どちらの幾何分布の定義を使うべきですか？

教科書、授業、ソフトウェアが使うものを使ってください。試行回数で数える場合、Xは1から始まり、平均は1/pです。失敗回数で数える場合、Yは0から始まり、平均は(1 − p)/pです。試験では定義を1つ取り違えるだけで答えが1ずれるので、問題がどちらの定義を使っているか確認してください。

初めての成功が試行kにある確率はどう求めますか？

k − 1 回の失敗と1回の成功を掛けます：(1 − p)k−1 × p。p = 0.2、k = 5 なら 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819 です。試行k以前に成功する確率は、k回続けて失敗する余事象を使って 1 − (1 − p)k で求めます。

試行回数に対してRのdgeomはどう使いますか？

Rの dgeom(x, prob) は初めての成功前の失敗回数を数えるので、試行番号から1を引きます。初めての成功が試行5にある確率は dgeom(4, 0.2) = 0.0819 で、pgeom(4, 0.2) = 0.6723 は試行5までに成功する確率です。ツールは、あなたの入力でこれらの呼び出しを表示します。

初めての成功までに必要な試行回数の期待値はいくつですか？

試行回数で数える場合は 1/p です。各試行が0.2の確率で成功するなら、平均で5回の試行が必要です。失敗回数で数えると平均は (1 − p)/p = 4 で、1少なくなります。成功した試行そのものは数えないからです。

幾何分布は二項分布や負の二項分布とどう関係しますか？

二項分布は試行回数を固定して成功回数を数えます。幾何分布は成功回数を1に固定して試行回数を数えます。負の二項分布は r 回目の成功まで数える形に一般化したもので、幾何分布はその r = 1 の特殊な場合です。詳しくは Negative Binomial Distribution Calculator を参照してください。

幾何分布は独立な試行を前提としていますか？

はい。加えて、各回の成功確率 p が一定であることも前提です。カードを元に戻さずに引く場合や、練習によって上達していく選手の場合は、この前提が崩れます。小さな母集団から元に戻さずに抜き取るには、代わりに超幾何分布が必要です。

幾何分布計算ツール

初めての成功が特定の試行で起こる確率、ある試行までに起こる確率、またはある試行より後に起こる確率を求めます。教科書やRと同じように、初めての成功までの試行回数と、成功前の失敗回数のどちらで数えるかも選べます。公式、平均と分散、対応するRの呼び出し、確率の表と棒グラフを表示します。無料で、登録は不要です。

何を数えますか？

初めての成功までの試行回数（成功した試行を含む）（X = 1, 2, 3, …）初めての成功前の失敗回数（Y = 0, 1, 2, …）— R's dgeom

各試行での成功確率（p）

初めての成功が起こる試行（k）

範囲の上限（任意）

kからこの数までの値の確率を足し合わせます。

結果

確率	意味	値
P(X = 5)	初めての成功が試行5で起こる	0.0819
P(X ≤ 5)	初めての成功が試行5またはそれ以前に起こる	0.6723
P(X < 5)	初めての成功が試行5より前に起こる	0.5904
P(X ≥ 5)	初めての成功が試行5またはそれ以降に起こる	0.4096
P(X > 5)	初めての成功が試行5より後に起こる	0.3277

平均（1/p）

分散 ((1 − p)/p²)

4.4721

標準偏差

中央値

計算方法

P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0.2)^(5 − 1) × 0.2 = 0.0819

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^(k) = 1 − (1 − 0.2)^5 = 0.6723

Rでは: dgeom(4, 0.2) = 0.0819、pgeom(4, 0.2) = 0.6723。Rは初めての成功前の失敗回数を数えるので、初めての成功が試行5にあるのは失敗4回です。

失敗回数で数えると（Y = X − 1）、平均は 4、分散は同じく 20 です。P(X = 5) は P(Y = 4) と等しくなります。

確率分布

p = 0.2 の幾何確率、値 1 から 34 まで
k	P(X = k)	P(X ≤ k)	P(X ≥ k)
1	0.2000	0.2000	1.0000
2	0.1600	0.3600	0.8000
3	0.1280	0.4880	0.6400
4	0.1024	0.5904	0.5120
5	0.0819	0.6723	0.4096
6	0.0655	0.7379	0.3277
7	0.0524	0.7903	0.2621
8	0.0419	0.8322	0.2097
9	0.0336	0.8658	0.1678
10	0.0268	0.8926	0.1342
11	0.0215	0.9141	0.1074
12	0.0172	0.9313	0.0859
13	0.0137	0.9450	0.0687
14	0.0110	0.9560	0.0550
15	0.0088	0.9648	0.0440
16	0.0070	0.9719	0.0352
17	0.0056	0.9775	0.0281
18	0.0045	0.9820	0.0225
19	0.0036	0.9856	0.0180
20	0.0029	0.9885	0.0144
21	0.0023	0.9908	0.0115
22	0.0018	0.9926	0.0092
23	0.0015	0.9941	0.0074
24	0.0012	0.9953	0.0059
25	0.0009	0.9962	0.0047
26	0.0008	0.9970	0.0038
27	0.0006	0.9976	0.0030
28	0.0005	0.9981	0.0024
29	0.0004	0.9985	0.0019
30	0.0003	0.9988	0.0015
31	0.0002	0.9990	0.0012
32	0.0002	0.9992	0.0010
33	0.0002	0.9994	0.0008
34	0.0001	0.9995	0.0006

幾何分布計算ツールの使い方

1. 数える対象を選びます。 初めての成功までの試行回数（X = 1, 2, 3, …）、または初めての成功前の失敗回数（Y = 0, 1, 2, …）です。入門的な授業では前者がよく使われ、Rや一部の統計の教科書では後者が使われます。
2. pを入力します。 各独立試行での成功確率です。たとえば、5回に1回の確率なら 0.2 と入力します。
3. kを入力します。 初めての成功が起こる試行（または失敗の回数）を入力します。必要であれば、範囲の上限も入力できます。
4. 結果を読み取ります。 等しい、以下、未満、以上、より大きいの各結果が、式を代入した形で表示されます。平均、分散、中央値、対応するRの呼び出し、表と棒グラフもあります。

幾何分布の2つの定義

幾何分布は、各回の成功確率 p が同じ独立な試行を、初めての成功まで繰り返すときの分布を表します。教科書では、この結果を2通りの方法で数えます。2つの定義では、同じ実験でも式、平均、ソフトウェアの呼び出しが異なります。

2つの定義（X = Y + 1）
性質	試行回数 X	失敗回数 Y
数えるもの	初めての成功までの試行回数（成功した試行を含む）	初めての成功前の失敗回数
取りうる値	1, 2, 3, …	0, 1, 2, …
値 k の確率	(1 − p)^k−1 p	(1 − p)^k p
P(≤ k)	1 − (1 − p)^k	1 − (1 − p)^k+1
P(≥ k)	(1 − p)^k−1	(1 − p)^k
平均	1/p	(1 − p)/p
分散	(1 − p)/p²	(1 − p)/p²
ソフトウェア	SciPyのgeom	Rのdgeom、pgeom、qgeom

2つを行き来するには、X = Y + 1 を覚えておけば十分です。5回目の試行で初めて成功するなら、失敗は4回です。したがって P(X = 5) = P(Y = 4) であり、平均は正確に1だけ違います。分散は同じです。ツールは、あなたの数値でこの換算を表示し、同じ確率を与えるRの関数も示します。R の dgeom(4, 0.2) は「5回目の試行で初めて成功」を表します。

具体例：営業の電話

ある営業担当者は、電話の20%で契約を取ります。各電話は独立で、p = 0.2 です。試行回数で数えると、初めての契約が5件目の電話で起こる確率は 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819 です。5件目までに起こる確率は 1 − 0.8⁵ = 0.6723、5件目以降は 0.8⁴ = 0.4096、5件目より後は 0.8⁵ = 0.3277 です。

平均は 1/p = 5 件、分散は 0.8 / 0.2² = 20 なので、標準偏差は 4.4721 です。平均に比べて大きい値ですが、これは珍しい成功を待つ時間では典型的です。中央値は4です。つまり、営業担当者の半分は、4件の電話以内に最初の契約を取ります。失敗の回数で数えると平均は4になり、R の dgeom(4, 0.2) は同じ 0.0819 を返します。

無記憶の分布

5回連続で失敗した後でも、次の試行で成功する確率は依然として p です。幾何分布は離散の無記憶分布であり、連続版は指数分布計算ツールで扱う指数分布です。過去の失敗によって成功が「そろそろ」になることはなく、ギャンブラーの誤謬はこの点を見落としています。

よくある質問

どちらの幾何分布の定義を使うべきですか？: 教科書、授業、ソフトウェアが使うものを使ってください。試行回数で数える場合、Xは1から始まり、平均は1/pです。失敗回数で数える場合、Yは0から始まり、平均は(1 − p)/pです。試験では定義を1つ取り違えるだけで答えが1ずれるので、問題がどちらの定義を使っているか確認してください。
初めての成功が試行kにある確率はどう求めますか？: k − 1 回の失敗と1回の成功を掛けます：(1 − p)^k−1 × p。p = 0.2、k = 5 なら 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819 です。試行k以前に成功する確率は、k回続けて失敗する余事象を使って 1 − (1 − p)^k で求めます。
試行回数に対してRのdgeomはどう使いますか？: Rの dgeom(x, prob) は初めての成功前の失敗回数を数えるので、試行番号から1を引きます。初めての成功が試行5にある確率は dgeom(4, 0.2) = 0.0819 で、pgeom(4, 0.2) = 0.6723 は試行5までに成功する確率です。ツールは、あなたの入力でこれらの呼び出しを表示します。
初めての成功までに必要な試行回数の期待値はいくつですか？: 試行回数で数える場合は 1/p です。各試行が0.2の確率で成功するなら、平均で5回の試行が必要です。失敗回数で数えると平均は (1 − p)/p = 4 で、1少なくなります。成功した試行そのものは数えないからです。
幾何分布は二項分布や負の二項分布とどう関係しますか？: 二項分布は試行回数を固定して成功回数を数えます。幾何分布は成功回数を1に固定して試行回数を数えます。負の二項分布は r 回目の成功まで数える形に一般化したもので、幾何分布はその r = 1 の特殊な場合です。詳しくは Negative Binomial Distribution Calculator を参照してください。
幾何分布は独立な試行を前提としていますか？: はい。加えて、各回の成功確率 p が一定であることも前提です。カードを元に戻さずに引く場合や、練習によって上達していく選手の場合は、この前提が崩れます。小さな母集団から元に戻さずに抜き取るには、代わりに超幾何分布が必要です。