Calculadora de la distribución geométrica
Calcula la probabilidad de que el primer éxito llegue en un ensayo dado, hasta un ensayo dado o después de uno, contando los ensayos hasta el primer éxito o los fracasos antes de él, como lo hacen tu libro de texto o R. La calculadora muestra la fórmula, la media y la varianza, la llamada equivalente en R, una tabla de probabilidades y un gráfico de barras. Gratis, sin registro.
Suma la probabilidad de un valor desde k hasta este número.
Resultados
| Probabilidad | Significado | Valor |
|---|---|---|
| P(X = 5) | primer éxito en el ensayo 5 | 0,0819 |
| P(X ≤ 5) | primer éxito en el ensayo 5 o antes | 0,6723 |
| P(X < 5) | primer éxito antes del ensayo 5 | 0,5904 |
| P(X ≥ 5) | primer éxito en el ensayo 5 o después | 0,4096 |
| P(X > 5) | primer éxito después del ensayo 5 | 0,3277 |
5
Media (1/p)
20
Varianza ((1 − p)/p²)
4,4721
Desviación típica
4
Mediana
Cómo se calculó
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723
En R: dgeom(4, 0,2) = 0,0819 y pgeom(4, 0,2) = 0,6723. R cuenta los fracasos antes del primer éxito, así que un primer éxito en el ensayo 5 son 4 fracasos.
Si en cambio cuentas fracasos (Y = X − 1), la media es 4 y la varianza es la misma, 20. P(X = 5) es igual a P(Y = 4).
Distribución de probabilidad
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,2000 | 0,2000 | 1,0000 |
| 2 | 0,1600 | 0,3600 | 0,8000 |
| 3 | 0,1280 | 0,4880 | 0,6400 |
| 4 | 0,1024 | 0,5904 | 0,5120 |
| 5 | 0,0819 | 0,6723 | 0,4096 |
| 6 | 0,0655 | 0,7379 | 0,3277 |
| 7 | 0,0524 | 0,7903 | 0,2621 |
| 8 | 0,0419 | 0,8322 | 0,2097 |
| 9 | 0,0336 | 0,8658 | 0,1678 |
| 10 | 0,0268 | 0,8926 | 0,1342 |
| 11 | 0,0215 | 0,9141 | 0,1074 |
| 12 | 0,0172 | 0,9313 | 0,0859 |
| 13 | 0,0137 | 0,9450 | 0,0687 |
| 14 | 0,0110 | 0,9560 | 0,0550 |
| 15 | 0,0088 | 0,9648 | 0,0440 |
| 16 | 0,0070 | 0,9719 | 0,0352 |
| 17 | 0,0056 | 0,9775 | 0,0281 |
| 18 | 0,0045 | 0,9820 | 0,0225 |
| 19 | 0,0036 | 0,9856 | 0,0180 |
| 20 | 0,0029 | 0,9885 | 0,0144 |
| 21 | 0,0023 | 0,9908 | 0,0115 |
| 22 | 0,0018 | 0,9926 | 0,0092 |
| 23 | 0,0015 | 0,9941 | 0,0074 |
| 24 | 0,0012 | 0,9953 | 0,0059 |
| 25 | 0,0009 | 0,9962 | 0,0047 |
| 26 | 0,0008 | 0,9970 | 0,0038 |
| 27 | 0,0006 | 0,9976 | 0,0030 |
| 28 | 0,0005 | 0,9981 | 0,0024 |
| 29 | 0,0004 | 0,9985 | 0,0019 |
| 30 | 0,0003 | 0,9988 | 0,0015 |
| 31 | 0,0002 | 0,9990 | 0,0012 |
| 32 | 0,0002 | 0,9992 | 0,0010 |
| 33 | 0,0002 | 0,9994 | 0,0008 |
| 34 | 0,0001 | 0,9995 | 0,0006 |
Cómo usar la calculadora de la distribución geométrica
- 1. Elige qué cuentas. Los ensayos hasta el primer éxito, incluido este (X = 1, 2, 3, …), o los fracasos antes del primer éxito (Y = 0, 1, 2, …). Los cursos introductorios usan casi siempre el primero; R, y algunos libros de estadística, el segundo.
- 2. Escribe p. La probabilidad de éxito en cada ensayo independiente, por ejemplo 0,2 para una posibilidad entre cinco.
- 3. Escribe k. El ensayo en el que quieres el primer éxito (o el número de fracasos) y, opcionalmente, un límite superior para un rango.
- 4. Lee los resultados. Igual, como máximo, menor que, al menos y más que, con la fórmula sustituida, la media, la varianza y la mediana, la llamada equivalente en R, y una tabla y un gráfico de barras.
Dos definiciones de la distribución geométrica
La distribución geométrica describe ensayos independientes repetidos, cada uno con la misma probabilidad de éxito p, hasta el primer éxito. Los libros de texto cuentan el resultado de dos maneras distintas, y las dos dan fórmulas, medias y llamadas de software diferentes para el mismo experimento.
| Propiedad | Ensayos: X | Fracasos: Y |
|---|---|---|
| Qué cuenta | Ensayos hasta el primer éxito, incluido | Fracasos antes del primer éxito |
| Valores posibles | 1, 2, 3, … | 0, 1, 2, … |
| Probabilidad de un valor k | (1 − p)k−1 p | (1 − p)k p |
| P(≤ k) | 1 − (1 − p)k | 1 − (1 − p)k+1 |
| P(≥ k) | (1 − p)k−1 | (1 − p)k |
| Media | 1/p | (1 − p)/p |
| Varianza | (1 − p)/p² | (1 − p)/p² |
| Software | geom de SciPy | dgeom, pgeom y qgeom de R |
Para pasar de una a otra, recuerda X = Y + 1. Un primer éxito en el ensayo 5 son 4 fracasos, así que P(X = 5) = P(Y = 4) y la media difiere exactamente en 1; la varianza es idéntica. La calculadora muestra esta conversión con tus números, incluida la llamada a la función de R que da la misma probabilidad: dgeom(4, 0.2) de R responde «primer éxito en el ensayo 5».
Ejemplo desarrollado: llamadas de ventas
Un vendedor cierra una venta en el 20 % de sus llamadas, de forma independiente, así que p = 0,2. Contando ensayos, la probabilidad de que la primera venta llegue en la quinta llamada es 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. La probabilidad de que llegue en la quinta llamada o antes es 1 − 0,8⁵ = 0,6723; en la quinta o después, 0,8⁴ = 0,4096; y después de la quinta, 0,8⁵ = 0,3277.
La media es 1/p = 5 llamadas y la varianza es 0,8 / 0,2² = 20, así que la desviación típica es 4,4721: grande en relación con la media, algo habitual, porque los tiempos de espera de los éxitos poco frecuentes varían mucho. La mediana es 4: la mitad de los vendedores cierra su primera venta en cuatro llamadas o menos. Contando fracasos, la media es 4, y dgeom(4, 0.2) de R devuelve el mismo 0,0819.
Una distribución sin memoria
Tras cinco fracasos seguidos, la probabilidad de éxito en el siguiente ensayo sigue siendo p. La geométrica es la distribución discreta sin memoria, la contraparte de la distribución exponencial continua: los fracasos pasados no hacen que el éxito «le toque», que es justo lo que pasa por alto la falacia del jugador.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué definición de la distribución geométrica debo usar?
- Usa la que emplee tu libro de texto, tu profesor o tu software. Si se cuentan los ensayos, X empieza en 1 y la media es 1/p; si se cuentan los fracasos, Y empieza en 0 y la media es (1 − p)/p. Una respuesta de examen con la convención equivocada se equivoca en una unidad, así que comprueba cuál define la pregunta.
- ¿Cómo calculo la probabilidad de que el primer éxito esté en el ensayo k?
- Multiplica k − 1 fracasos por un éxito: (1 − p)k−1 × p. Con p = 0,2 y k = 5, eso es 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. La probabilidad de un éxito hasta el ensayo k es el complemento de k fracasos seguidos, 1 − (1 − p)k.
- ¿Cómo uso dgeom de R para el número de ensayos?
- dgeom(x, prob) de R cuenta los fracasos antes del primer éxito, así que resta 1 al número de ensayo: la probabilidad de que el primer éxito esté en el ensayo 5 es dgeom(4, 0.2) = 0.0819, y pgeom(4, 0.2) = 0.6723 es la probabilidad de que llegue en el ensayo 5 o antes. La calculadora muestra estas llamadas para tus datos.
- ¿Cuál es el número esperado de ensayos hasta el primer éxito?
- 1/p al contar ensayos. Si cada intento tiene éxito con probabilidad 0,2, esperas 5 intentos de media. Al contar fracasos, la media es (1 − p)/p = 4, uno menos, porque el ensayo exitoso no se cuenta.
- ¿Cómo se relaciona la distribución geométrica con la binomial y la binomial negativa?
- La binomial fija el número de ensayos y cuenta los éxitos. La geométrica fija el número de éxitos en uno y cuenta los ensayos. La binomial negativa la generaliza al r-ésimo éxito, y la geométrica es su caso particular r = 1.
- ¿La distribución geométrica supone ensayos independientes?
- Sí, y una p constante. Sacar cartas sin reemplazo, o un jugador que mejora con la práctica, rompe los supuestos. El muestreo sin reemplazo de una población pequeña requiere en cambio la distribución hipergeométrica.