Exponentiële-verdelingscalculator
Vul de snelheid λ of het gemiddelde van een exponentiële verdeling in, en een waarde x, en krijg de dichtheid, de cumulatieve en de overlevingskansen, een bereikkans, de mediaan en elk percentiel — met de berekening getoond, een controle op geheugenloosheid en een gearceerde curve. Gratis, zonder registratie.
Voegt P(x ≤ X ≤ deze waarde) toe aan de resultaten.
Laat zien dat de nog komende wachttijd niet van s afhangt.
Zoekt de x met P(X ≤ x) = p, zoals 0,9 voor het 90e percentiel.
Resultaten
λ = 1/gemiddelde = 1/4 = 0,25
| Kans | Betekenis | Waarde |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | maximaal 6 (ook: kleiner dan 6) | 0,7769 |
| P(X > 6) | meer dan 6 (ook: minstens 6; de overlevingsfunctie) | 0,2231 |
| f(6) | Dichtheid in x: f(x) = λe^(−λx). Een dichtheid, geen kans: ze kan groter zijn dan 1. | 0,055783 |
4
Gemiddelde (1/λ)
16
Variantie (1/λ²)
4
Standaardafwijking (1/λ)
2,7726
Mediaan (ln 2 / λ)
0,25
Hazardsnelheid (λ)
Geheugenloosheid
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. De twee zijn gelijk: dat je al 3 hebt gewacht, verandert niets aan de nog komende wachttijd.
Kwantiel
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Dus P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
Dichtheidscurve
Exponentiële dichtheid met λ = 0,25. Het gearceerde oppervlak onder de curve is P(X ≤ x).
Zo gebruik je de exponentiële-verdelingscalculator
- 1. Zeg welke parameter je kent. Kies de snelheid λ (gebeurtenissen per tijdseenheid) of het gemiddelde 1/λ (tijdseenheden per gebeurtenis), en vul die in. De calculator rekent de andere om en laat de omrekening zien.
- 2. Vul x in. De tijd, afstand of andere hoeveelheid waar je naar vraagt. Voeg een bovengrens toe als je de kans op een bereik wilt.
- 3. Optionele extra's. Vul een al gewachte tijd s in om de geheugenloosheid in actie te zien, of een kans p om de x te vinden die er afsnijdt (p = 0,9 geeft het 90e percentiel).
- 4. Lees de resultaten. P(X ≤ x), P(X > x), de dichtheid f(x), het gemiddelde, de variantie, de mediaan en de hazardsnelheid, en een curve met je kans gearceerd.
Wat de exponentiële verdeling modelleert
De exponentiële verdeling beschrijft de wachttijd tot de volgende gebeurtenis wanneer gebeurtenissen onafhankelijk optreden met een constant gemiddeld tempo: de tijd tussen oproepen bij een hulplijn, de tijd tot een radioactief atoom vervalt, de afstand tussen fouten langs een kabel. Het is het continue equivalent van de geometrische verdeling, en het hangt samen met de Poissonverdeling: als het aantal gebeurtenissen in een periode Poisson-verdeeld is met snelheid λ, dan zijn de wachttijden tussen gebeurtenissen exponentieel met dezelfde λ.
| Grootheid | Formule |
|---|---|
| Dichtheid | f(x) = λe−λx |
| Cumulatieve kans | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Overlevingsfunctie | P(X > x) = e−λx |
| Kwantiel voor kans p | x = −ln(1 − p) / λ |
| Gemiddelde en standaardafwijking | 1/λ elk |
| Variantie | 1/λ² |
| Mediaan | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
Snelheid of gemiddelde? Controleer welke je bron gebruikt
Leerboeken verschillen in de parameter. Sommige schrijven de snelheid λ; andere het gemiddelde (of de schaal) θ = β = 1/λ. Software verdeelt het op dezelfde manier: R's dexp, pexp en qexp nemen de snelheid, en dat geldt ook voor EXPON.DIST in Excel, terwijl scipy.stats.expon in Python scale = 1/λ neemt. Dit door elkaar halen is de meest voorkomende fout bij deze verdeling — een gemiddelde van 4 minuten is een snelheid van 0,25 per minuut, niet 4. Kies de bijbehorende optie hierboven en de calculator doet de omrekening.
Uitgewerkt voorbeeld: wachttijd tussen oproepen
Oproepen bij een hulplijn komen gemiddeld elke 4 minuten binnen, dus het gemiddelde is 4 en λ = 1/4 = 0,25 per minuut. De kans dat de volgende oproep maximaal 6 minuten duurt is P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, en de kans dat hij langer duurt is P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231. De kans dat de wachttijd tussen 2 en 6 minuten valt is e−0,5 − e−1,5 = 0,3834.
De mediane wachttijd is ln 2 / 0,25 = 2,7726 minuten — korter dan het gemiddelde van 4, omdat de verdeling naar rechts scheef is. Het 90e percentiel is −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 minuten: negen van de tien oproepen komen binnen ongeveer 9,2 minuten na de vorige.
Geheugenloosheid
Stel dat er 3 minuten zijn verstreken zonder oproep. De kans op een wachttijd van minstens 6 minuten extra is P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231 — precies P(X > 6), de kans bij een nieuwe start. De exponentiële verdeling is de enige continue verdeling met deze eigenschap, en ze volgt uit de constante hazardsnelheid: op elk moment is de kans op een gebeurtenis in het volgende ogenblik λ, hoe lang je ook hebt gewacht.
Wanneer de exponentiële verdeling het verkeerde model is
Geheugenloosheid is een sterke aanname. Een batterij of een mens veroudert, dus een levensduurmodel met een stijgende hazardsnelheid (een Weibull- of gammaverdeling) past beter dan een exponentiële; de exponentiële past bij gebeurtenissen die zonder slijtage toeslaan, zoals willekeurige aankomsten.
Veelgestelde vragen
- Hoe vind ik λ uit het gemiddelde?
- Neem de omgekeerde waarde: λ = 1/gemiddelde. Een gemiddelde wachttijd van 4 minuten geeft λ = 0,25 per minuut, en een snelheid van 3 gebeurtenissen per uur geeft een gemiddelde van 1/3 uur, of 20 minuten. Houd de eenheden van x in lijn met de eenheden van λ, anders kloppen de kansen niet.
- Wat betekent de geheugenloosheid?
- Het betekent P(X > s + t | X > s) = P(X > t): de tijd die je al hebt gewacht verandert de verdeling van de nog komende tijd niet. Als een bus willekeurig aankomt met een gemiddelde tussentijd van 10 minuten, dan is je verwachte resterende wachttijd na 20 minuten nog steeds 10 minuten.
- Hoe hangen de exponentiële en de Poissonverdeling samen?
- Ze beschrijven hetzelfde proces vanuit twee kanten. De Poissonverdeling telt gebeurtenissen in een vaste periode; de exponentiële meet de tijd tussen gebeurtenissen. Als oproepen 3 per uur binnenkomen (Poisson, λ = 3), dan is de tijd tussen oproepen exponentieel met een gemiddelde van 20 minuten, en de kans op een wachttijd van meer dan 5 minuten is e−3 × 5/60 = 0,7788.
- Hoe bereken ik P(X > x) voor een exponentiële verdeling?
- Gebruik de overlevingsfunctie e−λx. Met λ = 0,25 en x = 6 is dat e−1,5 = 0,2231. Je hoeft niet van 1 af te trekken — daarom berekent de calculator de staart direct en behoudt hij zijn precisie ver in de staart.
- Waarom is de mediaan kleiner dan het gemiddelde?
- De verdeling is sterk naar rechts scheef: veel korte wachttijden en een paar zeer lange trekken het gemiddelde omhoog. De mediaan is ln 2 / λ, ongeveer 69% van het gemiddelde 1/λ. De helft van alle wachttijden is korter dan 0,69 van de gemiddelde wachttijd.
- Is de exponentiële verdeling een goed model voor levensduren?
- Alleen als de faalsnelheid constant is, zoals bij willekeurige schokken of elektronische onderdelen in hun nuttige levensduur. Slijtage, kindersterfte en veroudering laten de hazardsnelheid in de tijd veranderen, en dan misjudgeert de exponentiële beide staarten. Controleer de pasvorm voordat je erop vertrouwt.