几何分布计算器
求首次成功恰好出现在某次试验、不晚于某次试验或在某次试验之后的概率——按教材或 R 的方式,统计直到首次成功的试验次数,或首次成功之前的失败次数。计算器会显示公式、均值和方差、对应的 R 调用、概率表和柱状图。免费,无需注册。
加上从 k 到该数值的概率。
结果
| 概率 | 含义 | 数值 |
|---|---|---|
| P(X = 5) | 首次成功出现在第 5 次试验 | 0.0819 |
| P(X ≤ 5) | 首次成功出现在第 5 次试验或之前 | 0.6723 |
| P(X < 5) | 首次成功出现在第 5 次试验之前 | 0.5904 |
| P(X ≥ 5) | 首次成功出现在第 5 次试验或之后 | 0.4096 |
| P(X > 5) | 首次成功出现在第 5 次试验之后 | 0.3277 |
5
均值 (1/p)
20
方差 ((1 − p)/p²)
4.4721
标准差
4
中位数
计算过程
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0.2)^(5 − 1) × 0.2 = 0.0819
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0.2)^5 = 0.6723
R 中:dgeom(4, 0.2) = 0.0819,pgeom(4, 0.2) = 0.6723。R 统计首次成功之前的失败次数,因此在第 5 次试验首次成功即为 4 次失败。
改为统计失败次数(Y = X − 1)时,均值为 4,方差相同,为 20。P(X = 5) 等于 P(Y = 4)。
概率分布
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.2000 | 0.2000 | 1.0000 |
| 2 | 0.1600 | 0.3600 | 0.8000 |
| 3 | 0.1280 | 0.4880 | 0.6400 |
| 4 | 0.1024 | 0.5904 | 0.5120 |
| 5 | 0.0819 | 0.6723 | 0.4096 |
| 6 | 0.0655 | 0.7379 | 0.3277 |
| 7 | 0.0524 | 0.7903 | 0.2621 |
| 8 | 0.0419 | 0.8322 | 0.2097 |
| 9 | 0.0336 | 0.8658 | 0.1678 |
| 10 | 0.0268 | 0.8926 | 0.1342 |
| 11 | 0.0215 | 0.9141 | 0.1074 |
| 12 | 0.0172 | 0.9313 | 0.0859 |
| 13 | 0.0137 | 0.9450 | 0.0687 |
| 14 | 0.0110 | 0.9560 | 0.0550 |
| 15 | 0.0088 | 0.9648 | 0.0440 |
| 16 | 0.0070 | 0.9719 | 0.0352 |
| 17 | 0.0056 | 0.9775 | 0.0281 |
| 18 | 0.0045 | 0.9820 | 0.0225 |
| 19 | 0.0036 | 0.9856 | 0.0180 |
| 20 | 0.0029 | 0.9885 | 0.0144 |
| 21 | 0.0023 | 0.9908 | 0.0115 |
| 22 | 0.0018 | 0.9926 | 0.0092 |
| 23 | 0.0015 | 0.9941 | 0.0074 |
| 24 | 0.0012 | 0.9953 | 0.0059 |
| 25 | 0.0009 | 0.9962 | 0.0047 |
| 26 | 0.0008 | 0.9970 | 0.0038 |
| 27 | 0.0006 | 0.9976 | 0.0030 |
| 28 | 0.0005 | 0.9981 | 0.0024 |
| 29 | 0.0004 | 0.9985 | 0.0019 |
| 30 | 0.0003 | 0.9988 | 0.0015 |
| 31 | 0.0002 | 0.9990 | 0.0012 |
| 32 | 0.0002 | 0.9992 | 0.0010 |
| 33 | 0.0002 | 0.9994 | 0.0008 |
| 34 | 0.0001 | 0.9995 | 0.0006 |
如何使用几何分布计算器
- 1. 选择您统计的内容。 直到首次成功为止(含该次)的试验次数(X = 1, 2, 3, …),或首次成功之前的失败次数(Y = 0, 1, 2, …)。入门课程最常用前者;R 以及一些统计学教材使用后者。
- 2. 输入 p。 每次独立试验成功的概率,例如 0.2 表示五分之一的机会。
- 3. 输入 k。 您想要首次成功发生的试验次数(或失败次数),也可以选择输入范围的上限。
- 4. 查看结果。 等于、至多、少于、至少和多于,并附带代入数字的公式、均值、方差和中位数、等价的 R 调用,以及表格和柱状图。
几何分布的两种定义
几何分布描述的是重复进行的独立试验,每次成功概率均为 p,直到首次成功为止。教材对结果的统计方式有两种,对于同一个实验,这两种方式会给出不同的公式、不同的均值,以及不同的软件调用。
| 属性 | 试验次数:X | 失败次数:Y |
|---|---|---|
| 统计内容 | 直到首次成功为止(含该次)的试验次数 | 首次成功之前的失败次数 |
| 可能取值 | 1, 2, 3, … | 0, 1, 2, … |
| 取值 k 的概率 | (1 − p)k−1 p | (1 − p)k p |
| P(≤ k) | 1 − (1 − p)k | 1 − (1 − p)k+1 |
| P(≥ k) | (1 − p)k−1 | (1 − p)k |
| 均值 | 1/p | (1 − p)/p |
| 方差 | (1 − p)/p² | (1 − p)/p² |
| 软件 | SciPy 的 geom | R 的 dgeom、pgeom、qgeom |
两者之间的换算只需记住 X = Y + 1。首次成功出现在第 5 次试验,即之前有 4 次失败,因此 P(X = 5) = P(Y = 4),均值相差恰好为 1,而方差相同。计算器会用您的数字显示这一换算,以及给出相同概率的 R 函数调用:R 的 dgeom(4, 0.2) 给出的结果是“首次成功出现在第 5 次试验”。
示例:销售电话
一名销售人员每通电话有 20% 的概率成交,且各次相互独立,因此 p = 0.2。按试验次数计算,首次成交恰好出现在第五通电话的概率为 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819。到第五通电话为止首次成交的概率为 1 − 0.8⁵ = 0.6723,第五通或之后成交的概率为 0.8⁴ = 0.4096,第五通之后成交的概率为 0.8⁵ = 0.3277。
均值为 1/p = 5 通电话,方差为 0.8 / 0.2² = 20,因此标准差为 4.4721——相对于均值而言较大,这很典型:稀有成功的等待时间波动很大。中位数为 4:一半的销售人员会在四通电话之内成交首单。若改为统计失败次数,均值为 4,而 R 的 dgeom(4, 0.2) 同样返回 0.0819。
无记忆分布
连续五次失败之后,下一次试验成功的概率仍然是 p。几何分布是离散的无记忆分布,与连续的指数分布相对应:过去的失败不会让成功变得“该来了”,而这正是赌徒谬误所忽视的一点。
常见问题
- 应该使用哪种几何分布的定义?
- 使用您的教材、授课老师或软件所采用的定义。若统计试验次数,X 从 1 开始,均值为 1/p;若统计失败次数,Y 从 0 开始,均值为 (1 − p)/p。考试时若采用错误的约定,答案会相差一,因此请先核对题目所给的定义。
- 如何求首次成功恰好出现在第 k 次试验的概率?
- 将 k − 1 次失败与一次成功相乘:(1 − p)k−1 × p。若 p = 0.2、k = 5,则为 0.8⁴ × 0.2 = 0.0819。到第 k 次试验为止取得成功的概率,是 k 次连续失败的补集,即 1 − (1 − p)k。
- 如何用 R 的 dgeom 计算试验次数?
- R 的 dgeom(x, prob) 统计首次成功之前的失败次数,因此要将试验次数减 1:首次成功恰好出现在第 5 次试验的概率为 dgeom(4, 0.2) = 0.0819,而 pgeom(4, 0.2) = 0.6723 是到第 5 次试验为止首次成功的概率。计算器会为您的输入显示这些调用。
- 直到首次成功所需的试验次数的期望是多少?
- 统计试验次数时为 1/p。若每次尝试成功的概率为 0.2,平均需要 5 次尝试。若统计失败次数,均值为 (1 − p)/p = 4,少一次,因为成功的那次试验本身不计算在内。
- 几何分布与二项分布和负二项分布有什么关系?
- 二项分布固定试验次数,统计成功次数。几何分布固定成功次数为一次,统计试验次数。负二项分布将其推广到第 r 次成功,而几何分布是 r = 1 的特例。
- 几何分布是否假设试验相互独立?
- 是的,并且 p 保持不变。无放回地抽牌,或者选手随练习而进步,都会打破这些假设。从小总体中无放回抽样时,应改用超几何分布。