어떤 기하 분포 정의를 써야 하나요?

교재, 강사 또는 사용하는 소프트웨어가 쓰는 정의를 따르세요. 시행 횟수로 세면 X는 1부터 시작하고 평균은 1/p입니다. 실패 횟수로 세면 Y는 0부터 시작하고 평균은 (1 − p)/p입니다. 시험 답안에서 정의를 잘못 고르면 답이 1만큼 틀리므로, 문제가 어떤 정의를 쓰는지 먼저 확인하세요.

첫 번째 성공이 시행 k에서 나올 확률은 어떻게 구하나요?

k − 1번의 실패와 한 번의 성공을 곱합니다: (1 − p)k−1 × p. p = 0.2, k = 5이면 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819입니다. 시행 k까지 성공이 한 번이라도 나올 확률은 k번 연속 실패의 여사건인 1 − (1 − p)k입니다.

시행 횟수를 구할 때 R의 dgeom은 어떻게 사용하나요?

R의 dgeom(x, prob)은 첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수를 셉니다. 그래서 시행 번호에서 1을 빼야 합니다. 첫 성공이 다섯 번째 시행에서 나올 확률은 dgeom(4, 0.2) = 0.0819이고, pgeom(4, 0.2) = 0.6723은 다섯 번째 시행까지 성공이 나올 확률입니다. 계산기는 입력값에 맞춘 이 함수 호출을 보여 줍니다.

첫 번째 성공까지 기대되는 시행 횟수는 얼마인가요?

시행 횟수로 세면 1/p입니다. 각 시도의 성공 확률이 0.2라면 평균적으로 5번의 시도가 필요합니다. 실패 횟수로 세면 평균은 (1 − p)/p = 4로 하나 적은데, 성공한 시행 자체는 세지 않기 때문입니다.

기하 분포는 이항 분포 및 음이항 분포와 어떤 관계인가요?

이항 분포는 시행 횟수를 고정하고 성공 횟수를 셉니다. 기하 분포는 성공 횟수를 1로 고정하고 시행 횟수를 셉니다. 음이항 분포는 r번째 성공으로 일반화하며, 기하 분포는 r = 1인 특수한 경우입니다.

기하 분포는 독립 시행을 가정하나요?

네, 그리고 성공 확률 p가 일정하다고 가정합니다. 비복원으로 카드를 뽑거나, 연습할수록 실력이 느는 선수는 이 가정을 깨뜨립니다. 작은 모집단에서 복원 없이 표본을 뽑는 경우에는 대신 초기하 분포를 사용해야 합니다.

기하 분포 계산기

첫 번째 성공이 특정 시행에서 나올 확률, 주어진 시행까지 나올 확률, 또는 그 이후에 나올 확률을 구합니다. 교재나 R이 그러하듯, 첫 번째 성공까지의 시행 횟수 또는 첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수 중 어느 쪽을 세든 계산할 수 있습니다. 계산기는 공식, 평균과 분산, 해당하는 R 함수 호출, 확률 표와 막대 그래프를 보여 줍니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.

무엇을 세나요?

첫 번째 성공까지 포함한 시행 횟수 (X = 1, 2, 3, …)첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수 (Y = 0, 1, 2, …) — R의 dgeom 방식

각 시행의 성공 확률 (p)

첫 번째 성공이 일어나는 시행 (k)

범위의 상한 (선택 사항)

k부터 이 숫자까지 값의 확률을 더합니다.

결과

확률	의미	값
P(X = 5)	5번째 시행에서 첫 성공	0.0819
P(X ≤ 5)	5번째 시행 또는 그 이전에 첫 성공	0.6723
P(X < 5)	5번째 시행 이전에 첫 성공	0.5904
P(X ≥ 5)	5번째 시행 또는 그 이후에 첫 성공	0.4096
P(X > 5)	5번째 시행 이후에 첫 성공	0.3277

평균 (1/p)

분산 ((1 − p)/p²)

4.4721

표준편차

중앙값

계산 방법

P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0.2)^(5 − 1) × 0.2 = 0.0819

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0.2)^5 = 0.6723

R에서: dgeom(4, 0.2) = 0.0819이고 pgeom(4, 0.2) = 0.6723입니다. R은 첫 성공 전까지의 실패 횟수를 세므로, 첫 번째 성공이 5번째 시행이면 실패는 4회입니다.

실패 횟수로 세면 (Y = X − 1), 평균은 4이고 분산은 같은 20입니다. P(X = 5)는 P(Y = 4)와 같습니다.

확률 분포

p = 0.2일 때 기하 확률, 값 1부터 34까지
k	P(X = k)	P(X ≤ k)	P(X ≥ k)
1	0.2000	0.2000	1.0000
2	0.1600	0.3600	0.8000
3	0.1280	0.4880	0.6400
4	0.1024	0.5904	0.5120
5	0.0819	0.6723	0.4096
6	0.0655	0.7379	0.3277
7	0.0524	0.7903	0.2621
8	0.0419	0.8322	0.2097
9	0.0336	0.8658	0.1678
10	0.0268	0.8926	0.1342
11	0.0215	0.9141	0.1074
12	0.0172	0.9313	0.0859
13	0.0137	0.9450	0.0687
14	0.0110	0.9560	0.0550
15	0.0088	0.9648	0.0440
16	0.0070	0.9719	0.0352
17	0.0056	0.9775	0.0281
18	0.0045	0.9820	0.0225
19	0.0036	0.9856	0.0180
20	0.0029	0.9885	0.0144
21	0.0023	0.9908	0.0115
22	0.0018	0.9926	0.0092
23	0.0015	0.9941	0.0074
24	0.0012	0.9953	0.0059
25	0.0009	0.9962	0.0047
26	0.0008	0.9970	0.0038
27	0.0006	0.9976	0.0030
28	0.0005	0.9981	0.0024
29	0.0004	0.9985	0.0019
30	0.0003	0.9988	0.0015
31	0.0002	0.9990	0.0012
32	0.0002	0.9992	0.0010
33	0.0002	0.9994	0.0008
34	0.0001	0.9995	0.0006

기하 분포 계산기 사용 방법

1. 세는 대상을 고르세요. 첫 번째 성공까지 포함한 시행 횟수(X = 1, 2, 3, …) 또는 첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수(Y = 0, 1, 2, …)입니다. 입문 과정에서는 대개 시행 횟수를 쓰고, R과 일부 통계 교재는 실패 횟수를 씁니다.
2. p를 입력하세요. 각 독립 시행에서 성공할 확률입니다. 예를 들어 다섯 번에 한 번꼴이라면 0.2를 입력하세요.
3. k를 입력하세요. 첫 번째 성공이 나오기를 원하는 시행 번호(또는 실패 횟수)를 입력하세요. 범위가 필요하면 상한도 함께 입력할 수 있습니다.
4. 결과를 읽으세요. 같음, 이하, 미만, 이상, 초과에 대한 확률이 공식을 채운 형태로 표시되며, 평균, 분산, 중앙값, 동등한 R 함수 호출, 표와 막대 그래프도 함께 나옵니다.

기하 분포의 두 가지 정의

기하 분포는 성공 확률 p가 같은 독립 시행을 첫 번째 성공이 나올 때까지 반복하는 상황을 설명합니다. 교재는 이 결과를 두 가지 방식으로 세며, 같은 실험이라도 두 방식은 서로 다른 공식, 서로 다른 평균, 서로 다른 소프트웨어 호출을 낳습니다.

두 가지 정의 (X = Y + 1)
속성	시행 횟수: X	실패 횟수: Y
세는 대상	첫 번째 성공까지 포함한 시행 횟수	첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수
가능한 값	1, 2, 3, …	0, 1, 2, …
값 k의 확률	(1 − p)^k−1 p	(1 − p)^k p
P(≤ k)	1 − (1 − p)^k	1 − (1 − p)^k+1
P(≥ k)	(1 − p)^k−1	(1 − p)^k
평균	1/p	(1 − p)/p
분산	(1 − p)/p²	(1 − p)/p²
소프트웨어	SciPy's geom	R's dgeom, pgeom, qgeom

두 방식은 X = Y + 1로 서로 바꿀 수 있습니다. 다섯 번째 시행에서 처음 성공하는 것은 실패가 4회 있었다는 뜻이므로 P(X = 5) = P(Y = 4)이고, 평균은 정확히 1만큼 달라지지만 분산은 같습니다. 계산기는 입력한 숫자로 이 변환을 보여 주며, 같은 확률을 주는 R 함수 호출도 함께 표시합니다. R의 dgeom(4, 0.2)는 "5번째 시행에서 첫 성공"에 해당합니다.

실제 예시: 영업 전화

영업 사원은 전화 한 통마다 독립적으로 20%의 확률로 계약을 성사시키므로 p = 0.2입니다. 시행 횟수로 세면, 첫 계약이 다섯 번째 전화에서 나올 확률은 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819입니다. 다섯 번째 전화까지 계약이 나올 확률은 1 − 0.8⁵ = 0.6723이고, 다섯 번째 이상에서 나올 확률은 0.8⁴ = 0.4096, 다섯 번째 이후에 나올 확률은 0.8⁵ = 0.3277입니다.

평균은 1/p = 5번의 전화이고, 분산은 0.8 / 0.2² = 20이므로 표준편차는 4.4721입니다. 표준편차가 평균에 비해 큰데, 드문 성공을 기다리는 시간은 원래 변동이 크기 때문에 이는 전형적인 현상입니다. 중앙값은 4입니다. 즉 영업 사원의 절반은 네 번의 전화 안에 첫 계약을 성사시킵니다. 실패 횟수로 세면 평균은 4이고, R의 dgeom(4, 0.2)는 같은 0.0819를 반환합니다.

무기억 분포

연속으로 다섯 번 실패한 뒤에도 다음 시행에서 성공할 확률은 여전히 p입니다. 기하 분포는 이산형 무기억 분포이며, 연속형에 해당하는 지수 분포와 짝을 이룹니다. 과거의 실패가 성공을 '이제 올 때가 되었다'로 만들지 않는다는 점이 도박사의 오류가 놓치는 부분입니다.

자주 묻는 질문

어떤 기하 분포 정의를 써야 하나요?: 교재, 강사 또는 사용하는 소프트웨어가 쓰는 정의를 따르세요. 시행 횟수로 세면 X는 1부터 시작하고 평균은 1/p입니다. 실패 횟수로 세면 Y는 0부터 시작하고 평균은 (1 − p)/p입니다. 시험 답안에서 정의를 잘못 고르면 답이 1만큼 틀리므로, 문제가 어떤 정의를 쓰는지 먼저 확인하세요.
첫 번째 성공이 시행 k에서 나올 확률은 어떻게 구하나요?: k − 1번의 실패와 한 번의 성공을 곱합니다: (1 − p)^k−1 × p. p = 0.2, k = 5이면 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819입니다. 시행 k까지 성공이 한 번이라도 나올 확률은 k번 연속 실패의 여사건인 1 − (1 − p)^k입니다.
시행 횟수를 구할 때 R의 dgeom은 어떻게 사용하나요?: R의 dgeom(x, prob)은 첫 번째 성공 전까지의 실패 횟수를 셉니다. 그래서 시행 번호에서 1을 빼야 합니다. 첫 성공이 다섯 번째 시행에서 나올 확률은 dgeom(4, 0.2) = 0.0819이고, pgeom(4, 0.2) = 0.6723은 다섯 번째 시행까지 성공이 나올 확률입니다. 계산기는 입력값에 맞춘 이 함수 호출을 보여 줍니다.
첫 번째 성공까지 기대되는 시행 횟수는 얼마인가요?: 시행 횟수로 세면 1/p입니다. 각 시도의 성공 확률이 0.2라면 평균적으로 5번의 시도가 필요합니다. 실패 횟수로 세면 평균은 (1 − p)/p = 4로 하나 적은데, 성공한 시행 자체는 세지 않기 때문입니다.
기하 분포는 이항 분포 및 음이항 분포와 어떤 관계인가요?: 이항 분포는 시행 횟수를 고정하고 성공 횟수를 셉니다. 기하 분포는 성공 횟수를 1로 고정하고 시행 횟수를 셉니다. 음이항 분포는 r번째 성공으로 일반화하며, 기하 분포는 r = 1인 특수한 경우입니다.
기하 분포는 독립 시행을 가정하나요?: 네, 그리고 성공 확률 p가 일정하다고 가정합니다. 비복원으로 카드를 뽑거나, 연습할수록 실력이 느는 선수는 이 가정을 깨뜨립니다. 작은 모집단에서 복원 없이 표본을 뽑는 경우에는 대신 초기하 분포를 사용해야 합니다.