حاسبة التوزيع الهندسي

النتائج

كيفية استخدام حاسبة التوزيع الهندسي

1. 1. اختر ما تعدّه. المحاولات حتى النجاح الأول وشاملةً إياه (X = 1, 2, 3, …) أو الإخفاقات قبل النجاح الأول (Y = 0, 1, 2, …). تستخدم المقررات التمهيدية غالبًا الأول، بينما يستخدم R وبعض كتب الإحصاء الثاني.
2. 2. أدخل p. احتمال النجاح في كل محاولة مستقلة، مثل 0.2 لاحتمال واحد من خمسة.
3. 3. أدخل k. المحاولة التي تريد أن يأتي فيها النجاح الأول (أو عدد الإخفاقات)، واختياريًا طرفًا أعلى لمدى.
4. 4. اقرأ النتائج. تساوي، وعلى الأكثر، وأقل من، وعلى الأقل، وأكثر من، مع ملء الصيغة، والمتوسط والتباين والوسيط، واستدعاء R المكافئ، وجدول ورسم عمودي.

تعريفان للتوزيع الهندسي

يصف التوزيع الهندسي محاولات مستقلة متكررة، لكل منها احتمال النجاح نفسه p، حتى يقع النجاح الأول. وتعدّ الكتب النتيجة بطريقتين مختلفتين، وتعطي الطريقتان صيغًا ومتوسطات مختلفة واستدعاءات برمجية مختلفة للتجربة نفسها.

وللانتقال بينهما تذكّر أن X = Y + 1. النجاح الأول في المحاولة 5 يعني 4 إخفاقات، لذلك فإن P(X = 5) = P(Y = 4)، ويختلف المتوسط بمقدار 1 بالضبط، أما التباين فيبقى متطابقًا. وتعرض الحاسبة هذا التحويل بأرقامك، بما في ذلك استدعاء الدالة في R الذي يعطي الاحتمال نفسه: تجيب dgeom(4, 0.2) عن «النجاح الأول في المحاولة 5».

مثال تطبيقي: مكالمات المبيعات

يُغلق موظف مبيعات صفقة في 20% من المكالمات، بشكل مستقل، لذلك p = 0.2. وبعدّ المحاولات، يكون احتمال أن تأتي أول صفقة في المكالمة الخامسة 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819. واحتمال أن تأتي بحلول المكالمة الخامسة هو 1 − 0.8⁵ = 0.6723، واحتمال أن تأتي في المكالمة الخامسة أو بعدها 0.8⁴ = 0.4096، وبعد المكالمة الخامسة 0.8⁵ = 0.3277.

المتوسط هو 1/p = 5 مكالمات، والتباين 0.8 / 0.2² = 20، فيكون الانحراف المعياري 4.4721، وهو كبير نسبةً إلى المتوسط، وهذا معتاد: فأزمنة الانتظار لنجاحات نادرة تتفاوت كثيرًا. والوسيط هو 4: نصف المتصلين يُغلقون أول صفقة لهم خلال أربع مكالمات. وإذا عددنا الإخفاقات بدلًا من ذلك، فالمتوسط 4، وتعيد dgeom(4, 0.2) القيمة نفسها 0.0819.

توزيع عديم الذاكرة

بعد خمسة إخفاقات متتالية يظل احتمال النجاح في المحاولة التالية هو p. التوزيع الهندسي هو التوزيع المنفصل عديم الذاكرة، ونظيره المتصل هو حاسبة التوزيع الأسّي: فالإخفاقات الماضية لا تجعل النجاح «مستحقًّا»، وهذه هي النقطة التي تغفلها مغالطة المقامر.

الأسئلة الشائعة

أي تعريف للتوزيع الهندسي ينبغي أن أستخدم؟

استخدم التعريف الذي يعتمده كتابك أو مدرّسك أو برنامجك. فإذا عُدّت المحاولات فإن X يبدأ من 1 ويكون المتوسط 1/p، وإذا عُدّت الإخفاقات فإن Y يبدأ من 0 ويكون المتوسط (1 − p)/p. والإجابة في الامتحان بالاتفاق الخاطئ تخطئ بمقدار واحد، فتحقّق من الاتفاق الذي يحدده السؤال.

كيف أجد احتمال أن يكون النجاح الأول في المحاولة k؟

اضرب (k − 1) من الإخفاقات في نجاح واحد: (1 − p)^k−1 × p. ومع p = 0.2 وk = 5 يكون ذلك 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819. واحتمال النجاح بحلول المحاولة k هو متمم k إخفاقات متتالية، أي 1 − (1 − p)^k.

كيف أستخدم dgeom في R لعدد المحاولات؟

تعدّ dgeom(x, prob) في R الإخفاقات قبل النجاح الأول، لذلك اطرح 1 من رقم المحاولة: احتمال أن يكون النجاح الأول في المحاولة 5 هو dgeom(4, 0.2) = 0.0819، و pgeom(4, 0.2) = 0.6723 هو احتمال أن يأتي بحلول المحاولة 5. وتعرض الحاسبة هذه الاستدعاءات لمدخلاتك.

ما عدد المحاولات المتوقع حتى النجاح الأول؟

هو 1/p عند عدّ المحاولات. فإذا نجحت كل محاولة باحتمال 0.2، فأنت تتوقع 5 محاولات في المتوسط. وعند عدّ الإخفاقات يكون المتوسط (1 − p)/p = 4، أي أقل بواحد، لأن المحاولة الناجحة نفسها لا تُعدّ.

كيف يرتبط التوزيع الهندسي بتوزيع ذي الحدين وتوزيع ذي الحدين السالب؟

يثبّت توزيع ذي الحدين عدد المحاولات ويعدّ النجاحات. ويثبّت التوزيع الهندسي عدد النجاحات عند واحد ويعدّ المحاولات. ويعمّمه ذو الحدين السالب إلى النجاح رقم r، والتوزيع الهندسي حالته الخاصة r = 1.

هل يفترض التوزيع الهندسي محاولات مستقلة؟

نعم، وباحتمال p ثابت. فسحب البطاقات دون إرجاع، أو لاعب يتحسن بالممارسة، يكسر هذه الافتراضات. ويستلزم السحب دون إرجاع من مجتمع صغير التوزيعَ فوق الهندسي بدلًا منه.