Какое определение геометрического распределения использовать?

То, которое использует ваш учебник, преподаватель или программа. Если считаются попытки, X начинается с 1 и математическое ожидание равно 1/p; если считаются неудачи, Y начинается с 0 и математическое ожидание равно (1 − p)/p. Ответ на экзамене в неверном соглашении отличается на единицу, поэтому проверьте, какое определение дано в задаче.

Как найти вероятность того, что первый успех придётся на попытку k?

Перемножьте k − 1 неудач и один успех: (1 − p)k−1 × p. При p = 0,2 и k = 5 это 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Вероятность успеха не позже попытки k — это дополнение к k неудачам подряд, 1 − (1 − p)k.

Как использовать dgeom из R для числа попыток?

dgeom(x, prob) в R считает неудачи до первого успеха, поэтому вычитайте 1 из номера попытки: вероятность того, что первый успех придётся на пятую попытку, равна dgeom(4, 0.2) = 0,0819, а pgeom(4, 0.2) = 0,6723 — это вероятность, что он наступит не позже пятой попытки. Калькулятор показывает эти вызовы для ваших значений.

Каково ожидаемое число попыток до первого успеха?

1/p, если считать попытки. Если каждая попытка успешна с вероятностью 0,2, в среднем ожидайте 5 попыток. При подсчёте неудач математическое ожидание равно (1 − p)/p = 4, то есть на одну меньше, потому что сама успешная попытка не учитывается.

Как геометрическое распределение связано с биномиальным и отрицательным биномиальным?

Биномиальное фиксирует число попыток и считает успехи. Геометрическое фиксирует число успехов равным одному и считает попытки. Отрицательное биномиальное обобщает его на r-й успех, а геометрическое — его частный случай при r = 1.

Предполагает ли геометрическое распределение независимые попытки?

Да, и постоянное p. Вытягивание карт без возвращения или игрок, который улучшается с практикой, нарушают эти предположения. Выборка без возвращения из небольшой совокупности требует гипергеометрического распределения.

Калькулятор геометрического распределения

Найдите вероятность того, что первый успех наступит в данной попытке, не позже данной или после неё — считая либо попытки до первого успеха, либо неудачи до него, как в вашем учебнике или в R. Калькулятор показывает формулу, математическое ожидание и дисперсию, соответствующий вызов R, таблицу вероятностей и столбчатую диаграмму. Бесплатно, без регистрации.

Что вы считаете?

Попытки до первого успеха включительно (X = 1, 2, 3, …)Неудачи до первого успеха (Y = 0, 1, 2, …) — как dgeom в R

Вероятность успеха в каждой попытке (p)

Попытка, на которой наступает первый успех (k)

Верхняя граница диапазона (необязательно)

Добавляет вероятность значения от k до этого числа.

Результаты

Вероятность	Смысл	Значение
P(X = 5)	первый успех в попытке 5	0,0819
P(X ≤ 5)	первый успех в попытке 5 или раньше	0,6723
P(X < 5)	первый успех до попытки 5	0,5904
P(X ≥ 5)	первый успех в попытке 5 или позже	0,4096
P(X > 5)	первый успех после попытки 5	0,3277

Математическое ожидание (1/p)

Дисперсия ((1 − p)/p²)

4,4721

Стандартное отклонение

Медиана

Как это было вычислено

P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723

В R: dgeom(4, 0,2) = 0,0819 и pgeom(4, 0,2) = 0,6723. R считает неудачи до первого успеха, поэтому для попытки 5 в R используется значение 4.

Если считать неудачи (Y = X − 1), математическое ожидание равно 4, а дисперсия та же, 20. P(X = 5) равно P(Y = 4).

Распределение вероятностей

Геометрические вероятности для p = 0,2, значения от 1 до 34
k	P(X = k)	P(X ≤ k)	P(X ≥ k)
1	0,2000	0,2000	1,0000
2	0,1600	0,3600	0,8000
3	0,1280	0,4880	0,6400
4	0,1024	0,5904	0,5120
5	0,0819	0,6723	0,4096
6	0,0655	0,7379	0,3277
7	0,0524	0,7903	0,2621
8	0,0419	0,8322	0,2097
9	0,0336	0,8658	0,1678
10	0,0268	0,8926	0,1342
11	0,0215	0,9141	0,1074
12	0,0172	0,9313	0,0859
13	0,0137	0,9450	0,0687
14	0,0110	0,9560	0,0550
15	0,0088	0,9648	0,0440
16	0,0070	0,9719	0,0352
17	0,0056	0,9775	0,0281
18	0,0045	0,9820	0,0225
19	0,0036	0,9856	0,0180
20	0,0029	0,9885	0,0144
21	0,0023	0,9908	0,0115
22	0,0018	0,9926	0,0092
23	0,0015	0,9941	0,0074
24	0,0012	0,9953	0,0059
25	0,0009	0,9962	0,0047
26	0,0008	0,9970	0,0038
27	0,0006	0,9976	0,0030
28	0,0005	0,9981	0,0024
29	0,0004	0,9985	0,0019
30	0,0003	0,9988	0,0015
31	0,0002	0,9990	0,0012
32	0,0002	0,9992	0,0010
33	0,0002	0,9994	0,0008
34	0,0001	0,9995	0,0006

Как пользоваться калькулятором геометрического распределения

1. Выберите, что считать. Попытки до первого успеха включительно (X = 1, 2, 3, …) или неудачи до первого успеха (Y = 0, 1, 2, …). Вводные курсы чаще всего используют первый вариант; R и некоторые книги по статистике — второй.
2. Введите p. Вероятность успеха в каждой независимой попытке, например 0,2 для шанса один к пяти.
3. Введите k. Попытку, на которой вы хотите получить первый успех (или число неудач), и при необходимости верхнюю границу диапазона.
4. Прочитайте результаты. Равно, не более, меньше, не менее и больше — с подставленной формулой, математическим ожиданием, дисперсией и медианой, эквивалентным вызовом R, а также таблицей и столбчатой диаграммой.

Два определения геометрического распределения

Геометрическое распределение описывает повторяющиеся независимые попытки, каждая с одной и той же вероятностью успеха p, до первого успеха. В учебниках результат считают двумя разными способами, и два способа дают разные формулы, разные математические ожидания и разные вызовы программ для одного и того же эксперимента.

Два соглашения (X = Y + 1)
Свойство	Попытки: X	Неудачи: Y
Что считается	Попытки до первого успеха включительно	Неудачи до первого успеха
Возможные значения	1, 2, 3, …	0, 1, 2, …
Вероятность значения k	(1 − p)^k−1 p	(1 − p)^k p
P(≤ k)	1 − (1 − p)^k	1 − (1 − p)^k+1
P(≥ k)	(1 − p)^k−1	(1 − p)^k
Математическое ожидание	1/p	(1 − p)/p
Дисперсия	(1 − p)/p²	(1 − p)/p²
Программное обеспечение	geom в SciPy	dgeom, pgeom, qgeom в R

Чтобы перейти от одного соглашения к другому, помните X = Y + 1. Первый успех в пятой попытке — это 4 неудачи, поэтому P(X = 5) = P(Y = 4), а математическое ожидание отличается ровно на 1; дисперсия та же. Калькулятор выводит этот пересчёт с вашими числами, включая вызов функции R, который даёт ту же вероятность: dgeom(4, 0.2) в R отвечает на вопрос «первый успех в пятой попытке».

Пример: звонки с продажами

Продавец закрывает сделку в 20% звонков, независимо друг от друга, поэтому p = 0,2. Если считать попытки, шанс, что первая продажа состоится при пятом звонке, равен 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Шанс, что она состоится не позже пятого звонка, — 1 − 0,8⁵ = 0,6723; на пятом или позже — 0,8⁴ = 0,4096; после пятого — 0,8⁵ = 0,3277.

Математическое ожидание равно 1/p = 5 звонкам, а дисперсия — 0,8 / 0,2² = 20, поэтому стандартное отклонение равно 4,4721. Оно велико по сравнению с математическим ожиданием, и это типично: время ожидания редкого успеха сильно варьируется. Медиана равна 4: половина всех продавцов закрывает первую сделку в течение четырёх звонков. Если считать неудачи, математическое ожидание равно 4, а dgeom(4, 0.2) в R возвращает то же 0,0819.

Распределение без памяти

После пяти неудач подряд шанс успеха в следующей попытке по-прежнему равен p. Геометрическое — это дискретное распределение без памяти, аналог непрерывного экспоненциального распределения: прошлые неудачи не делают успех «должным», и именно это упускает ошибка игрока.

Часто задаваемые вопросы

Какое определение геометрического распределения использовать?: То, которое использует ваш учебник, преподаватель или программа. Если считаются попытки, X начинается с 1 и математическое ожидание равно 1/p; если считаются неудачи, Y начинается с 0 и математическое ожидание равно (1 − p)/p. Ответ на экзамене в неверном соглашении отличается на единицу, поэтому проверьте, какое определение дано в задаче.
Как найти вероятность того, что первый успех придётся на попытку k?: Перемножьте k − 1 неудач и один успех: (1 − p)^k−1 × p. При p = 0,2 и k = 5 это 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Вероятность успеха не позже попытки k — это дополнение к k неудачам подряд, 1 − (1 − p)^k.
Как использовать dgeom из R для числа попыток?: dgeom(x, prob) в R считает неудачи до первого успеха, поэтому вычитайте 1 из номера попытки: вероятность того, что первый успех придётся на пятую попытку, равна dgeom(4, 0.2) = 0,0819, а pgeom(4, 0.2) = 0,6723 — это вероятность, что он наступит не позже пятой попытки. Калькулятор показывает эти вызовы для ваших значений.
Каково ожидаемое число попыток до первого успеха?: 1/p, если считать попытки. Если каждая попытка успешна с вероятностью 0,2, в среднем ожидайте 5 попыток. При подсчёте неудач математическое ожидание равно (1 − p)/p = 4, то есть на одну меньше, потому что сама успешная попытка не учитывается.
Как геометрическое распределение связано с биномиальным и отрицательным биномиальным?: Биномиальное фиксирует число попыток и считает успехи. Геометрическое фиксирует число успехов равным одному и считает попытки. Отрицательное биномиальное обобщает его на r-й успех, а геометрическое — его частный случай при r = 1.
Предполагает ли геометрическое распределение независимые попытки?: Да, и постоянное p. Вытягивание карт без возвращения или игрок, который улучшается с практикой, нарушают эти предположения. Выборка без возвращения из небольшой совокупности требует гипергеометрического распределения.