Geometrik Dağılım Hesaplayıcı
İlk başarının belirli bir denemede, belirli bir denemeye kadar ya da sonrasında gelme olasılığını bulun — ders kitabınızın ya da R'ın yaptığı gibi, ilk başarıya kadar denemeleri ya da ondan önceki başarısızlıkları sayarak. Hesap makinesi formülü, ortalamayı ve varyansı, karşılık gelen R çağrısını, bir olasılık tablosunu ve bir çubuk grafiği gösterir. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
k'dan bu sayıya kadar olan bir değerin olasılığını ekler.
Sonuçlar
| Olasılık | Anlamı | Değer |
|---|---|---|
| P(X = 5) | ilk başarı 5. denemede | 0,0819 |
| P(X ≤ 5) | ilk başarı 5. denemede ya da daha önce | 0,6723 |
| P(X < 5) | ilk başarı 5. denemeden önce | 0,5904 |
| P(X ≥ 5) | ilk başarı 5. denemede ya da sonra | 0,4096 |
| P(X > 5) | ilk başarı 5. denemeden sonra | 0,3277 |
5
Ortalama (1/p)
20
Varyans ((1 − p)/p²)
4,4721
Standart sapma
4
Medyan
Bu nasıl hesaplandı
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723
R'da: dgeom(4, 0,2) = 0,0819 ve pgeom(4, 0,2) = 0,6723. R ilk başarıdan önceki başarısızlıkları sayar; bu nedenle ilk başarı 5. denemede ise 4 başarısızlıktır.
Bunun yerine başarısızlıkları sayarsak (Y = X − 1), ortalama 4 ve varyans aynıdır: 20. P(X = 5), P(Y = 4) ile eşittir.
Olasılık dağılımı
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,2000 | 0,2000 | 1,0000 |
| 2 | 0,1600 | 0,3600 | 0,8000 |
| 3 | 0,1280 | 0,4880 | 0,6400 |
| 4 | 0,1024 | 0,5904 | 0,5120 |
| 5 | 0,0819 | 0,6723 | 0,4096 |
| 6 | 0,0655 | 0,7379 | 0,3277 |
| 7 | 0,0524 | 0,7903 | 0,2621 |
| 8 | 0,0419 | 0,8322 | 0,2097 |
| 9 | 0,0336 | 0,8658 | 0,1678 |
| 10 | 0,0268 | 0,8926 | 0,1342 |
| 11 | 0,0215 | 0,9141 | 0,1074 |
| 12 | 0,0172 | 0,9313 | 0,0859 |
| 13 | 0,0137 | 0,9450 | 0,0687 |
| 14 | 0,0110 | 0,9560 | 0,0550 |
| 15 | 0,0088 | 0,9648 | 0,0440 |
| 16 | 0,0070 | 0,9719 | 0,0352 |
| 17 | 0,0056 | 0,9775 | 0,0281 |
| 18 | 0,0045 | 0,9820 | 0,0225 |
| 19 | 0,0036 | 0,9856 | 0,0180 |
| 20 | 0,0029 | 0,9885 | 0,0144 |
| 21 | 0,0023 | 0,9908 | 0,0115 |
| 22 | 0,0018 | 0,9926 | 0,0092 |
| 23 | 0,0015 | 0,9941 | 0,0074 |
| 24 | 0,0012 | 0,9953 | 0,0059 |
| 25 | 0,0009 | 0,9962 | 0,0047 |
| 26 | 0,0008 | 0,9970 | 0,0038 |
| 27 | 0,0006 | 0,9976 | 0,0030 |
| 28 | 0,0005 | 0,9981 | 0,0024 |
| 29 | 0,0004 | 0,9985 | 0,0019 |
| 30 | 0,0003 | 0,9988 | 0,0015 |
| 31 | 0,0002 | 0,9990 | 0,0012 |
| 32 | 0,0002 | 0,9992 | 0,0010 |
| 33 | 0,0002 | 0,9994 | 0,0008 |
| 34 | 0,0001 | 0,9995 | 0,0006 |
Geometrik Dağılım Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Neyi saydığınızı seçin. İlk başarıya kadar (dahil) denemeler (X = 1, 2, 3, …) ya da ilk başarıdan önceki başarısızlıklar (Y = 0, 1, 2, …). Giriş dersleri çoğunlukla ilkini kullanır; R ve bazı istatistik kitapları ikincisini kullanır.
- 2. p'yi girin. Her bağımsız denemedeki başarı olasılığı; örneğin beşte bir şans için 0,2.
- 3. k'yi girin. İlk başarıyı (ya da başarısızlık sayısını) görmek istediğiniz deneme ve isterseniz bir aralık için üst sınır.
- 4. Sonuçları okuyun. Eşittir, en fazla, daha az, en az ve daha fazla; formülü doldurulmuş olarak, ortalama, varyans ve medyan, eşdeğer R çağrısı, ayrıca bir tablo ve çubuk grafik.
Geometrik Dağılımın İki Tanımı
Geometrik dağılım, her biri aynı başarı olasılığı p'ye sahip bağımsız denemelerin ilk başarıya kadar tekrarlanmasını tanımlar. Ders kitapları sonucu iki farklı biçimde sayar; iki sayım, aynı deney için farklı formüller, farklı ortalamalar ve farklı yazılım çağrıları verir.
| Özellik | Denemeler: X | Başarısızlıklar: Y |
|---|---|---|
| Neyi sayar | İlk başarıya kadar (dahil) denemeler | İlk başarıdan önceki başarısızlıklar |
| Olası değerler | 1, 2, 3, … | 0, 1, 2, … |
| k değerinin olasılığı | (1 − p)k−1 p | (1 − p)k p |
| P(≤ k) | 1 − (1 − p)k | 1 − (1 − p)k+1 |
| P(≥ k) | (1 − p)k−1 | (1 − p)k |
| Ortalama | 1/p | (1 − p)/p |
| Varyans | (1 − p)/p² | (1 − p)/p² |
| Yazılım | SciPy'nin geom | R'ın dgeom, pgeom, qgeom |
İkisi arasında geçmek için X = Y + 1 olduğunu hatırlayın. Beşinci denemedeki ilk başarı, 4 başarısızlıktır; bu nedenle P(X = 5) = P(Y = 4) olur, ortalama tam olarak 1 farklıdır ve varyans aynıdır. Hesap makinesi bu dönüşümü sizin sayılarınızla gösterir; aynı olasılığı veren R fonksiyon çağrısı dahil: R'ın dgeom(4, 0.2) çağrısı "beşinci denemede ilk başarı"yı yanıtlar.
Çalışılmış Örnek: Satış Görüşmeleri
Bir temsilci görüşmelerin %20'sinde bağımsız olarak satış kapatır; dolayısıyla p = 0,2. Denemeleri sayarsak, ilk satışın beşinci görüşmede gelme olasılığı 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819'dur. Beşinci görüşmeye kadar gelme olasılığı 1 − 0,8⁵ = 0,6723, beşinci ya da sonrasında 0,8⁴ = 0,4096 ve beşinciden sonra 0,8⁵ = 0,3277'dir.
Ortalama 1/p = 5 görüşme, varyans ise 0,8 / 0,2² = 20'dir; dolayısıyla standart sapma 4,4721'dir — ortalamaya göre büyüktür, bu tipiktir: nadir başarıların bekleme süreleri çok değişir. Medyan 4'tür: temsilcilerin yarısı ilk satışını dört görüşme içinde kapatır. Başarısızlıkları saymak ise ortalamayı 4 yapar ve R'ın dgeom(4, 0.2) çağrısı yine aynı 0,0819'u verir.
Bellek özelliği olmayan bir dağılım
Art arda beş başarısızlıktan sonra bir sonraki denemede başarı olasılığı yine p'dir. Geometrik dağılım, sürekli üstel dağılımın kesikli karşılığı olan, bellek özelliği olmayan bir dağılımdır: geçmiş başarısızlıklar başarıyı "vakti gelmiş" yapmaz; kumarbazın yanılgısının gözden kaçırdığı nokta budur.
Sık sorulan sorular
- Geometrik dağılımın hangi tanımını kullanmalıyım?
- Ders kitabınızın, öğretmeninizin ya da yazılımınızın kullandığını. Denemeler sayılıyorsa X 1'den başlar ve ortalama 1/p'dir; başarısızlıklar sayılıyorsa Y 0'dan başlar ve ortalama (1 − p)/p'dir. Yanlış kuralda bir sınav cevabı bir birim yanlış olur; bu nedenle sorunun hangisini tanımladığını kontrol edin.
- İlk başarının k. denemede olma olasılığını nasıl bulurum?
- k − 1 başarısızlık ile bir başarıyı çarpın: (1 − p)k−1 × p. p = 0,2 ve k = 5 için bu, 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819'dur. k denemeye kadar bir başarının olasılığı ise k düz başarısızlığın tümleyenidir: 1 − (1 − p)k.
- Deneme sayısı için R'ın dgeom fonksiyonunu nasıl kullanırım?
- R'ın dgeom(x, prob) fonksiyonu ilk başarıdan önceki başarısızlıkları sayar; bu yüzden deneme numarasından 1 çıkarın: ilk başarının beşinci denemede olma olasılığı dgeom(4, 0.2) = 0,0819'dur ve pgeom(4, 0.2) = 0,6723, beşinci denemeye kadar gelme olasılığıdır. Hesap makinesi girdileriniz için bu çağrıları gösterir.
- İlk başarıya kadar beklenen deneme sayısı nedir?
- Denemeler sayılırken 1/p. Her girişimin 0,2 olasılıkla başarılı olduğunu varsayarsak, ortalama 5 girişim beklersiniz. Başarısızlıklar sayılırsa ortalama (1 − p)/p = 4'tür; bir eksik, çünkü başarılı deneme kendisi sayılmaz.
- Geometrik dağılım binom ve negatif binomla nasıl ilişkilidir?
- Binom, deneme sayısını sabitler ve başarıları sayar. Geometrik ise başarı sayısını bire sabitler ve denemeleri sayar. Negatif binom dağılımı r'inci başarıya genelleştirir ve geometrik, r = 1 olan özel durumudur.
- Geometrik dağılım bağımsız denemeler varsayar mı?
- Evet, ayrıca sabit bir p varsayar. İadesiz kart çekmek ya da pratikle gelişen bir oyuncu bu varsayımları bozar. Küçük bir popülasyondan iadesiz örnekleme ise bunun yerine hipergeometrik dağılımı gerektirir.