Z-Wert-Rechner
Geben Sie einen Wert mit Mittelwert und Standardabweichung ein — oder fügen Sie eine Zahlenliste ein und lassen Sie den Rechner sie auswerten — und erhalten Sie den Z-Wert: wie viele Standardabweichungen der Wert über oder unter dem Mittelwert liegt. Dazu erhalten Sie ein ungefähres Perzentil und die Rechnung mit Ihren Zahlen. Kostenlos, ohne Anmeldung.
Eingabemodus
Geben Sie einen Wert, einen Mittelwert und eine Standardabweichung größer als null ein, um den Z-Wert zu sehen.
So verwenden Sie den Z-Wert-Rechner
- 1. Wählen Sie den Eingabemodus. Aus Wert, Mittelwert und SD übernimmt die drei Zahlen direkt. Aus einem Datensatz nimmt eine Zahlenliste und den Wert, den Sie standardisieren möchten.
- 2. Geben Sie die Zahlen ein. Im ersten Modus geben Sie x, μ und σ ein (σ muss größer als null sein). Im Datensatz-Modus fügen Sie mindestens zwei Zahlen ein, getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche, und geben x ein.
- 3. Lesen Sie das Ergebnis. Sie erhalten den Z-Wert auf vier Dezimalstellen, das ungefähre Perzentil und im Datensatz-Modus den berechneten Mittelwert, die Standardabweichung und die Anzahl. Ein Satz beschreibt die Position in Worten.
- 4. Prüfen Sie die Rechnung. Die Zeile „Wie dies berechnet wurde“ zeigt z = (x − μ) ÷ σ mit Ihren Zahlen, sodass Sie sie in einen Bericht kopieren können.
Die Formel und was sie bedeutet
z = (x − μ) ÷ σ, wobei x der Wert, μ der Mittelwert und σ die Standardabweichung ist. Der Z-Wert ist einheitenlos: Er misst den Abstand vom Mittelwert in Standardabweichungen, sodass Werte aus verschiedenen Skalen verglichen werden können. Ein z von 0 ist genau durchschnittlich, +1 liegt eine Standardabweichung darüber und −2 liegen zwei darunter.
Zwei Prüfungen, ein Vergleich
Prüfung A: Sie haben 82 Punkte erreicht; der Klassenmittelwert lag bei 75 und die SD bei 6
z = (82 − 75) ÷ 6 = 1,1667, Perzentil ≈ 87,83 %
Prüfung B: Sie haben 78 Punkte erreicht; der Klassenmittelwert lag bei 70 und die SD bei 5
z = (78 − 70) ÷ 5 = 1,6, Perzentil ≈ 94,52 %
Die 78 ist das stärkere Ergebnis, obwohl die 82 die höhere Rohpunktzahl ist
Im Datensatz-Modus fügen Sie 62, 68, 71, 74, 70, 65, 80 und 77 ein und geben 85 ein. Der Rechner ermittelt μ = 70,875 und die Populations-σ = 5,6222, also z = (85 − 70,875) ÷ 5,6222 = 2,5124, etwa das 99,40. Perzentil.
Einen Z-Wert lesen
| Z-Wert | Perzentil (über / unter dem Mittelwert) | Deutung |
|---|---|---|
| 0 | 50,00. | Genau am Mittelwert |
| +1 / −1 | 84,13. / 15,87. | Eine Standardabweichung vom Mittelwert; häufig |
| +1,96 / −1,96 | 97,50. / 2,50. | Die Ränder der mittleren 95 % |
| +2 / −2 | 97,72. / 2,28. | Ungewöhnlich: etwa 4,6 % der Werte liegen jenseits von ±2 |
| +3 / −3 | 99,87. / 0,13. | Selten: etwa 0,27 % der Werte liegen jenseits von ±3 |
Das Perzentil gilt nur, wenn die Daten etwa glockenförmig verteilt sind. Bei schiefen Daten misst ein Z-Wert weiterhin den Abstand in Standardabweichungen, aber das Perzentil passt dann nicht mehr.
Das Perzentil stammt aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, ausgewertet mit der Näherung nach Abramowitz und Stegun (Formel 7.1.26 für die Fehlerfunktion, genau auf etwa 1,5 × 10⁻⁷). Betrachten Sie es als ungefähr, und verwenden Sie die Z-Table, wenn Sie die üblichen Nachschlagewerte mit vier Dezimalstellen benötigen.
Der Datensatz-Modus nutzt die Populations-SD
Wenn Sie Daten einfügen, ist σ die Populations-Standardabweichung (Division durch n). Das ist die übliche Wahl, wenn Sie Werte innerhalb der Gruppe standardisieren, die Sie vorliegen haben. Wenn Ihr Lehrbuch die Stichproben-Standardabweichung s (Division durch n − 1) verwendet, berechnen Sie sie mit dem Statistikrechner und geben sie stattdessen im Modus Wert, Mittelwert und SD ein. Bei großen Stichproben ist der Unterschied gering. Ein Z-Wert für einen Stichprobenmittelwert verwendet den Standardfehler statt der SD — dafür gibt es den Z-Test.
Welches Tool brauchen Sie?
| Sie möchten | Verwenden Sie |
|---|---|
| Einen Wert gegen einen Mittelwert und eine SD standardisieren | Diesen Z-Wert-Rechner |
| Eine Fläche oder einen kritischen Wert zu einem z nachschlagen | Z-Table |
| In T-Werte, IQ, Stanine oder NCE umrechnen | Standard Score Converter |
| Die Intervalle 68-95-99,7 für einen Mittelwert und eine SD erhalten | Empirical Rule Calculator |
| Einen z-Wert in einen p-Wert umrechnen | P-Value Calculator |
Häufig gestellte Fragen
- Was ist ein Z-Wert?
- Ein Z-Wert, auch Standardwert genannt, ist die Anzahl der Standardabweichungen, um die ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt: z = (x − μ) ÷ σ. Ein z von 0 bedeutet, dass der Wert dem Mittelwert entspricht; positive Werte liegen darüber, negative darunter.
- Wie berechne ich einen Z-Wert aus Rohdaten?
- Ermitteln Sie Mittelwert und Standardabweichung der Daten, ziehen Sie dann den Mittelwert von Ihrem Wert ab und teilen Sie durch die Standardabweichung. Der Datensatz-Modus des Rechners erledigt das alles: Fügen Sie die Zahlen ein, geben Sie den Wert ein, und er zeigt die Rechnung.
- Was bedeutet ein negativer Z-Wert?
- Der Wert liegt unter dem Mittelwert. Ein z von −1,5 bedeutet 1,5 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt, was bei normalverteilten Daten dem 6,68. Perzentil entspricht.
- Was ist ein guter Z-Wert?
- Das hängt davon ab, was Sie messen. Höher ist besser bei einem Testergebnis und niedriger bei einer Laufzeit. Als Faustregel gilt: Werte jenseits von ±2 sind bei annähernd normalverteilten Daten ungewöhnlich und jenseits von ±3 selten.
- Wie genau ist das angezeigte Perzentil?
- Es stammt aus der Standardnormalverteilung, ausgewertet mit einer Näherung, die bei der Wahrscheinlichkeit auf etwa sieben Dezimalstellen genau ist, und dann als Prozentwert auf zwei Dezimalstellen angezeigt. Es ist nur aussagekräftig, wenn die Daten annähernd normalverteilt sind.
- Verwendet der Datensatz-Modus die Stichproben- oder die Populations-Standardabweichung?
- Die Populations-Standardabweichung, mit Division durch n. Wenn Sie die Stichprobenversion benötigen, berechnen Sie s separat und verwenden Sie den Modus Wert, Mittelwert und SD.