中心极限定理模拟器
选择一个总体、样本量 n 和样本数,即可看到样本均值的分布逐渐形成——图上叠加了定理预测的正态曲线,并将理论值与您本次运行的结果并列。使用种子,因此图形可以复现;可按需播放动画。在您的浏览器中运行,不会上传任何内容。免费,无需注册。
从 1 到 1,000。可依次尝试 1、5、30、100。
从 10 到 20,000。样本数 × n 最多为 2,000,000 次抽样。
相同的种子总会给出相同的图形。任意文字均可。
结果
1,000 个样本,每个都是从该总体中抽取的 30 个值的平均数——共 30,000 次随机抽样。种子:2024。
总体
总体均值 μ = 1,标准差 σ = 1,偏度 2。
样本均值
1,000 个样本均值(每个 n = 30)。曲线为定理预测的正态分布:均值 1,标准误 0.1826。
有 1 个样本均值超出四个标准误,因此未予绘出。
| 指标 | 理论 | 本次运行 |
|---|---|---|
| 样本均值的均值 (μ) | 1 | 1.008 |
| 样本均值的标准差 (σ/√n) | 0.1826 | 0.1835 |
| 样本均值的偏度 | 0.3651 | 0.3448 |
| 落在 ±1.96 标准误内的比例(正态:95%) | 95.0% | 95.1% |
在 n = 30 时,样本均值的预测偏度为 0.365:仍有明显偏度,因此正态曲线只是粗略的拟合。更大的 n 会使其更接近。
这只是一个示意,而非证明。样本数有限时,柱子会在曲线附近波动几个百分点,不同的种子又会使其再次移动。
如何使用中心极限定理模拟器
- 1. 选择总体。 先从右偏总体开始,然后尝试形状完全不像钟形的极右偏、双峰和是/否总体。
- 2. 设定样本量 n。 每个样本是 n 个随机抽样值的平均数。使用快捷按钮将 n 依次设为 1、5、30 和 100,观察直方图的变化。
- 3. 设定样本数。 每个样本为直方图贡献一个均值。样本数越多,图形越平滑,但它并不会改变抽样分布真正的正态程度——只有 n 才能做到这一点。
- 4. 播放动画或更换种子。 动画仅在您按下按钮时才逐步加入样本。相同的种子总会重现相同的图形;“新随机种子”会选择另一个种子。
中心极限定理的内容
从任意一个具有有限均值 μ 和有限标准差 σ 的总体中抽取 n 个独立值并取平均。随着 n 增大,该平均值的分布将趋近于均值为 μ、标准差为 σ/√n 的正态分布——即标准误——无论总体呈何种形状。总体本身并不会变成正态;变成正态的是样本均值的分布。
收敛的快慢取决于总体。对称的总体很快就能达到正态,偏态的总体则较慢。样本均值的偏度等于总体偏度除以 √n,因此模拟器中的表格可以在您运行任何模拟之前就预测它:
| 总体 | n = 1 | n = 5 | n = 30 | n = 100 |
|---|---|---|---|---|
| 正态或均匀 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 是/否(p = 0.2) | 1.500 | 0.671 | 0.274 | 0.150 |
| 右偏(指数) | 2.000 | 0.894 | 0.365 | 0.200 |
| 极右偏(对数正态) | 6.185 | 2.766 | 1.129 | 0.618 |
偏度并非全部。双峰总体的偏度为 0,但每个样本仍需要抽取数次,其两个峰才会合并为一个。常见的规则“n 为 30 或更大即足够”适用于中等偏态的数据;对数正态总体在 n = 100 时仍有明显的偏度。模拟器只有在预测偏度降至 0.25 以下时,才会将拟合标记为接近——这是一个粗略的指引,而非定理。
示例:偏态总体,n = 30
使用默认设置——指数总体(μ = 1,σ = 1)、n = 30、1,000 个样本、种子 2024——定理预测标准误为 1/√30 = 0.1826,偏度为 0.3651。本次运行的 1,000 个样本均值的平均数为 1.008、标准差为 0.1835、偏度为 0.3448,其中 95.1% 落在距 1 为 1.96 个标准误之内,而正态曲线给出的是 95%。
这些数字与理论接近但并不完全吻合,也理应如此:1,000 个样本只是一次有限的运行。本次共进行了 30,000 次随机抽样;不同的种子会使每个柱子略有移动。残余偏度也是真实存在的——在 n = 30 时,指数总体的均值仍略呈右偏,这就是模拟器在此称正态曲线为粗略拟合的原因。
从模拟到公式
常见问题
- 用通俗的话说,中心极限定理讲的是什么?
- 许多独立观测值的平均数近似服从正态分布,即使单个观测值本身并不服从正态。从均值为 μ、标准差为 σ 的总体中抽取 n 个值,其平均数的均值为 μ、标准差为 σ/√n,并且随着 n 增大,其分布越来越接近钟形曲线。
- 样本量需要多大?
- 没有统一的数字。对于大致对称的总体,10 到 15 个可能就够用;对于中等偏态的总体,通常的规则是 30 个;对于严重偏态的总体(如此处的对数正态),可能需要 100 个或更多。请用与您的数据相似的总体运行模拟器,并观察直方图。
- 中心极限定理能使总体变为正态吗?
- 不能。总体保持其形状。趋于正态的是样本均值的分布,这也是为什么在样本量不太小时,均值的 t 检验和置信区间即使用于中等程度的非正态数据,也能较好地工作。
- 为什么我模拟得到的标准差不完全等于 σ/√n?
- 因为本次运行只是样本均值的一个有限样本。使用 1,000 个样本时,模拟标准差通常与理论标准误相差在几个百分点以内;增加样本数可使其更精确。不同的种子每次给出的数值会略有不同。
- 中心极限定理总是成立吗?
- 当总体没有有限方差时并不成立,例如柯西分布,其样本均值的变异与单个观测值一样大。它还假设抽样是独立的;相关数据(例如对同一个人的重复测量)收敛得更慢,甚至根本不收敛。
- 种子有什么作用?随机性是真的吗?
- 抽样所用的是由您的种子生成的伪随机数,因此相同的种子、总体、n 和样本数总会得到完全相同的图形,便于分享示例。“新随机种子”会借助您浏览器的安全随机数生成器选择种子。一切都在您的浏览器中运行;不会上传任何内容。