Geometrische-verdelingscalculator
Bepaal de kans dat het eerste succes komt op een bepaalde poging, bij of vóór een bepaalde poging, of daarna — waarbij je pogingen tot en met het eerste succes telt of mislukkingen ervoor, zoals je leerboek of R doet. De calculator toont de formule, het gemiddelde en de variantie, de bijbehorende R-aanroep, een kanstabel en een staafdiagram. Gratis, geen account nodig.
Telt de kans op een waarde van k tot en met dit getal op.
Resultaten
| Kans | Betekenis | Waarde |
|---|---|---|
| P(X = 5) | eerste succes bij poging 5 | 0,0819 |
| P(X ≤ 5) | eerste succes bij poging 5 of eerder | 0,6723 |
| P(X < 5) | eerste succes vóór poging 5 | 0,5904 |
| P(X ≥ 5) | eerste succes bij poging 5 of later | 0,4096 |
| P(X > 5) | eerste succes na poging 5 | 0,3277 |
5
Gemiddelde (1/p)
20
Variantie ((1 − p)/p²)
4,4721
Standaardafwijking
4
Mediaan
Hoe dit is berekend
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p = (1 − 0,2)^(5 − 1) × 0,2 = 0,0819
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k = 1 − (1 − 0,2)^5 = 0,6723
In R: dgeom(4, 0,2) = 0,0819 en pgeom(4, 0,2) = 0,6723. R telt mislukkingen vóór het eerste succes, dus een eerste succes bij poging 5 is 4 mislukkingen.
Als je mislukkingen telt (Y = X − 1), is het gemiddelde 4 en is de variantie gelijk, 20. P(X = 5) is gelijk aan P(Y = 4).
Kansverdeling
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,2000 | 0,2000 | 1,0000 |
| 2 | 0,1600 | 0,3600 | 0,8000 |
| 3 | 0,1280 | 0,4880 | 0,6400 |
| 4 | 0,1024 | 0,5904 | 0,5120 |
| 5 | 0,0819 | 0,6723 | 0,4096 |
| 6 | 0,0655 | 0,7379 | 0,3277 |
| 7 | 0,0524 | 0,7903 | 0,2621 |
| 8 | 0,0419 | 0,8322 | 0,2097 |
| 9 | 0,0336 | 0,8658 | 0,1678 |
| 10 | 0,0268 | 0,8926 | 0,1342 |
| 11 | 0,0215 | 0,9141 | 0,1074 |
| 12 | 0,0172 | 0,9313 | 0,0859 |
| 13 | 0,0137 | 0,9450 | 0,0687 |
| 14 | 0,0110 | 0,9560 | 0,0550 |
| 15 | 0,0088 | 0,9648 | 0,0440 |
| 16 | 0,0070 | 0,9719 | 0,0352 |
| 17 | 0,0056 | 0,9775 | 0,0281 |
| 18 | 0,0045 | 0,9820 | 0,0225 |
| 19 | 0,0036 | 0,9856 | 0,0180 |
| 20 | 0,0029 | 0,9885 | 0,0144 |
| 21 | 0,0023 | 0,9908 | 0,0115 |
| 22 | 0,0018 | 0,9926 | 0,0092 |
| 23 | 0,0015 | 0,9941 | 0,0074 |
| 24 | 0,0012 | 0,9953 | 0,0059 |
| 25 | 0,0009 | 0,9962 | 0,0047 |
| 26 | 0,0008 | 0,9970 | 0,0038 |
| 27 | 0,0006 | 0,9976 | 0,0030 |
| 28 | 0,0005 | 0,9981 | 0,0024 |
| 29 | 0,0004 | 0,9985 | 0,0019 |
| 30 | 0,0003 | 0,9988 | 0,0015 |
| 31 | 0,0002 | 0,9990 | 0,0012 |
| 32 | 0,0002 | 0,9992 | 0,0010 |
| 33 | 0,0002 | 0,9994 | 0,0008 |
| 34 | 0,0001 | 0,9995 | 0,0006 |
Zo gebruik je de geometrische-verdelingscalculator
- 1. Kies wat je telt. Pogingen tot en met het eerste succes (X = 1, 2, 3, …) of mislukkingen vóór het eerste succes (Y = 0, 1, 2, …). Inleidende cursussen gebruiken meestal de eerste; R en sommige statistiekboeken gebruiken de tweede.
- 2. Voer p in. De kans op succes bij elke onafhankelijke poging, zoals 0,2 voor een kans van één op vijf.
- 3. Voer k in. De poging waarop je het eerste succes wilt (of het aantal mislukkingen), en optioneel een bovengrens voor een bereik.
- 4. Lees de resultaten af. Gelijk, hoogstens, minder dan, minstens en meer dan, met de formule ingevuld, het gemiddelde, de variantie en de mediaan, de equivalente R-aanroep, en een tabel en staafdiagram.
Twee definities van de geometrische verdeling
De geometrische verdeling beschrijft herhaalde onafhankelijke pogingen, elk met dezelfde succeskans p, tot het eerste succes. Leerboeken tellen de uitkomst op twee verschillende manieren, en die geven verschillende formules, verschillende gemiddelden en verschillende softwareaanroepen voor precies hetzelfde experiment.
| Eigenschap | Pogingen: X | Mislukkingen: Y |
|---|---|---|
| Wat het telt | Pogingen tot en met het eerste succes | Mislukkingen vóór het eerste succes |
| Mogelijke waarden | 1, 2, 3, … | 0, 1, 2, … |
| Kans op waarde k | (1 − p)k−1 p | (1 − p)k p |
| P(≤ k) | 1 − (1 − p)k | 1 − (1 − p)k+1 |
| P(≥ k) | (1 − p)k−1 | (1 − p)k |
| Gemiddelde | 1/p | (1 − p)/p |
| Variantie | (1 − p)/p² | (1 − p)/p² |
| Software | SciPy's geom | R's dgeom, pgeom, qgeom |
Om tussen beide te wisselen, onthoud je X = Y + 1. Een eerste succes bij poging 5 is 4 mislukkingen, dus P(X = 5) = P(Y = 4) en het gemiddelde verschilt precies 1; de variantie is gelijk. De calculator toont deze omzetting met jouw getallen, inclusief de R-functie die dezelfde kans geeft: R's dgeom(4, 0.2) beantwoordt “eerste succes bij poging 5”.
Uitgewerkt voorbeeld: verkoopgesprekken
Een verkoper sluit bij 20% van de gesprekken een verkoop, onafhankelijk van elkaar, dus p = 0,2. Als je pogingen telt, is de kans dat de eerste verkoop bij het vijfde gesprek komt 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. De kans dat die er bij het vijfde gesprek of eerder is, is 1 − 0,8⁵ = 0,6723; op het vijfde of later 0,8⁴ = 0,4096; en na het vijfde 0,8⁵ = 0,3277.
Het gemiddelde is 1/p = 5 gesprekken en de variantie is 0,8 / 0,2² = 20, dus de standaardafwijking is 4,4721 — groot ten opzichte van het gemiddelde, wat typisch is: wachttijden voor zeldzame successen variëren sterk. De mediaan is 4: de helft van alle verkopers sluit hun eerste verkoop binnen vier gesprekken af. Als je mislukkingen telt, is het gemiddelde 4, en geeft R's dgeom(4, 0.2) dezelfde 0,0819.
Een verdeling zonder geheugen
Na vijf mislukkingen op rij is de kans op succes bij de volgende poging nog steeds p. De geometrische verdeling is de discrete verdeling zonder geheugen, het tegenhanger van de continue exponentiële verdeling: eerdere mislukkingen maken een succes niet “aan de beurt”, en dat is het punt dat de gokkersmisvatting mist.
Veelgestelde vragen
- Welke definitie van de geometrische verdeling moet ik gebruiken?
- Gebruik die van je leerboek, docent of software. Als pogingen worden geteld, begint X bij 1 en is het gemiddelde 1/p; als mislukkingen worden geteld, begint Y bij 0 en is het gemiddelde (1 − p)/p. Een examenantwoord in de verkeerde conventie zit er telkens één naast, dus controleer welke de vraag definieert.
- Hoe bereken ik de kans dat het eerste succes bij poging k ligt?
- Vermenigvuldig k − 1 mislukkingen en één succes: (1 − p)k−1 × p. Met p = 0,2 en k = 5 is dat 0,8⁴ × 0,2 = 0,0819. De kans op een succes bij poging k of eerder is het complement van k opeenvolgende mislukkingen, 1 − (1 − p)k.
- Hoe gebruik ik R's dgeom voor het aantal pogingen?
- R's dgeom(x, prob) telt mislukkingen vóór het eerste succes, dus trek 1 af van het pogingsnummer: de kans dat het eerste succes bij poging 5 valt is dgeom(4, 0.2) = 0,0819, en pgeom(4, 0.2) = 0,6723 is de kans dat het bij poging 5 of eerder valt. De calculator toont deze aanroepen voor jouw invoer.
- Wat is het verwachte aantal pogingen tot het eerste succes?
- 1/p als je pogingen telt. Als elke poging met kans 0,2 slaagt, verwacht je gemiddeld 5 pogingen. Als je mislukkingen telt, is het gemiddelde (1 − p)/p = 4, één minder, omdat de geslaagde poging zelf niet wordt geteld.
- Hoe hangt de geometrische verdeling samen met de binomiale en de negatief binomiale verdeling?
- De binomiale verdeling legt het aantal pogingen vast en telt successen. De geometrische verdeling legt het aantal successen op één vast en telt pogingen. De negatief binomiale verdeling veralgemeent dit naar het r-de succes, en de geometrische verdeling is het speciale geval r = 1.
- Gaat de geometrische verdeling uit van onafhankelijke pogingen?
- Ja, en van een constante p. Kaarten trekken zonder teruglegging, of een speler die beter wordt door oefening, schendt de aannames. Steekproeftrekking zonder teruglegging uit een kleine populatie vraagt om de hypergeometrische verdeling.