Калькулятор экспоненциального распределения
Введите интенсивность λ или среднее экспоненциального распределения и значение x, и получите плотность, функцию распределения и вероятность превышения, вероятность для отрезка, медиану и любой процентиль — с показанным решением, проверкой отсутствия памяти и графиком с заштрихованной областью. Бесплатно, без регистрации.
Добавляет P(x ≤ X ≤ это значение) к результатам.
Показывает, что оставшееся ожидание не зависит от s.
Находит x, при котором P(X ≤ x) = p, например 0,9 для 90-го процентиля.
Результаты
λ = 1/среднее = 1/4 = 0,25
| Вероятность | Смысл | Значение |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | не больше 6 (также: меньше 6) | 0,7769 |
| P(X > 6) | больше 6 (также: не меньше 6; функция выживания) | 0,2231 |
| f(6) | Плотность в точке x: f(x) = λe^(−λx). Это плотность, а не вероятность: она может быть больше 1. | 0,055783 |
4
Среднее (1/λ)
16
Дисперсия (1/λ²)
4
Стандартное отклонение (1/λ)
2,7726
Медиана (ln 2 / λ)
0,25
Интенсивность отказов (λ)
Отсутствие памяти
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. Они равны: уже прождав 3, вы ничего не меняете в оставшемся ожидании.
Квантиль
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Итак, P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
График плотности
Экспоненциальная плотность при λ = 0,25. Заштрихованная область под кривой равна P(X ≤ x).
Как пользоваться калькулятором экспоненциального распределения
- 1. Укажите известный параметр. Выберите интенсивность λ (событий в единицу времени) или среднее 1/λ (единиц времени на одно событие) и введите его. Калькулятор пересчитает другой параметр и покажет пересчёт.
- 2. Введите x. Время, расстояние или другую величину, о которой вы спрашиваете. Добавьте верхнюю границу, если нужна вероятность для отрезка.
- 3. Дополнительно. Введите уже прошедшее время s, чтобы увидеть свойство отсутствия памяти в действии, или вероятность p, чтобы найти x, которое её отсекает (p = 0,9 даёт 90-й процентиль).
- 4. Прочитайте результаты. P(X ≤ x), P(X > x), плотность f(x), среднее, дисперсию, медиану и интенсивность отказов, а также график с заштрихованной вашей вероятностью.
Что моделирует экспоненциальное распределение
Экспоненциальное распределение описывает время ожидания до следующего события, когда события происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью: интервал между звонками на линию помощи, время до распада радиоактивного атома, расстояние между дефектами вдоль кабеля. Это непрерывный аналог геометрического распределения, и оно тесно связано с распределением Пуассона: если число событий за период распределено по Пуассону с интенсивностью λ, то промежутки между событиями экспоненциальны с той же λ.
| Величина | Формула |
|---|---|
| Плотность | f(x) = λe−λx |
| Функция распределения | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Функция выживания | P(X > x) = e−λx |
| Квантиль для вероятности p | x = −ln(1 − p) / λ |
| Среднее и стандартное отклонение | по 1/λ каждое |
| Дисперсия | 1/λ² |
| Медиана | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
Интенсивность или среднее? Проверьте, что использует ваш источник
Учебники расходятся в выборе параметра. Одни пишут интенсивность λ, другие — среднее (или масштаб) θ = β = 1/λ. Программы устроены так же: dexp, pexp и qexp в R принимают интенсивность, как и EXPON.DIST в Excel, а scipy.stats.expon в Python принимает scale = 1/λ. Путаница здесь самая частая: среднее 4 минуты — это интенсивность 0,25 в минуту, а не 4. Выберите подходящий вариант выше, и калькулятор сам выполнит пересчёт.
Разобранный пример: время ожидания между звонками
На линию помощи звонки поступают в среднем каждые 4 минуты, поэтому среднее равно 4, а λ = 1/4 = 0,25 в минуту. Вероятность, что следующий звонок займёт не больше 6 минут, — P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, а вероятность, что он займёт больше, — P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231. Вероятность, что ожидание окажется между 2 и 6 минутами, — e−0,5 − e−1,5 = 0,3834.
Медианное ожидание равно ln 2 / 0,25 = 2,7726 минуты — меньше среднего 4, потому что распределение скошено вправо. 90-й процентиль равен −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 минуты: девять звонков из десяти поступают в течение примерно 9,2 минуты.
Отсутствие памяти
Допустим, 3 минуты прошли без звонка. Вероятность, что ждать придётся ещё не меньше 6 минут, равна P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231 — в точности P(X > 6), то есть значению для нового старта. Экспоненциальное распределение — единственное непрерывное распределение с таким свойством, и оно следует из постоянной интенсивности отказов: в каждый момент шанс события в следующий миг равен λ, как бы долго вы ни ждали.
Когда экспоненциальное распределение — не та модель
Отсутствие памяти — сильное допущение. Батарейка или человек стареют, поэтому модель срока службы с растущей интенсивностью отказов (распределение Вейбулла или гамма) подходит лучше экспоненциальной; экспоненциальная модель подходит событиям, которые происходят без износа, например случайным поступлениям.
Часто задаваемые вопросы
- Как найти λ по среднему?
- Возьмите обратную величину: λ = 1/среднее. Среднее ожидание 4 минуты даёт λ = 0,25 в минуту, а интенсивность 3 события в час — среднее 1/3 часа, то есть 20 минут. Держите единицы x согласованными с единицами λ, иначе вероятности будут неверны.
- Что означает свойство отсутствия памяти?
- Оно означает P(X > s + t | X > s) = P(X > t): время, которое вы уже прождали, не меняет распределения оставшегося ожидания. Если автобус приходит в случайный момент со средним интервалом 10 минут, то после 20 минут ожидания ожидаемое оставшееся время по-прежнему составит 10 минут.
- Как связаны экспоненциальное и пуассоновское распределения?
- Они описывают один и тот же процесс с двух сторон. Пуассоновское распределение считает события за фиксированный период; экспоненциальное измеряет время между событиями. Если звонки поступают по 3 в час (Пуассон, λ = 3), промежуток между звонками экспоненциален со средним 20 минут, а вероятность ждать больше 5 минут равна e−3 × 5/60 = 0,7788.
- Как вычислить P(X > x) для экспоненциального распределения?
- Используйте функцию выживания e−λx. При λ = 0,25 и x = 6 это e−1,5 = 0,2231. Вычитать из 1 не нужно — поэтому калькулятор считает верхний хвост напрямую и сохраняет точность далеко в хвосте.
- Почему медиана меньше среднего?
- Распределение сильно скошено вправо: много коротких ожиданий и несколько очень длинных сдвигают среднее вверх. Медиана равна ln 2 / λ, примерно 69% от среднего 1/λ. Половина всех ожиданий короче 0,69 от среднего ожидания.
- Подходит ли экспоненциальное распределение для моделирования сроков службы?
- Только когда интенсивность отказов постоянна, как при случайных ударах или электронных компонентах в период нормальной работы. Износ, приработочные отказы и старение заставляют интенсивность меняться во времени, и тогда экспоненциальная модель неверно оценивает оба хвоста. Проверьте соответствие, прежде чем на неё полагаться.