Fehlerspanne-Rechner
Geben Sie die Stichprobengröße einer Umfrage, ein Konfidenzniveau und den beobachteten Prozentsatz ein und erhalten Sie die Fehlerspanne – dazu den Bereich, in dem der wahre Wert der Grundgesamtheit wahrscheinlich liegt. Fügen Sie die Populationsgröße hinzu, um die endliche Populationskorrektur anzuwenden. Die Formel wird mit Ihren Zahlen durchgerechnet. Kostenlos, ohne Anmeldung.
Geben Sie eine Stichprobengröße von mindestens 2 und einen Anteil zwischen 0 und 100 ein. Wenn Sie eine Populationsgröße angeben, muss sie größer als die Stichprobe sein.
So verwenden Sie den Fehlerspanne-Rechner
- 1. Geben Sie die Stichprobengröße ein. Dies ist die Anzahl der vollständig ausgefüllten Antworten, n, und sie muss mindestens 2 betragen.
- 2. Wählen Sie das Konfidenzniveau. 90 %, 95 % oder 99 % (z = 1,645, 1,96 bzw. 2,576). Umfragen geben meist 95 % an.
- 3. Geben Sie den beobachteten Prozentsatz ein. Verwenden Sie den Anteil, der die Antwort ergab, die Sie berichten, zwischen 0 und 100. Wenn Sie den vorsichtigsten Wert möchten oder die Umfrage viele Fragen enthält, verwenden Sie 50.
- 4. Fügen Sie die Populationsgröße hinzu, falls bekannt. Sie muss größer sein als die Stichprobe. Lassen Sie das Feld für eine große Population leer.
- 5. Lesen Sie die Fehlerspanne ab. Sie erhalten die Fehlerspanne als ± Prozentpunkte, den verwendeten z-Wert, gegebenenfalls die endliche Korrektur und einen Satz mit dem wahrscheinlichen Bereich für den wahren Wert.
Die Formel
Für einen Anteil gilt: Fehlerspanne = z × √(p × (1 − p) ÷ n). Bei bekannter Populationsgröße N wird das Ergebnis mit der endlichen Populationskorrektur √((N − n) ÷ (N − 1)) multipliziert. Die Spanne ist bei p = 0,5 am größten und wird kleiner, je näher der beobachtete Anteil an 0 % oder 100 % liegt.
1.000 Befragte, 95 % Konfidenz, 54 % sagten Ja
Fehlerspanne = 1,96 × √(0,54 × 0,46 ÷ 1.000) = 1,96 × 0,015761 = ±3,09 Prozentpunkte
Wahrscheinlicher Bereich für den wahren Anteil: 54 % ± 3,09 = etwa 50,9 % bis 57,1 %
Bei p = 50 % ergibt dieselbe Stichprobe ±3,10 Prozentpunkte, der Wert, der meist für eine Umfrage mit 1.000 Befragten angegeben wird
Wären diese 1.000 aus einer Population von 5.000 gezogen worden: Korrektur = √(4.000 ÷ 4.999) = 0,8945, sodass die Spanne bei p = 50 % auf ±2,77 Prozentpunkte sinkt
Wie die Stichprobengröße die Spanne verändert
| Stichprobengröße | Fehlerspanne (95 %, p = 50 %) |
|---|---|
| 100 | ±9,80 % |
| 500 | ±4,38 % |
| 1.000 | ±3,10 % |
| 2.000 | ±2,19 % |
Die Spanne sinkt mit der Quadratwurzel der Stichprobe; halbiert man sie, braucht man viermal so viele Befragte. Der Rechner zeigt diese Tabelle für das gewählte Konfidenzniveau.
Was die Spanne abdeckt und was nicht
- Die Spanne beschreibt nur den zufälligen Stichprobenfehler. Sie setzt eine einfache Zufallsstichprobe voraus. Verzerrte Fragestellungen, ein nicht repräsentatives Panel und Personen, die nicht antworten, sind darin nicht enthalten, und sie können schwerer wiegen.
- Die Spanne ist keine Garantie. Bei 95 % Konfidenz verfehlt etwa eines von zwanzig so berechneten Intervallen den wahren Wert.
- Teilgruppen sind unschärfer. Die Spanne für Frauen zwischen 18 und 24 Jahren richtet sich nach der Zahl der Befragten in dieser Gruppe, nicht nach der gesamten Stichprobe.
- Der Vergleich zweier Werte braucht mehr Spielraum. Die Spanne für eine Differenz zwischen zwei unabhängigen Ergebnissen beträgt etwa das 1,4-Fache der einzelnen Spanne. Ein Vorsprung von 3 Punkten bei Spannen von jeweils ±3 Punkten ist deshalb kein klarer Beleg für einen Vorsprung.
- Die Spanne gilt für Anteile. Für einen Mittelwert, etwa die durchschnittlichen Ausgaben, verwenden Sie den Confidence Interval Calculator.
Welches Tool brauchen Sie?
| Ihre Frage | Verwenden Sie |
|---|---|
| Die Fehlerspanne für eine Stichprobe, die Sie bereits haben | Dieser Fehlerspanne-Rechner |
| Wie viele Personen für eine gewünschte Spanne zu befragen sind | Stichprobengröße-Rechner |
| Ein Konfidenzintervall für einen Anteil oder einen Mittelwert | Confidence Interval Calculator |
| Die Stichprobe für eine Studie, die einen Effekt nachweisen muss | Statistical Power & Sample Size Calculator |
| Den Standardfehler hinter der Spanne | Standard Error Calculator |
Häufig gestellte Fragen
- Was ist die Fehlerspanne?
- Die Fehlerspanne ist das Plus-minus, das zu einem Umfrageprozentsatz gehört und den Stichprobenfehler abbildet. Ein Ergebnis von 54 % mit einer Spanne von ±3 Prozentpunkten bei 95 % Konfidenz bedeutet, dass der wahre Wert der Grundgesamtheit wahrscheinlich zwischen 51 % und 57 % liegt.
- Wie wird die Fehlerspanne berechnet?
- Multiplizieren Sie den z-Wert für Ihr Konfidenzniveau mit dem Standardfehler des Anteils: z × √(p(1 − p) ÷ n). Bei bekannter Population multiplizieren Sie außerdem mit der endlichen Populationskorrektur √((N − n) ÷ (N − 1)).
- Wie kann ich meine Fehlerspanne verringern?
- Erhöhen Sie die Stichprobengröße, akzeptieren Sie ein niedrigeres Konfidenzniveau oder befragen Sie bei einer kleinen Population einen größeren Anteil davon. Wegen der Quadratwurzel wird eine kleinere Spanne schnell teuer: ±3 Prozentpunkte brauchen etwa viermal so viele Personen wie ±6.
- Warum wird 50 % als Standardanteil verwendet?
- p × (1 − p) ist bei 50 % am größten, daher ergibt dieser Wert die größte, vorsichtigste Spanne. Umfrageergebnisse bei 50 % haben immer eine Spanne, die mindestens so groß ist wie bei jedem anderen Prozentwert derselben Umfrage.
- Was ist die endliche Populationskorrektur?
- Wenn die Stichprobe einen großen Anteil einer kleinen Population ausmacht, sinkt die Unsicherheit mit jeder zusätzlichen Person schneller, daher wird die Spanne um den Faktor √((N − n) ÷ (N − 1)) kleiner. Sie spielt eine Rolle, wenn die Stichprobe mehr als etwa 5 % der Population ausmacht; darunter ist sie vernachlässigbar.
- Was ist eine gute Fehlerspanne für eine Umfrage?
- Die meisten Umfragen und Marktbefragungen streben bei 95 % Konfidenz ±3 bis ±5 Prozentpunkte an, was etwa 400 bis 1.100 Befragte erfordert. Kleinere Spannen können sich bei knappen Entscheidungen lohnen, größere sind für explorative Arbeiten vertretbar.