Simulador do teorema central do limite

Resultados

1.000 amostras, cada uma a média de 30 sorteios desta população — 30.000 sorteios aleatórios ao todo. Semente: 2024.

Com n = 30, a assimetria prevista das médias amostrais é 0,365: ainda visivelmente assimétrica, então a curva normal é apenas um ajuste grosseiro. Um n maior a aproxima.

Isto é uma ilustração, não uma demonstração. Com um número finito de amostras, as barras oscilam alguns por cento em torno da curva, e outra semente as desloca de novo.

Como usar o simulador do teorema central do limite

1. 1. Escolha uma população. Comece com a população assimétrica à direita e depois experimente as populações muito assimétricas, bimodais e de sim/não, cujas formas não lembram nada um sino.
2. 2. Defina o tamanho da amostra n. Cada amostra são n sorteios calculados como média. Use os botões rápidos para percorrer n com 1, 5, 30 e 100 e veja o histograma mudar.
3. 3. Defina o número de amostras. Cada amostra contribui com uma média para o histograma. Mais amostras deixam a figura mais suave, mas não mudam quão normal é de fato a distribuição amostral — só n faz isso.
4. 4. Anime ou troque a semente. A animação acrescenta as amostras poucas de cada vez, somente quando você pressiona o botão. A mesma semente sempre reproduz a mesma figura; “Nova semente aleatória” escolhe outra.

O que diz o teorema central do limite

Sorteie n valores independentes de qualquer população com média μ finita e desvio padrão σ finito, e calcule a média deles. Conforme n cresce, a distribuição dessa média se aproxima de uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ/√n — o erro padrão —, qualquer que seja a forma da população. A população não se torna normal; torna-se normal a distribuição das médias amostrais.

A velocidade depende da população. Uma população simétrica chega lá rapidamente; uma assimétrica, devagar. A assimetria de uma média amostral é a assimetria da população dividida por √n, de modo que a tabela do simulador pode prevê-la antes de você rodar qualquer coisa:

A assimetria não conta a história inteira: a população bimodal tem assimetria 0 e ainda assim precisa de vários sorteios por amostra antes que suas duas corcovas se fundam em uma só. A regra usual “n de 30 ou mais basta” serve para dados moderadamente assimétricos; a população lognormal ainda tem uma assimetria perceptível em n = 100. O simulador considera o ajuste como próximo quando a assimetria prevista fica abaixo de 0,25 — um guia aproximado, não um teorema.

Exemplo prático: população assimétrica, n = 30

Com os valores padrão — a população exponencial (μ = 1, σ = 1), n = 30, 1.000 amostras, semente 2024 —, o teorema prevê um erro padrão de 1/√30 = 0,1826 e uma assimetria de 0,3651. As 1.000 médias amostrais desta execução têm média 1,008, desvio padrão 0,1835 e assimetria 0,3448, e 95,1% delas ficam dentro de 1,96 erro padrão de 1, contra os 95% que uma curva normal daria.

Os números ficam perto da teoria, mas não sobre ela, e não deveriam: 1.000 amostras são uma execução finita. A execução fez 30.000 sorteios ao todo; outra semente desloca um pouco cada barra. A assimetria residual também é real — com n = 30, as médias de uma população exponencial ainda são um pouco assimétricas à direita, e por isso o simulador chama a curva normal aqui de ajuste aproximado.

Perguntas frequentes

O que o teorema central do limite diz, em palavras simples?

Médias de muitas observações independentes são aproximadamente normalmente distribuídas, mesmo quando as observações individuais não são. A média de n valores de uma população com média μ e desvio padrão σ tem média μ e desvio padrão σ/√n, e a sua distribuição se parece mais com uma curva de sino conforme n cresce.

Qual deve ser o tamanho da amostra?

Não há um número único. Para populações aproximadamente simétricas, n de 10 a 15 pode bastar; para populações moderadamente assimétricas, a regra usual é n de 30; para populações muito assimétricas (como a lognormal aqui), pode ser preciso n de 100 ou mais. Rode o simulador com uma população parecida com a sua e observe o histograma.

O teorema torna a população normal?

Não. A população mantém a sua forma. O que se aproxima da normalidade é a distribuição da média amostral, e por isso testes t e intervalos de confiança para uma média funcionam razoavelmente bem com dados moderadamente não normais, desde que n não seja pequeno.

Por que o meu desvio padrão simulado não é exatamente σ/√n?

Porque a execução é uma amostra finita de médias amostrais. Com 1.000 amostras, o desvio padrão simulado normalmente fica a poucos por cento do erro padrão teórico; aumente o número de amostras para estreitar essa diferença. Outra semente dá um valor um pouco diferente a cada vez.

O teorema central do limite sempre funciona?

Não quando a população não tem variância finita, como a distribuição de Cauchy, cuja média amostral é tão variável quanto uma única observação. Ele também supõe sorteios independentes; dados correlacionados, como medidas repetidas na mesma pessoa, convergem mais devagar ou nem convergem.

Para que serve a semente, e a aleatoriedade é real?

Os sorteios são números pseudoaleatórios gerados a partir da sua semente, então a mesma semente, população, n e número de amostras sempre produzem exatamente a mesma figura — útil para compartilhar um exemplo. “Nova semente aleatória” escolhe uma semente com o gerador aleatório seguro do seu navegador. Tudo roda no seu navegador; nada é enviado.