Simulateur du théorème central limite
Choisissez une population, une taille d'échantillon n et un nombre d'échantillons, et observez la distribution des moyennes d'échantillons se former, avec la courbe normale prévue par le théorème tracée par-dessus et la théorie placée à côté de ce que votre simulation a produit. À graine fixe, donc une image peut être reproduite ; animez-la à la demande. Fonctionne dans votre navigateur — rien n'est téléversé. Gratuit, sans inscription.
De 1 à 1 000. Essayez 1, puis 5, puis 30, puis 100.
De 10 à 20 000. Échantillons × n peut atteindre 2 000 000 tirages au maximum.
La même graine donne toujours la même image. Tout texte convient.
Résultats
1 000 échantillons, chacun étant la moyenne de 30 tirages de cette population — 30 000 tirages aléatoires au total. Graine : 2024.
La population
Moyenne de la population μ = 1, écart-type σ = 1, asymétrie 2.
Les moyennes d'échantillons
1 000 moyennes d'échantillons (n = 30 chacune). La courbe est la loi normale prévue par le théorème : moyenne 1, erreur type 0,1826.
1 moyenne d'échantillon se situe au-delà de quatre erreurs types et n'est pas tracée.
| Mesure | Théorie | Cette simulation |
|---|---|---|
| Moyenne des moyennes d'échantillons (μ) | 1 | 1,008 |
| Écart-type des moyennes d'échantillons (σ/√n) | 0,1826 | 0,1835 |
| Asymétrie des moyennes d'échantillons | 0,3651 | 0,3448 |
| Moyennes à ±1,96 erreur type (loi normale : 95 %) | 95,0 % | 95,1 % |
Pour n = 30, l'asymétrie prévue des moyennes d'échantillons est de 0,365 : elle reste visiblement asymétrique, donc la courbe normale n'est qu'un ajustement approximatif. Un n plus grand la rapproche de la normale.
Il s'agit d'une illustration, non d'une démonstration. Avec un nombre fini d'échantillons, les barres oscillent de quelques pour cent autour de la courbe, et une autre graine les déplace encore.
Comment utiliser le simulateur du théorème central limite
- 1. Choisissez une population. Commencez par la population asymétrique à droite, puis essayez les populations très asymétriques, bimodale et oui/non, dont les formes ne ressemblent en rien à une cloche.
- 2. Réglez la taille d'échantillon n. Chaque échantillon est la moyenne de n tirages aléatoires. Utilisez les boutons rapides pour faire passer n par 1, 5, 30 et 100, et observez l'histogramme changer.
- 3. Réglez le nombre d'échantillons. Chaque échantillon apporte une moyenne à l'histogramme. Davantage d'échantillons rendent l'image plus lisse, mais ne changent pas le degré de normalité de la distribution d'échantillonnage réelle : seul n le fait.
- 4. Animez ou changez la graine. L'animation ajoute les échantillons quelques-uns à la fois, uniquement lorsque vous appuyez sur le bouton. La même graine reproduit toujours la même image ; « Nouvelle graine aléatoire » en choisit une autre.
Ce que dit le théorème central limite
Tirez n valeurs indépendantes dans une population quelconque, de moyenne μ et d'écart-type σ finis, puis calculez leur moyenne. Lorsque n augmente, la distribution de cette moyenne se rapproche d'une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ/√n — l'erreur type —, quelle que soit la forme de la population. La population ne devient pas normale ; c'est la distribution des moyennes d'échantillons qui le devient.
La vitesse dépend de la population. Une population symétrique y parvient rapidement, une population asymétrique plus lentement. L'asymétrie d'une moyenne d'échantillon est l'asymétrie de la population divisée par √n, de sorte que la table du simulateur peut la prévoir avant toute simulation :
| Population | n = 1 | n = 5 | n = 30 | n = 100 |
|---|---|---|---|---|
| Normale ou uniforme | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Oui/non (p = 0,2) | 1,500 | 0,671 | 0,274 | 0,150 |
| Asymétrique à droite (exponentielle) | 2,000 | 0,894 | 0,365 | 0,200 |
| Très asymétrique à droite (lognormale) | 6,185 | 2,766 | 1,129 | 0,618 |
L'asymétrie ne dit pas tout : la population bimodale a une asymétrie de 0 et demande pourtant plusieurs tirages par échantillon avant que ses deux bosses ne se fondent en une seule. La règle courante « n de 30 ou plus suffit » convient aux données modérément asymétriques ; la population lognormale présente encore une asymétrie notable à n = 100. Le simulateur considère l'ajustement comme bon dès que l'asymétrie prévue passe sous 0,25 — un repère approximatif, et non un théorème.
Exemple détaillé : population asymétrique, n = 30
Avec les réglages par défaut — la population exponentielle (μ = 1, σ = 1), n = 30, 1 000 échantillons, graine 2024 — le théorème prévoit une erreur type de 1/√30 = 0,1826 et une asymétrie de 0,3651. Les 1 000 moyennes d'échantillons de cette simulation ont une moyenne de 1,008, un écart-type de 0,1835 et une asymétrie de 0,3448, et 95,1 % d'entre elles se situent à moins de 1,96 erreur type de 1, contre 95 % pour une courbe normale.
Les valeurs sont proches de la théorie sans y coïncider, et elles ne doivent pas y coïncider : 1 000 échantillons constituent une simulation finie. La simulation a effectué 30 000 tirages au total ; une autre graine déplace un peu chaque barre. L'asymétrie résiduelle est réelle aussi : à n = 30, les moyennes d'une population exponentielle restent légèrement asymétriques à droite, raison pour laquelle le simulateur qualifie ici la courbe normale d'ajustement approximatif.
De la simulation aux formules
L'erreur type σ/√n est ce que le calculateur d'erreur type et le calculateur de distribution d'échantillonnage calculent à partir de vos propres nombres ; les aires sous la courbe normale proviennent du calculateur de loi normale.
Questions fréquentes
- Que dit le théorème central limite, en termes simples ?
- Les moyennes de nombreuses observations indépendantes suivent à peu près une loi normale, même lorsque les observations individuelles ne la suivent pas. La moyenne de n valeurs issues d'une population de moyenne μ et d'écart-type σ a pour moyenne μ et pour écart-type σ/√n, et sa distribution ressemble davantage à une courbe en cloche lorsque n augmente.
- Quelle doit être la taille de l'échantillon ?
- Il n'existe pas de nombre unique. Pour des populations à peu près symétriques, n de 10 à 15 peut suffire ; pour des populations modérément asymétriques, n de 30 est la règle habituelle ; pour des populations très asymétriques (comme la lognormale ici), n de 100 ou plus peut être nécessaire. Lancez le simulateur sur une population comparable à la vôtre et observez l'histogramme.
- Le théorème rend-il la population normale ?
- Non. La population conserve sa forme. Ce qui se rapproche de la normalité, c'est la distribution de la moyenne d'échantillon, ce qui explique pourquoi les tests t et les intervalles de confiance pour une moyenne fonctionnent raisonnablement bien sur des données modérément non normales, dès que n n'est pas petit.
- Pourquoi l'écart-type simulé n'est-il pas exactement σ/√n ?
- Parce que la simulation est un échantillon fini de moyennes d'échantillons. Avec 1 000 échantillons, l'écart-type simulé se situe en général à quelques pour cent de l'erreur type théorique ; augmentez le nombre d'échantillons pour le resserrer. Une autre graine donne à chaque fois une valeur légèrement différente.
- Le théorème fonctionne-t-il toujours ?
- Non lorsque la population n'a pas de variance finie, comme la loi de Cauchy, dont la moyenne d'échantillon varie autant qu'une observation isolée. Il suppose aussi des tirages indépendants ; des données corrélées, comme des mesures répétées sur une même personne, convergent plus lentement, voire pas du tout.
- À quoi sert la graine, et l'aléatoire est-il réel ?
- Les tirages sont des nombres pseudo-aléatoires engendrés à partir de votre graine : la même graine, la même population, le même n et le même nombre d'échantillons donnent toujours exactement la même image, ce qui est pratique pour partager un exemple. « Nouvelle graine aléatoire » choisit une graine à l'aide du générateur aléatoire sécurisé de votre navigateur. Tout fonctionne dans votre navigateur ; rien n'est téléversé.