Calculateur de loi géométrique
Calculez la probabilité que le premier succès survienne à un essai donné, au plus tard à un essai donné, ou après — en comptant soit les essais jusqu'au premier succès, soit les échecs qui le précèdent, comme le fait votre manuel ou R. Le calculateur affiche la formule, l'espérance et la variance, l'appel R correspondant, un tableau de probabilités et un diagramme en barres. Gratuit, sans inscription.
Ajoute la probabilité d'une valeur allant de k jusqu'à ce nombre.
Résultats
| Probabilité | Signification | Valeur |
|---|---|---|
| P(X = 5) | premier succès à l'essai 5 | 0,0819 |
| P(X ≤ 5) | premier succès à l'essai 5 ou avant | 0,6723 |
| P(X < 5) | premier succès avant l'essai 5 | 0,5904 |
| P(X ≥ 5) | premier succès à l'essai 5 ou après | 0,4096 |
| P(X > 5) | premier succès après l'essai 5 | 0,3277 |
5
Espérance (1/p)
20
Variance ((1 − p)/p²)
4,4721
Écart-type
4
Médiane
Détail du calcul
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723
Dans R : dgeom(4, 0,2) = 0,0819 et pgeom(4, 0,2) = 0,6723. R compte les échecs avant le premier succès : un premier succès à l'essai 5 correspond donc à 4 échecs.
En comptant plutôt les échecs (Y = X − 1), l'espérance vaut 4 et la variance est la même, 20. P(X = 5) est égal à P(Y = 4).
Loi de probabilité
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,2000 | 0,2000 | 1,0000 |
| 2 | 0,1600 | 0,3600 | 0,8000 |
| 3 | 0,1280 | 0,4880 | 0,6400 |
| 4 | 0,1024 | 0,5904 | 0,5120 |
| 5 | 0,0819 | 0,6723 | 0,4096 |
| 6 | 0,0655 | 0,7379 | 0,3277 |
| 7 | 0,0524 | 0,7903 | 0,2621 |
| 8 | 0,0419 | 0,8322 | 0,2097 |
| 9 | 0,0336 | 0,8658 | 0,1678 |
| 10 | 0,0268 | 0,8926 | 0,1342 |
| 11 | 0,0215 | 0,9141 | 0,1074 |
| 12 | 0,0172 | 0,9313 | 0,0859 |
| 13 | 0,0137 | 0,9450 | 0,0687 |
| 14 | 0,0110 | 0,9560 | 0,0550 |
| 15 | 0,0088 | 0,9648 | 0,0440 |
| 16 | 0,0070 | 0,9719 | 0,0352 |
| 17 | 0,0056 | 0,9775 | 0,0281 |
| 18 | 0,0045 | 0,9820 | 0,0225 |
| 19 | 0,0036 | 0,9856 | 0,0180 |
| 20 | 0,0029 | 0,9885 | 0,0144 |
| 21 | 0,0023 | 0,9908 | 0,0115 |
| 22 | 0,0018 | 0,9926 | 0,0092 |
| 23 | 0,0015 | 0,9941 | 0,0074 |
| 24 | 0,0012 | 0,9953 | 0,0059 |
| 25 | 0,0009 | 0,9962 | 0,0047 |
| 26 | 0,0008 | 0,9970 | 0,0038 |
| 27 | 0,0006 | 0,9976 | 0,0030 |
| 28 | 0,0005 | 0,9981 | 0,0024 |
| 29 | 0,0004 | 0,9985 | 0,0019 |
| 30 | 0,0003 | 0,9988 | 0,0015 |
| 31 | 0,0002 | 0,9990 | 0,0012 |
| 32 | 0,0002 | 0,9992 | 0,0010 |
| 33 | 0,0002 | 0,9994 | 0,0008 |
| 34 | 0,0001 | 0,9995 | 0,0006 |
Comment utiliser le calculateur de loi géométrique
- 1. Choisissez ce que vous comptez. Les essais jusqu'au premier succès, celui-ci inclus (X = 1, 2, 3, …), ou les échecs avant le premier succès (Y = 0, 1, 2, …). Les cours d'introduction utilisent le plus souvent le premier ; R, et certains ouvrages de statistique, le second.
- 2. Saisissez p. La probabilité de succès à chaque essai indépendant, par exemple 0,2 pour une chance sur cinq.
- 3. Saisissez k. L'essai auquel vous voulez le premier succès (ou le nombre d'échecs), et, si vous le souhaitez, une borne supérieure pour un intervalle.
- 4. Lisez les résultats. Égal, au plus, inférieur, au moins et supérieur, avec la formule complétée, l'espérance, la variance et la médiane, l'appel R équivalent, ainsi qu'un tableau et un diagramme en barres.
Deux définitions de la loi géométrique
La loi géométrique décrit des essais indépendants répétés, chacun ayant la même probabilité de succès p, jusqu'au premier succès. Les manuels comptent le résultat de deux façons différentes, et les deux donnent des formules différentes, des espérances différentes et des appels de logiciel différents pour la même expérience.
| Propriété | Essais : X | Échecs : Y |
|---|---|---|
| Ce qu'elle compte | Essais jusqu'au premier succès, celui-ci inclus | Échecs avant le premier succès |
| Valeurs possibles | 1, 2, 3, … | 0, 1, 2, … |
| Probabilité d'une valeur k | (1 − p)k−1 p | (1 − p)k p |
| P(≤ k) | 1 − (1 − p)k | 1 − (1 − p)k+1 |
| P(≥ k) | (1 − p)k−1 | (1 − p)k |
| Espérance | 1/p | (1 − p)/p |
| Variance | (1 − p)/p² | (1 − p)/p² |
| Logiciel | geom de SciPy | dgeom, pgeom, qgeom de R |
Pour passer de l'une à l'autre, retenez X = Y + 1. Un premier succès au cinquième essai correspond à 4 échecs, donc P(X = 5) = P(Y = 4) et l'espérance diffère exactement de 1 ; la variance est identique. Le calculateur affiche cette conversion avec vos nombres, y compris l'appel de fonction R qui donne la même probabilité : dgeom(4, 0.2) de R répond à « premier succès au cinquième essai ».
Exemple détaillé : appels commerciaux
Un téléopérateur conclut une vente dans 20 % des appels, de façon indépendante, donc p = 0,2. En comptant les essais, la probabilité que la première vente survienne au cinquième appel est 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. La probabilité qu'elle survienne au plus tard au cinquième appel est 1 − 0,8⁵ = 0,6723, au cinquième appel ou plus tard 0,8⁴ = 0,4096, et après le cinquième 0,8⁵ = 0,3277.
L'espérance vaut 1/p = 5 appels et la variance 0,8 / 0,2² = 20, donc l'écart-type vaut 4,4721 — grand par rapport à l'espérance, ce qui est typique : les délais d'attente d'un succès rare varient beaucoup. La médiane est 4 : la moitié des téléopérateurs concluent leur première vente en quatre appels. En comptant les échecs, l'espérance vaut 4, et dgeom(4, 0.2) de R renvoie le même 0,0819.
Une loi sans mémoire
Après cinq échecs de suite, la probabilité de réussir au prochain essai reste p. La loi géométrique est la version discrète, sans mémoire, de la loi exponentielle, que traite le Calculateur de loi exponentielle : les échecs passés ne rendent pas le succès « dû », ce qu'ignore le sophisme du joueur.
Questions fréquentes
- Quelle définition de la loi géométrique dois-je utiliser ?
- Utilisez celle de votre manuel, de votre enseignant ou de votre logiciel. Si l'on compte les essais, X commence à 1 et l'espérance vaut 1/p ; si l'on compte les échecs, Y commence à 0 et l'espérance vaut (1 − p)/p. Une réponse d'examen dans la mauvaise convention est fausse d'une unité : vérifiez laquelle la question définit.
- Comment trouver la probabilité que le premier succès ait lieu à l'essai k ?
- Multipliez k − 1 échecs et un succès : (1 − p)k−1 × p. Avec p = 0,2 et k = 5, cela donne 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. La probabilité d'un succès au plus tard à l'essai k est le complément de k échecs consécutifs, 1 − (1 − p)k.
- Comment utiliser dgeom de R pour le nombre d'essais ?
- dgeom(x, prob) de R compte les échecs avant le premier succès ; retranchez donc 1 au numéro de l'essai : la probabilité que le premier succès ait lieu au cinquième essai est dgeom(4, 0.2) = 0.0819, et pgeom(4, 0.2) = 0.6723 est la probabilité qu'il ait lieu au plus tard à l'essai 5. Le calculateur affiche ces appels pour vos valeurs.
- Quel est le nombre moyen d'essais avant le premier succès ?
- 1/p lorsqu'on compte les essais. Si chaque tentative réussit avec une probabilité de 0,2, vous attendez en moyenne 5 tentatives. En comptant les échecs, l'espérance vaut (1 − p)/p = 4, soit une de moins, car l'essai réussi lui-même n'est pas compté.
- Quel est le lien entre la loi géométrique, la loi binomiale et la loi binomiale négative ?
- La loi binomiale fixe le nombre d'essais et compte les succès. La loi géométrique fixe le nombre de succès à un et compte les essais. La Negative Binomial Distribution Calculator la généralise au r-ième succès, et la loi géométrique en est le cas particulier r = 1.
- La loi géométrique suppose-t-elle des essais indépendants ?
- Oui, ainsi qu'une probabilité p constante. Tirer des cartes sans remise, ou un joueur qui s'améliore avec la pratique, viole ces hypothèses. Un tirage sans remise dans une petite population relève plutôt de la loi hypergéométrique.