 por minuto. A chance de a próxima chamada levar no máximo 6 minutos é P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, e a chance de levar mais é P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231. A chance de a espera ficar entre 2 e 6 minutos é e−0,5 − e−1,5 = 0,3834.
A espera mediana é ln 2 / 0,25 = 2,7726 minutos — menor que a média de 4, porque a distribuição é assimétrica à direita. O 90.º percentil é −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 minutos: nove em cada dez chamadas chegam em cerca de 9,2 minutos depois da última.
Falta de memória
Suponha que 3 minutos tenham se passado sem chamada. A chance de esperar pelo menos mais 6 é P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231 — exatamente P(X > 6), o valor para um recomeço. A exponencial é a única distribuição contínua com essa propriedade, e ela decorre da taxa de risco constante: a cada instante, a chance de um evento no instante seguinte é λ, não importa há quanto tempo você esteja esperando.
Quando a exponencial é o modelo errado
A falta de memória é uma suposição forte. Uma bateria ou uma pessoa envelhecem, então um modelo de tempo de vida com risco crescente (Weibull ou gama) se ajusta melhor do que uma exponencial; a exponencial serve para eventos que ocorrem sem desgaste, como chegadas aleatórias.
Perguntas frequentes
- Como encontro λ a partir da média?
- Tome o inverso: λ = 1/média. Uma espera média de 4 minutos dá λ = 0,25 por minuto, e uma taxa de 3 eventos por hora dá uma média de 1/3 de hora, ou 20 minutos. Mantenha as unidades de x coerentes com as unidades de λ, ou as probabilidades ficarão erradas.
- O que significa a propriedade de falta de memória?
- Significa P(X > s + t | X > s) = P(X > t): o tempo que você já esperou não muda a distribuição do tempo que ainda falta. Se um ônibus chega ao acaso com intervalo médio de 10 minutos, depois de esperar 20 minutos o tempo médio que ainda resta continua sendo de 10 minutos.
- Como as distribuições exponencial e de Poisson se relacionam?
- Elas descrevem o mesmo processo por dois lados. A Poisson conta eventos em um período fixo; a exponencial mede o tempo entre eventos. Se chamadas chegam a 3 por hora (Poisson, λ = 3), o intervalo entre chamadas é exponencial com média de 20 minutos, e a chance de esperar mais de 5 minutos é e−3 × 5/60 = 0,7788.
- Como calculo P(X > x) para uma distribuição exponencial?
- Use a função de sobrevivência e−λx. Com λ = 0,25 e x = 6, isso dá e−1,5 = 0,2231. Não é preciso subtrair de 1 — por isso a calculadora calcula a cauda superior diretamente e mantém a precisão bem longe na cauda.
- Por que a mediana é menor que a média?
- A distribuição é fortemente assimétrica à direita: muitas esperas curtas e poucas esperas muito longas puxam a média para cima. A mediana é ln 2 / λ, cerca de 69% da média 1/λ. Metade de todas as esperas é menor que 0,69 da espera média.
- A distribuição exponencial é um bom modelo para tempos de vida?
- Só quando a taxa de falha é constante, como para choques aleatórios ou componentes eletrônicos na fase útil. Desgaste, mortalidade infantil e envelhecimento fazem a taxa de risco mudar ao longo do tempo, e a exponencial então erra nas duas caudas. Verifique o ajuste antes de confiar no modelo.