حاسبة البيانات المبوّبة
اكتب فئاتك وتكراراتها، فئة في كل سطر، مثل “10-20, 5”، وستحصل على المتوسط والوسيط والمنوال والربيعيات والتباين والانحراف المعياري للبيانات المبوّبة، مع جدول التكرار ومعادلات الاستيفاء محسوبة بأرقامك، ومدرج تكراري. مجانية، دون تسجيل، ولا يغادر شيء متصفحك.
0 فئة مقروءة
أدخل فئة واحدة على الأقل مع تكرارها، مثل “10-20, 5”، لترى المتوسط والوسيط والمنوال والانحراف المعياري.
كيفية استخدام حاسبة البيانات المبوّبة
- 1. أدخل الفئات. فئة في كل سطر: الحد الأدنى والحد الأعلى والتكرار، مفصولة بفاصلة أو نقطتين أو مسافة. وتصلح الشرطة (-) أو الشرطة الطويلة أو كلمة “to” بين الحدين، فـ“10-20, 5” و“10 – 20: 5” و“10 to 20 5” تُقرأ بالطريقة نفسها.
- 2. اختر معاملة الحدود. إن كانت فئاتك متلاصقة (0–10، 10–20) فتُستعمل كما كُتبت. وإن كانت بينها فجوة (10–19، 20–29) فإن الحاسبة تنقل كل حد بمقدار نصف الفجوة إلى الخارج (9.5–19.5) افتراضيًا، كما تفعل الكتب الدراسية في حساب الوسيط. ويمكنك إيقاف ذلك.
- 3. اقرأ الإحصاءات. تعطي البطاقات المتوسط والوسيط والمنوال والانحراف المعياري للعينة، ويعرض الجدول الربيعيات وصيغ المجتمع أيضًا.
- 4. اتبع الخطوات. تُكتب كل صيغة بأرقامك، فيمكنك مطابقتها مع ملاحظاتك أو نسخ الطريقة.
صيغ البيانات المبوّبة
يُسقط الجدول المبوّب القيم الفردية، لذلك تُمثَّل كل فئة بمركزها x، وتُعامَل كل قيمة فيها كأنها تساوي x. ومع التكرار f ومجموع التكرارات n = Σf:
| الإحصاء | الصيغة | ملاحظات |
|---|---|---|
| المتوسط | x̄ = Σfx ÷ n | كل مركز مُرجَّح بتكراره |
| تباين العينة | s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1) | اقسم على n بدلًا من ذلك لحساب المجتمع |
| الوسيط | L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w | L الحد الأدنى لفئة الوسيط، وCF التكرار المتجمع قبلها، وw عرض الفئة |
| الربيعي Q1 وQ3 | L + ((n ÷ 4 − CF) ÷ f) × w، وللربيعي الثالث 3n ÷ 4 | الفكرة نفسها عند علامتي 25% و75% |
| المنوال | L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w | Δ1 = f₁ − f₀، وΔ2 = f₁ − f₂؛ حيث f₁ تكرار الفئة المنوالية، وf₀ وf₂ تكراري جارتيها |
فئة الوسيط هي أول فئة يبلغ عندها التكرار المتجمع n ÷ 2. وتضع المعادلة الوسيط بنسبة داخل تلك الفئة، وهذا هو القراءة نفسها من المضلع التكراري المتجمع (المنحنى المتجمع، ogive). والفئة المنوالية هي ذات أعلى تكرار؛ ويُجذب المنوال نحو الجارة الأعلى تكرارًا.
حدود الفئات مقابل حدودها الفعلية
حدود الفئة هي أصغر قيمة وأكبر قيمة يمكن أن تحتويها الفئة كما سُجّلت: 10–19 و20–29 للأعمار بالسنوات الكاملة. وتوجد فجوة بين 19 و20، فالقيمة المقاسة 19.6 لا تنتمي إلى أي منهما. أما الحدود الفعلية للفئات فتسدّ الفجوة بتقسيمها: 9.5–19.5 و19.5–29.5. وتستعمل صيغ الوسيط والربيعيات والمنوال هذه الحدود، لأنها تستوفي على مقياس متصل. ومركز الفئة واحد في الحالتين، لذلك لا يتغير المتوسط ولا الانحراف المعياري.
مثال محلول
انقر «جرّب مثالًا» لتحميل خمس فئات من علامات من 50: 0–10 (3 طلاب)، و10–20 (7)، و20–30 (12)، و30–40 (14)، و40–50 (9)، فيكون n = 45 ومراكز الفئات 5 و15 و25 و35 و45.
- المتوسط: Σfx = 15 + 105 + 300 + 490 + 405 = 1,315، إذن x̄ = 1,315 ÷ 45 = 29.2222.
- التباين والانحراف المعياري: Σfx² = 44,525، إذن s² = (44,525 − 1,315² ÷ 45) ÷ 44 = 138.5859 وs = 11.7722. وإذا قسمنا على n بدلًا من ذلك، يكون تباين المجتمع 135.5062 والانحراف المعياري 11.6407.
- الوسيط: n ÷ 2 = 22.5. والتكرارات المتجمعة هي 3 و10 و22 و36 و45، لذلك فئة الوسيط هي 30–40، مع CF = 22 وf = 14. الوسيط = 30 + ((22.5 − 22) ÷ 14) × 10 = 30.3571.
- الربيعيان: يقع Q1 عند 11.25 في الفئة 20–30: 20 + ((11.25 − 10) ÷ 12) × 10 = 21.0417. ويقع Q3 عند 33.75 في الفئة 30–40: 30 + ((33.75 − 22) ÷ 14) × 10 = 38.3929.
- المنوال: الفئة المنوالية هي 30–40 (f₁ = 14)، وجارتاها 12 و9. فـ Δ1 = 2 وΔ2 = 5، إذن المنوال = 30 + (2 ÷ 7) × 10 = 32.8571.
المتوسط (29.2) أقل من الوسيط (30.4)، والوسيط أقل من المنوال (32.9)، وهو الترتيب المتوقع للبيانات التي لها ذيل أطول نحو العلامات المنخفضة.
ما مدى دقة الإحصاءات المبوّبة؟
إنها تقديرات. فاستبدال كل قيمة بمركز فئتها دقيق فقط إذا توزعت القيم بانتظام داخل كل فئة، لذلك يقع المتوسط المبوّب عادةً قريبًا من المتوسط الحقيقي، والوسيط والمنوال المبوّبان استيفاءان لا قيمتان مرصودتان. وفي البيانات المتصلة يميل التباين إلى المبالغة قليلًا؛ ويطرح تصحيح Sheppard المقدار w² ÷ 12 (حيث w عرض الفئة) حين تكون الفئات متساوية وضيقة بالنسبة إلى التشتت. وحين تملك البيانات الخام، فاستخدم حاسبة الإحصاء الوصفي بدلًا من ذلك، واستخدم هذه الأداة حين يكون الجدول كل ما لديك.
الأسئلة الشائعة
- كيف أجد المتوسط للبيانات المبوّبة؟
- اعثر على مركز كل فئة، واضربه في تكرار الفئة، واجمع حواصل الضرب، ثم اقسم على مجموع التكرارات: x̄ = Σfx ÷ n. فمع الفئات 0–10 و10–20 وهكذا، بتكرارات 3 و7 و12 و14 و9، تبلغ حواصل الضرب 1,315، ويكون المتوسط 1,315 ÷ 45 = 29.2222.
- كيف أجد الوسيط للبيانات المبوّبة؟
- احسب n ÷ 2، ثم اعثر على أول فئة يبلغ عندها التكرار المتجمع هذا العدد (فئة الوسيط)، ثم طبّق L + ((n ÷ 2 − CF) ÷ f) × w، حيث L الحد الأدنى لتلك الفئة، وCF التكرار المتجمع قبلها، وf تكرارها، وw عرضها. والناتج يقع داخل فئة الوسيط.
- كيف أجد المنوال للبيانات المبوّبة؟
- اختر الفئة ذات أعلى تكرار (الفئة المنوالية)، واستعمل L + (Δ1 ÷ (Δ1 + Δ2)) × w، حيث Δ1 تكرارها ناقص تكرار الفئة السابقة، وΔ2 تكرارها ناقص تكرار الفئة التالية، وw عرضها. فإذا تساوت فئتان، تعرض الحاسبة منوالًا لكل منهما.
- كيف أحسب الانحراف المعياري من جدول تكرار؟
- احسب المتوسط، ثم s² = (Σfx² − (Σfx)² ÷ n) ÷ (n − 1)، ثم خذ الجذر التربيعي. واستعمل n بدلًا من n − 1 لحساب المجتمع. وتعرض الحاسبة الاثنين، لتطابق ما يشترطه مقررك.
- ما الفرق بين حدود الفئة وحدودها الفعلية؟
- الحدود هي نهايات الفئة كما سُجّلت (10–19، 20–29). أما الحدود الفعلية فهي النقاط في منتصف الفجوات (9.5 و19.5 و29.5) التي تجعل الفئات متصلة. تستعمل صيغ الوسيط والربيعيات والمنوال الحدود الفعلية، ولا يتأثر المركز والمتوسط والانحراف المعياري.
- لماذا يختلف متوسطي المبوّب عن متوسط البيانات الخام؟
- التبويب يفقد معلومات. فكل قيمة داخل الفئة تُعامل كأنها عند المركز، لذلك لا يعدو المتوسط المبوّب أن يكون تقريبًا. وكلما زادت الفئات، وتوزعت القيم داخل كل فئة بانتظام أكبر، اقترب المتوسط من الحقيقي.
- هل يمكن أن تكون عروض الفئات مختلفة؟
- نعم. فالمتوسط والتباين والوسيط والربيعيات تعمل مع أي عروض. أما المنوال فتقارن فيه الحاسبة كثافة التكرار (التكرار ÷ العرض) بدلًا من التكرار الخام، لأن الفئة العريضة تجمع قيمًا أكثر بطبيعتها. وتعرض ملاحظة حين تفعل ذلك.