Z 分数计算器
输入一个数值及其均值和标准差——或粘贴一组数字,由计算器为您找出它们——即可获得 Z 分数:该数值高于或低于均值多少个标准差。您还会得到近似百分位数,以及代入您的数字后的完整计算过程。免费,无需注册。
输入模式
输入一个数值、均值和一个大于零的标准差,即可查看 Z 分数。
如何使用 Z 分数计算器
- 1. 选择输入模式。 从数值、均值和标准差直接输入三个数字。从数据集则输入一组数字以及您想要标准化的数值。
- 2. 输入数字。 在第一种模式中输入 x、μ 和 σ(σ 必须大于零)。在数据集模式中粘贴至少两个数字,可用逗号、空格或换行符分隔,并输入 x。
- 3. 阅读结果。 您会得到保留四位小数的 Z 分数和近似百分位数;在数据集模式下,还会得到计算出的均值、标准差和个数。一句话会用文字说明该数值所处的位置。
- 4. 检查计算过程。 “计算过程”一行会以您的数字显示 z = (x − μ) ÷ σ,便于您将其复制到报告中。
公式及其含义
z = (x − μ) ÷ σ,其中 x 为数值,μ 为均值,σ 为标准差。Z 分数没有单位:它以标准差为单位衡量与均值的距离,因此不同量表的分数可以相互比较。z 为 0 表示恰好处于平均水平,+1 表示高出一个标准差,−2 表示低于两个标准差。
两次考试,一次比较
考试 A:您得了 82 分;班级均值为 75,标准差为 6
z = (82 − 75) ÷ 6 = 1.1667,百分位数 ≈ 87.83%
考试 B:您得了 78 分;班级均值为 70,标准差为 5
z = (78 − 70) ÷ 5 = 1.6,百分位数 ≈ 94.52%
尽管 82 分的原始分数更高,但 78 分才是更出色的成绩
在数据集模式下,粘贴 62、68、71、74、70、65、80 和 77,并输入 85。计算器会求得 μ = 70.875 和总体 σ = 5.6222,因此 z = (85 − 70.875) ÷ 5.6222 = 2.5124,约位于第 99.40 百分位。
解读 Z 分数
| Z 分数 | 百分位(均值之上 / 之下) | 解读 |
|---|---|---|
| 0 | 50.00 | 恰好等于均值 |
| +1 / −1 | 84.13 / 15.87 | 距均值一个标准差;常见 |
| +1.96 / −1.96 | 97.50 / 2.50 | 中间 95% 的边界 |
| +2 / −2 | 97.72 / 2.28 | 不寻常:约 4.6% 的数值位于 ±2 之外 |
| +3 / −3 | 99.87 / 0.13 | 罕见:约 0.27% 的数值位于 ±3 之外 |
百分位仅在数据大致呈钟形时才适用。对于偏态数据,Z 分数仍然衡量以标准差为单位的距离,但百分位不再相符。
百分位来自标准正态分布函数,采用 Abramowitz 和 Stegun 的近似法计算(误差函数使用公式 7.1.26,精度约为 1.5 × 10⁻⁷)。请把它视为近似值;如需标准的四位小数查表值,请使用 Z-Table。
数据集模式使用总体标准差
粘贴数据时,σ 为总体标准差(除以 n),这是在您已有的组内进行标准化时的常见选择。如果您的教材使用样本标准差 s(除以 n − 1),请先通过统计计算器求得它,然后在“数值、均值和标准差”模式中输入。样本量较大时两者差别很小。对样本均值求 Z 分数时使用的是标准误而不是标准差,那属于 Z-Test Calculator。
您需要哪个工具?
| 您想要 | 使用 |
|---|---|
| 将一个数值相对于均值和标准差进行标准化 | 本 Z 分数计算器 |
| 根据 z 值查找面积或临界值 | Z-Table |
| 转换为 T 分数、智商、标准九分或 NCE | Standard Score Converter |
| 根据均值和标准差求 68-95-99.7 区间 | Empirical Rule Calculator |
| 将 z 值转换为 p 值 | P-Value Calculator |
常见问题
- 什么是 Z 分数?
- Z 分数(也称标准分数)表示某个数值高于或低于均值多少个标准差。公式为 z = (x − μ) ÷ σ。Z 分数为 0 表示该数值等于均值,正值表示高于均值,负值表示低于均值。
- 如何根据原始数据计算 Z 分数?
- 先求出数据的均值和标准差,再用数值减去均值,然后除以标准差。计算器的数据集模式会完成全部步骤:粘贴数字、输入数值,它就会显示计算过程。
- 负的 Z 分数意味着什么?
- 该数值低于均值。z 为 −1.5 表示低于平均值 1.5 个标准差,若数据服从正态分布,则约位于第 6.68 百分位。
- 什么是好的 Z 分数?
- 这取决于您衡量的是什么。对于考试成绩,越高越好;对于赛跑时间,越低越好。一般经验是:对于大致服从正态分布的数据,超出 ±2 为不寻常,超出 ±3 为罕见。
- 显示的百分位数有多准确?
- 它来自标准正态分布,采用精度约为概率小数点后七位的近似法计算,并以两位小数的百分比形式显示。只有在数据大致服从正态分布时,它才有意义。
- 数据集模式使用的是样本标准差还是总体标准差?
- 总体标准差,即除以 n。如果您需要样本标准差,请单独计算 s,然后使用“数值、均值和标准差”模式。