Kalkulator Distribusi Geometrik
Temukan peluang bahwa keberhasilan pertama terjadi pada percobaan tertentu, pada atau sebelum percobaan tertentu, atau setelahnya — dengan menghitung percobaan hingga keberhasilan pertama atau kegagalan sebelumnya, seperti yang dilakukan buku teks atau R. Kalkulator menampilkan rumus, rata-rata dan varians, pemanggilan R yang sesuai, tabel peluang, dan diagram batang. Gratis, tanpa perlu mendaftar.
Menambahkan peluang nilai dari k hingga batas ini.
Hasil
| Peluang | Arti | Nilai |
|---|---|---|
| P(X = 5) | keberhasilan pertama pada percobaan 5 | 0,0819 |
| P(X ≤ 5) | keberhasilan pertama pada percobaan 5 atau sebelumnya | 0,6723 |
| P(X < 5) | keberhasilan pertama sebelum percobaan 5 | 0,5904 |
| P(X ≥ 5) | keberhasilan pertama pada percobaan 5 atau setelahnya | 0,4096 |
| P(X > 5) | keberhasilan pertama setelah percobaan 5 | 0,3277 |
5
Rata-rata (1/p)
20
Varians ((1 − p)/p²)
4,4721
Simpangan baku
4
Median
Cara perhitungannya
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723
Di R: dgeom(4, 0,2) = 0,0819 dan pgeom(4, 0,2) = 0,6723. R menghitung kegagalan sebelum keberhasilan pertama, sehingga keberhasilan pertama pada percobaan 5 adalah 4 kegagalan.
Jika yang dihitung kegagalan (Y = X − 1), rata-ratanya 4 dan variansnya tetap sama, 20. P(X = 5) sama dengan P(Y = 4).
Distribusi peluang
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,2000 | 0,2000 | 1,0000 |
| 2 | 0,1600 | 0,3600 | 0,8000 |
| 3 | 0,1280 | 0,4880 | 0,6400 |
| 4 | 0,1024 | 0,5904 | 0,5120 |
| 5 | 0,0819 | 0,6723 | 0,4096 |
| 6 | 0,0655 | 0,7379 | 0,3277 |
| 7 | 0,0524 | 0,7903 | 0,2621 |
| 8 | 0,0419 | 0,8322 | 0,2097 |
| 9 | 0,0336 | 0,8658 | 0,1678 |
| 10 | 0,0268 | 0,8926 | 0,1342 |
| 11 | 0,0215 | 0,9141 | 0,1074 |
| 12 | 0,0172 | 0,9313 | 0,0859 |
| 13 | 0,0137 | 0,9450 | 0,0687 |
| 14 | 0,0110 | 0,9560 | 0,0550 |
| 15 | 0,0088 | 0,9648 | 0,0440 |
| 16 | 0,0070 | 0,9719 | 0,0352 |
| 17 | 0,0056 | 0,9775 | 0,0281 |
| 18 | 0,0045 | 0,9820 | 0,0225 |
| 19 | 0,0036 | 0,9856 | 0,0180 |
| 20 | 0,0029 | 0,9885 | 0,0144 |
| 21 | 0,0023 | 0,9908 | 0,0115 |
| 22 | 0,0018 | 0,9926 | 0,0092 |
| 23 | 0,0015 | 0,9941 | 0,0074 |
| 24 | 0,0012 | 0,9953 | 0,0059 |
| 25 | 0,0009 | 0,9962 | 0,0047 |
| 26 | 0,0008 | 0,9970 | 0,0038 |
| 27 | 0,0006 | 0,9976 | 0,0030 |
| 28 | 0,0005 | 0,9981 | 0,0024 |
| 29 | 0,0004 | 0,9985 | 0,0019 |
| 30 | 0,0003 | 0,9988 | 0,0015 |
| 31 | 0,0002 | 0,9990 | 0,0012 |
| 32 | 0,0002 | 0,9992 | 0,0010 |
| 33 | 0,0002 | 0,9994 | 0,0008 |
| 34 | 0,0001 | 0,9995 | 0,0006 |
Cara Menggunakan Kalkulator Distribusi Geometrik
- 1. Pilih apa yang Anda hitung. Percobaan hingga dan termasuk keberhasilan pertama (X = 1, 2, 3, …) atau kegagalan sebelum keberhasilan pertama (Y = 0, 1, 2, …). Kursus pengantar paling sering menggunakan yang pertama; R, dan sebagian buku statistik, menggunakan yang kedua.
- 2. Masukkan p. Peluang keberhasilan pada setiap percobaan yang independen, misalnya 0,2 untuk peluang satu dari lima.
- 3. Masukkan k. Percobaan saat Anda ingin keberhasilan pertama (atau jumlah kegagalannya), dan secara opsional batas atas untuk sebuah rentang.
- 4. Baca hasilnya. Sama dengan, paling banyak, kurang dari, paling sedikit, dan lebih dari, dengan rumus yang sudah terisi, rata-rata, varians dan median, pemanggilan R yang setara, serta tabel dan diagram batang.
Dua Definisi Distribusi Geometrik
Distribusi geometrik menggambarkan percobaan independen yang berulang, masing-masing dengan peluang keberhasilan p yang sama, hingga keberhasilan pertama. Buku teks menghitung hasilnya dengan dua cara berbeda, dan keduanya menghasilkan rumus, rata-rata, dan pemanggilan perangkat lunak yang berbeda untuk percobaan yang sama persis.
| Sifat | Percobaan: X | Kegagalan: Y |
|---|---|---|
| Yang dihitung | Percobaan hingga dan termasuk keberhasilan pertama | Kegagalan sebelum keberhasilan pertama |
| Nilai yang mungkin | 1, 2, 3, … | 0, 1, 2, … |
| Peluang untuk nilai k | (1 − p)k−1 p | (1 − p)k p |
| P(≤ k) | 1 − (1 − p)k | 1 − (1 − p)k+1 |
| P(≥ k) | (1 − p)k−1 | (1 − p)k |
| Rata-rata | 1/p | (1 − p)/p |
| Varians | (1 − p)/p² | (1 − p)/p² |
| Perangkat lunak | geom di SciPy | dgeom, pgeom, qgeom di R |
Untuk berpindah di antara keduanya, ingat X = Y + 1. Keberhasilan pertama pada percobaan 5 berarti 4 kegagalan, sehingga P(X = 5) = P(Y = 4) dan rata-ratanya berbeda tepat 1; variansnya sama. Kalkulator mencetak konversi ini dengan angka Anda, termasuk pemanggilan fungsi R yang memberi peluang yang sama: dgeom(4, 0,2) di R menjawab "keberhasilan pertama pada percobaan 5".
Contoh Kasus: Panggilan Penjualan
Seorang penelepon berhasil menutup penjualan pada 20% panggilan, secara independen, sehingga p = 0,2. Dengan menghitung percobaan, peluang penjualan pertama terjadi pada panggilan kelima adalah 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Peluang penjualan terjadi pada atau sebelum panggilan kelima adalah 1 − 0,8⁵ = 0,6723, pada panggilan kelima atau setelahnya 0,8⁴ = 0,4096, dan setelah panggilan kelima 0,8⁵ = 0,3277.
Rata-ratanya adalah 1/p = 5 panggilan dan variansnya 0,8 / 0,2² = 20, sehingga simpangan bakunya 4,4721 — besar dibandingkan rata-rata, yang memang wajar: waktu tunggu untuk keberhasilan yang langka sangat bervariasi. Median adalah 4: separuh dari semua penelepon menutup penjualan pertama mereka dalam empat panggilan. Jika yang dihitung adalah kegagalan, rata-ratanya 4, dan dgeom(4, 0.2) di R menghasilkan 0,0819 yang sama.
Distribusi tanpa memori
Setelah lima kegagalan berturut-turut, peluang keberhasilan pada percobaan berikutnya tetap p. Geometrik adalah distribusi diskret tanpa memori, padanan dari distribusi eksponensial yang kontinu: kegagalan di masa lalu tidak membuat keberhasilan menjadi "sudah waktunya", dan di situlah kekeliruan penjudi (gambler's fallacy) meleset.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Definisi distribusi geometrik mana yang sebaiknya saya gunakan?
- Gunakan yang dipakai buku teks, dosen, atau perangkat lunak Anda. Jika percobaan yang dihitung, X mulai dari 1 dan rata-ratanya 1/p; jika kegagalan yang dihitung, Y mulai dari 0 dan rata-ratanya (1 − p)/p. Jawaban ujian dengan konvensi yang keliru meleset satu, jadi periksa konvensi mana yang didefinisikan oleh soal.
- Bagaimana cara menemukan peluang bahwa keberhasilan pertama terjadi pada percobaan k?
- Kalikan k − 1 kegagalan dan satu keberhasilan: (1 − p)k−1 × p. Dengan p = 0,2 dan k = 5 hasilnya 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. Peluang keberhasilan pada atau sebelum percobaan k adalah komplemen dari k kegagalan berturut-turut, yaitu 1 − (1 − p)k.
- Bagaimana cara menggunakan dgeom R untuk jumlah percobaan?
- dgeom(x, prob) di R menghitung kegagalan sebelum keberhasilan pertama, jadi kurangi 1 dari nomor percobaan: peluang keberhasilan pertama pada percobaan 5 adalah dgeom(4, 0.2) = 0,0819, dan pgeom(4, 0.2) = 0,6723 adalah peluang keberhasilan terjadi pada atau sebelum percobaan 5. Kalkulator menampilkan pemanggilan ini untuk masukan Anda.
- Berapa jumlah percobaan yang diharapkan hingga keberhasilan pertama?
- 1/p jika menghitung percobaan. Jika setiap upaya berhasil dengan peluang 0,2, Anda mengharapkan rata-rata 5 upaya. Jika menghitung kegagalan, rata-ratanya (1 − p)/p = 4, satu lebih sedikit, karena percobaan yang berhasil itu sendiri tidak dihitung.
- Bagaimana distribusi geometrik berhubungan dengan binomial dan binomial negatif?
- Binomial menetapkan jumlah percobaan dan menghitung keberhasilan. Geometrik menetapkan jumlah keberhasilan sebesar satu dan menghitung percobaan. Distribusi negative binomial menggeneralisasikannya ke keberhasilan ke-r, dan geometrik adalah kasus khusus r = 1.
- Apakah distribusi geometrik mengasumsikan percobaan yang independen?
- Ya, dan p yang konstan. Mengambil kartu tanpa pengembalian, atau pemain yang membaik seiring latihan, melanggar asumsi tersebut. Pengambilan sampel tanpa pengembalian dari populasi kecil memerlukan distribusi hipergeometrik sebagai gantinya.