Calculadora de distribuição geométrica
Descubra a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra em uma tentativa dada, até uma tentativa dada ou depois dela — contando tentativas até o primeiro sucesso ou fracassos antes dele, como faz o seu livro didático ou o R. A calculadora mostra a fórmula, a média e a variância, a chamada equivalente no R, uma tabela de probabilidades e um gráfico de barras. Grátis, sem cadastro.
Soma a probabilidade de um valor a partir de k até este número.
Resultados
| Probabilidade | Significado | Valor |
|---|---|---|
| P(X = 5) | primeiro sucesso na tentativa 5 | 0,0819 |
| P(X ≤ 5) | primeiro sucesso na tentativa 5 ou antes | 0,6723 |
| P(X < 5) | primeiro sucesso antes da tentativa 5 | 0,5904 |
| P(X ≥ 5) | primeiro sucesso na tentativa 5 ou depois | 0,4096 |
| P(X > 5) | primeiro sucesso depois da tentativa 5 | 0,3277 |
5
Média (1/p)
20
Variância ((1 − p)/p²)
4,4721
Desvio padrão
4
Mediana
Como isso foi calculado
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723
No R: dgeom(4, 0,2) = 0,0819 e pgeom(4, 0,2) = 0,6723. O R conta fracassos antes do primeiro sucesso, então um primeiro sucesso na tentativa 5 são 4 fracassos.
Contando fracassos (Y = X − 1), a média é 4 e a variância é a mesma, 20. P(X = 5) é igual a P(Y = 4).
Distribuição de probabilidade
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,2000 | 0,2000 | 1,0000 |
| 2 | 0,1600 | 0,3600 | 0,8000 |
| 3 | 0,1280 | 0,4880 | 0,6400 |
| 4 | 0,1024 | 0,5904 | 0,5120 |
| 5 | 0,0819 | 0,6723 | 0,4096 |
| 6 | 0,0655 | 0,7379 | 0,3277 |
| 7 | 0,0524 | 0,7903 | 0,2621 |
| 8 | 0,0419 | 0,8322 | 0,2097 |
| 9 | 0,0336 | 0,8658 | 0,1678 |
| 10 | 0,0268 | 0,8926 | 0,1342 |
| 11 | 0,0215 | 0,9141 | 0,1074 |
| 12 | 0,0172 | 0,9313 | 0,0859 |
| 13 | 0,0137 | 0,9450 | 0,0687 |
| 14 | 0,0110 | 0,9560 | 0,0550 |
| 15 | 0,0088 | 0,9648 | 0,0440 |
| 16 | 0,0070 | 0,9719 | 0,0352 |
| 17 | 0,0056 | 0,9775 | 0,0281 |
| 18 | 0,0045 | 0,9820 | 0,0225 |
| 19 | 0,0036 | 0,9856 | 0,0180 |
| 20 | 0,0029 | 0,9885 | 0,0144 |
| 21 | 0,0023 | 0,9908 | 0,0115 |
| 22 | 0,0018 | 0,9926 | 0,0092 |
| 23 | 0,0015 | 0,9941 | 0,0074 |
| 24 | 0,0012 | 0,9953 | 0,0059 |
| 25 | 0,0009 | 0,9962 | 0,0047 |
| 26 | 0,0008 | 0,9970 | 0,0038 |
| 27 | 0,0006 | 0,9976 | 0,0030 |
| 28 | 0,0005 | 0,9981 | 0,0024 |
| 29 | 0,0004 | 0,9985 | 0,0019 |
| 30 | 0,0003 | 0,9988 | 0,0015 |
| 31 | 0,0002 | 0,9990 | 0,0012 |
| 32 | 0,0002 | 0,9992 | 0,0010 |
| 33 | 0,0002 | 0,9994 | 0,0008 |
| 34 | 0,0001 | 0,9995 | 0,0006 |
Como usar a calculadora de distribuição geométrica
- 1. Escolha o que você conta. Tentativas até e incluindo o primeiro sucesso (X = 1, 2, 3, …) ou fracassos antes do primeiro sucesso (Y = 0, 1, 2, …). Cursos introdutórios costumam usar a primeira; o R e alguns livros de estatística usam a segunda.
- 2. Digite p. A probabilidade de sucesso em cada tentativa independente, como 0,2 para uma chance de um em cinco.
- 3. Digite k. A tentativa em que você quer o primeiro sucesso (ou o número de fracassos) e, se quiser, um limite superior para um intervalo.
- 4. Leia os resultados. Igual, no máximo, menor que, no mínimo e maior que, com a fórmula preenchida, a média, a variância e a mediana, a chamada equivalente no R, e uma tabela e um gráfico de barras.
Duas definições da distribuição geométrica
A distribuição geométrica descreve tentativas independentes repetidas, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso p, até o primeiro sucesso. Os livros contam o resultado de duas maneiras diferentes, e as duas dão fórmulas, médias e chamadas de software diferentes para o mesmo experimento.
| Propriedade | Tentativas: X | Fracassos: Y |
|---|---|---|
| O que conta | Tentativas até e incluindo o primeiro sucesso | Fracassos antes do primeiro sucesso |
| Valores possíveis | 1, 2, 3, … | 0, 1, 2, … |
| Probabilidade de um valor k | (1 − p)k−1 p | (1 − p)k p |
| P(≤ k) | 1 − (1 − p)k | 1 − (1 − p)k+1 |
| P(≥ k) | (1 − p)k−1 | (1 − p)k |
| Média | 1/p | (1 − p)/p |
| Variância | (1 − p)/p² | (1 − p)/p² |
| Software | geom do SciPy | dgeom, pgeom, qgeom do R |
Para passar de uma convenção para a outra, lembre-se de que X = Y + 1. Um primeiro sucesso na tentativa 5 são 4 fracassos, então P(X = 5) = P(Y = 4) e a média difere exatamente em 1; a variância é idêntica. A calculadora mostra essa conversão com os seus números, incluindo a chamada de função do R que dá a mesma probabilidade: a chamada dgeom(4, 0.2) do R corresponde a "primeiro sucesso na tentativa 5".
Exemplo prático: chamadas de vendas
Um vendedor fecha uma venda em 20% das chamadas, de forma independente, então p = 0,2. Contando tentativas, a chance de que a primeira venda ocorra na quinta chamada é 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. A chance de que ocorra até a quinta chamada é 1 − 0,8⁵ = 0,6723, na quinta ou depois é 0,8⁴ = 0,4096, e depois da quinta é 0,8⁵ = 0,3277.
A média é 1/p = 5 chamadas e a variância é 0,8 / 0,2² = 20, então o desvio padrão é 4,4721 — grande em relação à média, o que é típico: os tempos de espera por sucessos raros variam muito. A mediana é 4: metade dos vendedores fecha a primeira venda em quatro chamadas. Contando fracassos, a média é 4, e dgeom(4, 0.2) do R devolve os mesmos 0,0819.
Uma distribuição sem memória
Depois de cinco fracassos seguidos, a chance de sucesso na próxima tentativa continua sendo p. A geométrica é a distribuição discreta sem memória, o equivalente da distribuição exponencial contínua: fracassos passados não tornam o sucesso "devido", e é isso que a falácia do apostador ignora.
Perguntas frequentes
- Qual definição da distribuição geométrica devo usar?
- Use a que o seu livro, professor ou software usa. Se contam-se tentativas, X começa em 1 e a média é 1/p; se contam-se fracassos, Y começa em 0 e a média é (1 − p)/p. Uma resposta de prova na convenção errada fica errada por uma unidade, então verifique qual delas a questão define.
- Como encontro a probabilidade de que o primeiro sucesso esteja na tentativa k?
- Multiplique k − 1 fracassos e um sucesso: (1 − p)k−1 × p. Com p = 0,2 e k = 5, isso dá 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. A probabilidade de um sucesso até a tentativa k é o complemento de k fracassos seguidos, 1 − (1 − p)k.
- Como uso o dgeom do R para o número de tentativas?
- O dgeom(x, prob) do R conta fracassos antes do primeiro sucesso, então subtraia 1 do número da tentativa: a probabilidade de o primeiro sucesso estar na tentativa 5 é dgeom(4, 0.2) = 0,0819, e pgeom(4, 0.2) = 0,6723 é a probabilidade de ele ocorrer até a tentativa 5. A calculadora mostra essas chamadas para os seus dados.
- Qual é o número esperado de tentativas até o primeiro sucesso?
- 1/p quando se contam tentativas. Se cada tentativa tem sucesso com probabilidade 0,2, você espera 5 tentativas em média. Contando fracassos, a média é (1 − p)/p = 4, uma a menos, porque a tentativa bem-sucedida não é contada.
- Como a distribuição geométrica se relaciona com a binomial e a binomial negativa?
- A binomial fixa o número de tentativas e conta sucessos. A geométrica fixa o número de sucessos em um e conta tentativas. A binomial negativa a generaliza para o r-ésimo sucesso, e a geométrica é o seu caso especial r = 1.
- A distribuição geométrica supõe tentativas independentes?
- Sim, e um p constante. Tirar cartas sem reposição, ou um jogador que melhora com a prática, quebra as premissas. Amostragem sem reposição de uma população pequena pede a distribuição hipergeométrica.