Rechner für gruppierte Daten
Tippen Sie Ihre Klassen und Häufigkeiten ein – eine pro Zeile, etwa „10-20, 5“ – und erhalten Sie Mittelwert, Median, Modus, Quartile, Varianz und Standardabweichung der gruppierten Daten, dazu die Häufigkeitstabelle, die Interpolationsformeln mit Ihren Zahlen und ein Histogramm. Kostenlos, ohne Anmeldung; nichts verlässt Ihren Browser.
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Geben Sie mindestens eine Klasse mit einer Häufigkeit ein – zum Beispiel „10-20, 5“ –, um Mittelwert, Median, Modus und Standardabweichung zu sehen.
So verwenden Sie den Rechner für gruppierte Daten
- 1. Klassen eingeben. Eine Klasse pro Zeile: untere Grenze, obere Grenze und Häufigkeit, getrennt durch ein Komma, einen Doppelpunkt oder ein Leerzeichen. Zwischen den Grenzen funktionieren ein Bindestrich, ein Gedankenstrich oder das Wort „bis“; „10-20, 5“, „10 – 20: 5“ und „10 bis 20 5“ werden also alle gleich gelesen.
- 2. Grenzen behandeln. Wenn Ihre Klassen aneinanderstoßen (0–10, 10–20), werden sie wie geschrieben verwendet. Lassen sie eine Lücke (10–19, 20–29), verschiebt der Rechner jede Grenze standardmäßig um die halbe Lücke nach außen (9,5–19,5), wie es Lehrbücher für den Median tun. Sie können das ausschalten.
- 3. Kennzahlen lesen. Die Karten zeigen Mittelwert, Median, Modus und die Standardabweichung der Stichprobe; die Tabelle listet die Quartile und ebenso die Werte für die Grundgesamtheit.
- 4. Rechenweg verfolgen. Jede Formel ist mit Ihren Zahlen ausgeschrieben, sodass Sie sie mit Ihren Notizen vergleichen oder die Methode übernehmen können.
Die Formeln für gruppierte Daten
Eine gruppierte Tabelle verwirft die einzelnen Werte; daher wird jede Klasse durch ihre Mitte x dargestellt, und jeder Wert darin wird so behandelt, als wäre er gleich x. Mit der Häufigkeit f und der Gesamthäufigkeit n = Σf:
| Kennzahl | Formel | Hinweise |
|---|---|---|
| Mittelwert | x̄ = Σfx ÷ n | Jede Klassenmitte, gewichtet mit ihrer Häufigkeit |
| Stichprobenvarianz | s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1) | Stattdessen durch n teilen für eine Grundgesamtheit |
| Median | L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w | L = untere Grenze der Medianklasse, CF = kumulierte Häufigkeit davor, w = Klassenbreite |
| Quartil Q1, Q3 | L + ((n ÷ 4 − CF) ÷ f) × w, und 3n ÷ 4 für Q3 | Dieselbe Idee bei den 25-%- und 75-%-Marken |
| Modus | L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w | Δ1 = f₁ − f₀, Δ2 = f₁ − f₂; f₁ ist die Häufigkeit der Modalklasse, f₀ und f₂ sind ihre Nachbarn |
Die Medianklasse ist die erste Klasse, deren kumulierte Häufigkeit n ÷ 2 erreicht. Die Formel setzt den Median anteilig in diese Klasse, was dasselbe ist, als läse man ihn an einer Summenkurve (Ogive) ab. Die Modalklasse ist die mit der höchsten Häufigkeit; der Modus wird zu dem Nachbarn hin verschoben, der höher ist.
Klassenlimits gegenüber Klassengrenzen
Klassenlimits sind die kleinsten und größten Werte, die eine Klasse wie erfasst aufnehmen kann: 10–19 und 20–29 für Alter in ganzen Jahren. Zwischen 19 und 20 klafft eine Lücke, daher gehört ein gemessener Wert von 19,6 nirgends hin. Klassengrenzen schließen die Lücke, indem sie sie teilen: 9,5–19,5 und 19,5–29,5. Die Formeln für Median, Quartile und Modus verwenden Grenzen, weil sie entlang einer stetigen Skala interpolieren. Die Klassenmitte bleibt in beiden Fällen gleich, daher ändern sich Mittelwert und Standardabweichung nicht.
Ein durchgerechnetes Beispiel
Klicken Sie auf „Beispiel ausprobieren“, um fünf Klassen von Punkten aus 50 zu laden – 0–10 (3 Schüler), 10–20 (7), 20–30 (12), 30–40 (14) und 40–50 (9) –, sodass n = 45 ist und die Klassenmitten 5, 15, 25, 35 und 45 betragen.
- Mittelwert: Σfx = 15 + 105 + 300 + 490 + 405 = 1.315, also x̄ = 1.315 ÷ 45 = 29,2222.
- Varianz und Standardabweichung: Σfx² = 44.525, also s² = (44.525 − 1.315² ÷ 45) ÷ 44 = 138,5859 und s = 11,7722. Durch n statt n − 1 geteilt beträgt die Varianz der Grundgesamtheit 135,5062 und die Standardabweichung 11,6407.
- Median: n ÷ 2 = 22,5. Die kumulierten Häufigkeiten sind 3, 10, 22, 36, 45; die Medianklasse ist also 30–40, mit CF = 22 und f = 14. Median = 30 + ((22,5 − 22) ÷ 14) × 10 = 30,3571.
- Quartile: Q1 liegt bei 11,25, in der Klasse 20–30: 20 + ((11,25 − 10) ÷ 12) × 10 = 21,0417. Q3 liegt bei 33,75, in 30–40: 30 + ((33,75 − 22) ÷ 14) × 10 = 38,3929.
- Modus: Die Modalklasse ist 30–40 (f₁ = 14) mit den Nachbarn 12 und 9. Δ1 = 2 und Δ2 = 5, also ist der Modus 30 + (2 ÷ 7) × 10 = 32,8571.
Der Mittelwert (29,2) liegt unter dem Median (30,4), der wiederum unter dem Modus (32,9) liegt – die Reihenfolge, die Sie bei Daten mit einem längeren Ausläufer zu niedrigen Punktzahlen erwarten.
Wie genau sind gruppierte Kennzahlen?
Sie sind Schätzungen. Jeden Wert durch die Klassenmitte zu ersetzen ist nur dann exakt, wenn die Werte innerhalb jeder Klasse gleichmäßig verteilt sind; daher liegt der gruppierte Mittelwert meist nahe am wahren Mittelwert, und der gruppierte Median und Modus sind Interpolationen statt beobachteter Werte. Bei stetigen Daten wird die Varianz tendenziell leicht überschätzt; Sheppards Korrektur zieht w² ÷ 12 ab (w ist die Klassenbreite), wenn die Klassen gleich groß und im Verhältnis zur Streuung schmal sind. Wenn Sie noch die Rohdaten haben, verwenden Sie stattdessen den Statistikrechner; dieses Werkzeug nutzen Sie, wenn Sie nur eine Tabelle haben.
Häufig gestellte Fragen
- Wie finde ich den Mittelwert gruppierter Daten?
- Ermitteln Sie die Mitte jeder Klasse, multiplizieren Sie sie mit der Klassenhäufigkeit, addieren Sie diese Produkte und teilen Sie durch die Gesamthäufigkeit: x̄ = Σfx ÷ n. Für die Klassen 0–10, 10–20 und so weiter mit den Häufigkeiten 3, 7, 12, 14 und 9 ergeben die Produkte zusammen 1.315, und der Mittelwert ist 1.315 ÷ 45 = 29,2222.
- Wie finde ich den Median gruppierter Daten?
- Berechnen Sie n ÷ 2, suchen Sie die erste Klasse, deren kumulierte Häufigkeit diesen Wert erreicht (die Medianklasse), und wenden Sie dann L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w an. Dabei ist L die untere Grenze dieser Klasse, CF die kumulierte Häufigkeit davor, f ihre Häufigkeit und w ihre Breite. Das Ergebnis liegt irgendwo innerhalb der Medianklasse.
- Wie finde ich den Modus gruppierter Daten?
- Wählen Sie die Klasse mit der höchsten Häufigkeit (die Modalklasse) und verwenden Sie L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w. Dabei ist Δ1 ihre Häufigkeit minus die der vorherigen Klasse, Δ2 ihre Häufigkeit minus die der nächsten Klasse und w ihre Breite. Bei einem Gleichstand zweier Klassen gibt der Rechner für jede einen Modus an.
- Wie berechne ich die Standardabweichung aus einer Häufigkeitstabelle?
- Berechnen Sie den Mittelwert, dann s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1), und ziehen Sie die Quadratwurzel. Für eine Grundgesamtheit verwenden Sie n statt n − 1. Der Rechner zeigt beides, damit Sie die Variante wählen können, die Ihr Kurs verlangt.
- Was ist der Unterschied zwischen Klassenlimits und Klassengrenzen?
- Limits sind die erfassten Endpunkte einer Klasse (10–19, 20–29). Grenzen sind die Punkte mitten in den Lücken (9,5, 19,5, 29,5), die die Klassen stetig machen. Die Formeln für Median, Quartile und Modus verwenden Grenzen; die Klassenmitte, der Mittelwert und die Standardabweichung bleiben unberührt.
- Warum weicht mein gruppierter Mittelwert vom Mittelwert der Rohdaten ab?
- Durch das Gruppieren gehen Informationen verloren. Jeder Wert in einer Klasse wird so behandelt, als läge er in der Mitte, daher ist der gruppierte Mittelwert nur eine Näherung. Je mehr Klassen Sie verwenden und je gleichmäßiger die Werte innerhalb jeder Klasse verteilt sind, desto näher kommt er dem tatsächlichen Wert.
- Können die Klassen unterschiedlich breit sein?
- Ja. Mittelwert, Varianz, Median und Quartile funktionieren mit beliebigen Breiten. Für den Modus vergleicht der Rechner die Häufigkeitsdichte (Häufigkeit ÷ Breite) statt der reinen Häufigkeit, weil eine breite Klasse naturgemäß mehr Werte sammelt. Er zeigt einen Hinweis, wenn er das tut.