Wie berechne ich die Standardabweichung?

Bestimmen Sie den Mittelwert, subtrahieren Sie ihn von jedem Wert, quadrieren Sie diese Differenzen und addieren Sie sie, teilen Sie durch n − 1 bei einer Stichprobe (oder durch n bei einer Grundgesamtheit), um die Varianz zu erhalten, und ziehen Sie dann die Quadratwurzel. Für 12, 15, 9, 22, 18, 14, 15, 20 beträgt die Stichproben-Standardabweichung 4,2405.

Was ist der Unterschied zwischen Stichproben- und Grundgesamtheits-Standardabweichung?

Die Grundgesamtheitsversion teilt durch n und behandelt Ihre Zahlen als die gesamte Gruppe. Die Stichprobenversion teilt durch n − 1, um die Streuung einer größeren Grundgesamtheit aus einer Stichprobe zu schätzen. Verwenden Sie bei Forschungsdaten die Stichprobenversion.

Wie unterscheidet sich der Median vom Mittelwert?

Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel aller Werte; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste. Der Median ist robuster gegenüber Ausreißern, daher nennen Berichte über schiefe Daten wie Einkommen oft den Median.

Kann ein Datensatz mehr als einen Modus haben?

Ja. Teilen sich zwei oder mehr Werte die höchste Häufigkeit, sind die Daten multimodal, und jeder gleichauf liegende Wert ist ein Modus. Wiederholt sich kein Wert, gibt es keinen Modus.

Warum weichen meine Quartile von denen in Excel ab?

Dieser Rechner verwendet die Median-der-Hälften-Methode. Excels QUARTILE.INC interpoliert zwischen Datenpunkten, und QUARTILE.EXC verwendet eine dritte Regel, daher unterscheiden sich Q1 und Q3 bei kleinen Datensätzen. Alle sind anerkannte Konventionen.

Was bedeutet eine Standardabweichung von null?

Alle Werte sind gleich, sodass keiner vom Mittelwert abweicht. Jede noch so kleine Streuung macht die Standardabweichung positiv.

Rechner für deskriptive Statistik

Fügen Sie Ihre Zahlen ein — getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche — und erhalten Sie Mittelwert, Median, Modus, Stichproben- und Grundgesamtheits-Standardabweichung, Varianz, Spannweite, Quartile und IQR in einer Tabelle, bereit zum Kopieren. Beide Versionen der Standardabweichung werden angezeigt, damit Sie die passende wählen können. Kostenlos, ohne Anmeldung.

Ihre Daten — Zahlen getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche

0 Zahlen erkannt

So verwenden Sie den Statistikrechner

1. Fügen Sie Ihre Daten ein. Geben Sie die Zahlen getrennt durch Kommas, Leerzeichen, Tabulatoren oder Zeilenumbrüche in das Feld ein, in beliebiger Mischung. Dezimalzahlen und negative Zahlen funktionieren; was keine Zahl ist, wird übersprungen, und ein Zähler zeigt, wie viele Zahlen gelesen wurden.
2. Lesen Sie die Ergebnisse. Anzahl, Summe, Minimum, Maximum und Spannweite stehen zuerst, dann Mittelwert, Median und Modus (Modi), dann Varianz und Standardabweichung in beiden Versionen, dann Q1, Q3 und der IQR. Werte werden mit bis zu vier Nachkommastellen angezeigt.
3. Wählen Sie Stichprobe oder Grundgesamtheit. Verwenden Sie die Stichprobenwerte, wenn Ihre Zahlen eine Stichprobe aus einer größeren Gruppe sind, und die Grundgesamtheitswerte, wenn sie alle Werte der Gruppe sind (siehe unten).
4. Kopieren oder leeren. Ergebnisse kopieren legt alle fünfzehn Zeilen als reinen Text mit Dezimalpunkt in die Zwischenablage; Leeren leert das Feld.

Stichproben- oder Grundgesamtheits-Standardabweichung?

Beide messen den typischen Abstand der Werte vom Mittelwert und unterscheiden sich nur im Divisor. Grundgesamtheit: σ = √(Σ(x − μ)² ÷ N). Stichprobe: s = √(Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)). Die Division durch n − 1 (Bessel-Korrektur) gleicht aus, dass eine Stichprobe näher an ihrem eigenen Mittelwert liegt als am wahren Mittelwert der Grundgesamtheit; durch n zu teilen würde die Streuung unterschätzen.

Acht Werte: 12, 15, 9, 22, 18, 14, 15, 20

Summe = 125 und n = 8, also Mittelwert = 125 ÷ 8 = 15,625

Summe der quadrierten Abweichungen Σ(x − 15,625)² = 125,875

Grundgesamtheits-Varianz = 125,875 ÷ 8 = 15,7344; Grundgesamtheits-Standardabweichung = 3,9667

Stichproben-Varianz = 125,875 ÷ 7 = 17,9821; Stichproben-Standardabweichung = 4,2405

Verwenden Sie die Stichproben-Standardabweichung, wenn Ihre Zahlen eine Stichprobe sind, die etwas über eine größere Gruppe aussagen soll. Das ist in Forschung, Umfragen und Laborarbeit der Regelfall und entspricht dem, was Excels STDEV.S, R's sd und die meisten Statistikkurse standardmäßig meinen. Verwenden Sie die Grundgesamtheits-Version, wenn die Daten alle Mitglieder der Gruppe sind, die Sie interessiert, etwa alle Ergebnisse einer Klasse, die Sie nur beschreiben. Bei einem einzigen Wert sind die Stichprobenstatistiken nicht definiert, und der Rechner zeigt einen Strich. Mit wachsendem n nähern sich beide einander an.

Mittelwert, Median und Modus

Mittelwert — die Summe geteilt durch die Anzahl (15,625 oben). Er berücksichtigt jeden Wert, sodass ein einzelner Extremwert ihn verschiebt.
Median — der mittlere Wert der sortierten Liste oder der Durchschnitt der beiden mittleren Werte, wenn die Anzahl gerade ist. Bei den acht Werten ist er der Durchschnitt von 15 und 15, also 15. Er ist robust gegenüber Ausreißern: Ersetzen Sie 22 durch 220, springt der Mittelwert auf 40,4, während der Median bei 15 bleibt.
Modus — der häufigste Wert (hier 15). Bei Gleichstand werden alle aufgeführt; wiederholt sich kein Wert, meldet der Rechner keinen, denn eine Liste lauter verschiedener Zahlen hat keinen Modus.

Quartile: eine von mehreren Methoden

Q1 ist der Median der unteren Hälfte der sortierten Daten und Q3 der Median der oberen Hälfte; bei ungerader Anzahl bleibt der mittlere Wert außen vor. Für die Werte ergibt das Q1 = 13, Q3 = 19 und IQR = 6. Tabellenkalkulationen und andere Software interpolieren oft: Excels QUARTILE.INC liefert für dieselben Daten Q1 = 13,5 und Q3 = 18,5. Keine der Methoden ist falsch, aber sie weichen bei kleinen Datensätzen voneinander ab, daher sollten Sie die verwendete Methode nennen, wenn Ihr Kurs oder Ihre Zeitschrift darauf achtet.

Welches Tool brauchen Sie?

Sie möchten	Verwenden Sie
Mittelwert, Median, Modus, Standardabweichung und Quartile einer Liste	Diesen Statistikrechner
Schiefe, Wölbung und Tests zur Form	Skewness and Kurtosis Calculator
Dieselben Statistiken aus einer Häufigkeitstabelle oder Klassenintervallen	Grouped Data Calculator
Wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist	Z-Wert-Rechner
Den Standardfehler eines Mittelwerts	Standard Error Calculator
Das Perzentil eines Wertes in einer Liste	Percentile Calculator

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich die Standardabweichung?: Bestimmen Sie den Mittelwert, subtrahieren Sie ihn von jedem Wert, quadrieren Sie diese Differenzen und addieren Sie sie, teilen Sie durch n − 1 bei einer Stichprobe (oder durch n bei einer Grundgesamtheit), um die Varianz zu erhalten, und ziehen Sie dann die Quadratwurzel. Für 12, 15, 9, 22, 18, 14, 15, 20 beträgt die Stichproben-Standardabweichung 4,2405.
Was ist der Unterschied zwischen Stichproben- und Grundgesamtheits-Standardabweichung?: Die Grundgesamtheitsversion teilt durch n und behandelt Ihre Zahlen als die gesamte Gruppe. Die Stichprobenversion teilt durch n − 1, um die Streuung einer größeren Grundgesamtheit aus einer Stichprobe zu schätzen. Verwenden Sie bei Forschungsdaten die Stichprobenversion.
Wie unterscheidet sich der Median vom Mittelwert?: Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel aller Werte; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste. Der Median ist robuster gegenüber Ausreißern, daher nennen Berichte über schiefe Daten wie Einkommen oft den Median.
Kann ein Datensatz mehr als einen Modus haben?: Ja. Teilen sich zwei oder mehr Werte die höchste Häufigkeit, sind die Daten multimodal, und jeder gleichauf liegende Wert ist ein Modus. Wiederholt sich kein Wert, gibt es keinen Modus.
Warum weichen meine Quartile von denen in Excel ab?: Dieser Rechner verwendet die Median-der-Hälften-Methode. Excels QUARTILE.INC interpoliert zwischen Datenpunkten, und QUARTILE.EXC verwendet eine dritte Regel, daher unterscheiden sich Q1 und Q3 bei kleinen Datensätzen. Alle sind anerkannte Konventionen.
Was bedeutet eine Standardabweichung von null?: Alle Werte sind gleich, sodass keiner vom Mittelwert abweicht. Jede noch so kleine Streuung macht die Standardabweichung positiv.