Calcolatore della Distribuzione Esponenziale
Inserisci il tasso λ o la media di una distribuzione esponenziale e un valore x, e ottieni la densità, le probabilità cumulata e di sopravvivenza, la probabilità di un intervallo, la mediana e qualsiasi percentile, con il procedimento, una verifica dell'assenza di memoria e una curva ombreggiata. Gratuito, senza registrazione.
Aggiunge P(x ≤ X ≤ questo valore) ai risultati.
Mostra che l'attesa che resta non dipende da s.
Trova la x con P(X ≤ x) = p, per esempio 0,9 per il 90° percentile.
Risultati
λ = 1/media = 1/4 = 0,25
| Probabilità | Significato | Valore |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | al massimo 6 (anche: minore di 6) | 0,7769 |
| P(X > 6) | più di 6 (anche: almeno 6; la funzione di sopravvivenza) | 0,2231 |
| f(6) | Densità in x: f(x) = λe^(−λx). Una densità, non una probabilità: può superare 1. | 0,055783 |
4
Media (1/λ)
16
Varianza (1/λ²)
4
Deviazione standard (1/λ)
2,7726
Mediana (ln 2 / λ)
0,25
Tasso di rischio (λ)
Assenza di memoria
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. I due valori coincidono: aver già aspettato 3 non cambia nulla dell'attesa che resta.
Quantile
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Quindi P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
Curva di densità
Densità esponenziale con λ = 0,25. L'area ombreggiata sotto la curva è P(X ≤ x).
Come usare il calcolatore della distribuzione esponenziale
- 1. Indica quale parametro conosci. Scegli il tasso λ (eventi per unità di tempo) oppure la media 1/λ (unità di tempo per evento), poi inseriscilo. Il calcolatore converte l'altro e mostra la conversione.
- 2. Inserisci x. Il tempo, la distanza o un'altra quantità che ti interessa. Aggiungi un estremo superiore se vuoi la probabilità di un intervallo.
- 3. Extra facoltativi. Inserisci un tempo già trascorso in attesa, s, per vedere all'opera la proprietà di assenza di memoria, oppure una probabilità p per trovare la x che la delimita (p = 0,9 dà il 90° percentile).
- 4. Leggi i risultati. P(X ≤ x), P(X > x), la densità f(x), la media, la varianza, la mediana e il tasso di rischio, più una curva con la tua probabilità ombreggiata.
Che cosa modella la distribuzione esponenziale
La distribuzione esponenziale descrive il tempo di attesa fino al prossimo evento, quando gli eventi si verificano in modo indipendente a un tasso medio costante: l'intervallo tra due chiamate a un servizio di assistenza, il tempo fino al decadimento di un atomo radioattivo, la distanza tra i difetti lungo un cavo. È la controparte continua della distribuzione geometrica, ed è legata alla distribuzione di Poisson: se il numero di eventi in un periodo segue una Poisson di tasso λ, le attese tra gli eventi sono esponenziali con lo stesso λ.
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Densità | f(x) = λe−λx |
| Probabilità cumulata | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Funzione di sopravvivenza | P(X > x) = e−λx |
| Quantile per la probabilità p | x = −ln(1 − p) / λ |
| Media e deviazione standard | 1/λ ciascuna |
| Varianza | 1/λ² |
| Mediana | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
Tasso o media? Controlla quale usa la tua fonte
I libri di testo si dividono sul parametro. Alcuni scrivono il tasso λ; altri la media (o la scala) θ = β = 1/λ. Anche i software si dividono allo stesso modo: dexp, pexp e qexp di R usano il tasso, come EXPON.DIST di Excel, mentre scipy.stats.expon di Python usa scale = 1/λ. Confonderli è l'errore più comune con questa distribuzione: una media di 4 minuti è un tasso di 0,25 al minuto, non 4. Scegli l'opzione corrispondente qui sopra e il calcolatore fa la conversione.
Esempio svolto: tempo di attesa tra le chiamate
Le chiamate a un servizio di assistenza arrivano in media ogni 4 minuti, quindi la media è 4 e λ = 1/4 = 0,25 al minuto. La probabilità che la prossima chiamata richieda al massimo 6 minuti è P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, e quella che richieda più tempo è P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231. La probabilità che l'attesa cada tra 2 e 6 minuti è e−0,5 − e−1,5 = 0,3834.
L'attesa mediana è ln 2 / 0,25 = 2,7726 minuti: più breve della media di 4, perché la distribuzione è asimmetrica a destra. Il 90° percentile è −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 minuti: nove chiamate su dieci arrivano entro circa 9,2 minuti dall'ultima.
Assenza di memoria
Supponi che siano trascorsi 3 minuti senza chiamate. La probabilità di attendere almeno altri 6 è P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231: esattamente P(X > 6), la cifra per un inizio da zero. L'esponenziale è l'unica distribuzione continua con questa proprietà, e ne consegue dal tasso di rischio costante: in ogni istante la probabilità di un evento nell'istante successivo è λ, per quanto a lungo si sia aspettato.
Quando l'esponenziale è il modello sbagliato
L'assenza di memoria è un'ipotesi forte. Una batteria o una persona invecchiano, quindi un modello di durata con tasso di rischio crescente (una Weibull o una gamma) si adatta meglio di un'esponenziale; quest'ultima si adatta agli eventi che colpiscono senza usura, come gli arrivi casuali.
Domande frequenti
- Come ricavo λ dalla media?
- Prendi il reciproco: λ = 1/media. Un'attesa media di 4 minuti dà λ = 0,25 al minuto, e un tasso di 3 eventi all'ora dà una media di 1/3 d'ora, cioè 20 minuti. Mantieni coerenti le unità di x con quelle di λ, altrimenti le probabilità saranno sbagliate.
- Che cos'è la proprietà di assenza di memoria?
- Significa P(X > s + t | X > s) = P(X > t): il tempo già trascorso in attesa non modifica la distribuzione del tempo che resta da aspettare. Se un autobus arriva a caso con un intervallo medio di 10 minuti, dopo averne aspettati 20 l'attesa residua prevista è ancora di 10 minuti.
- Come sono collegate la distribuzione esponenziale e quella di Poisson?
- Descrivono lo stesso processo da due lati. La Poisson conta gli eventi in un periodo fisso; l'esponenziale misura il tempo tra un evento e l'altro. Se le chiamate arrivano a 3 l'ora (Poisson, λ = 3), l'intervallo tra una chiamata e l'altra è esponenziale con media 20 minuti, e la probabilità di attendere più di 5 minuti è e−3 × 5/60 = 0,7788.
- Come calcolo P(X > x) per una distribuzione esponenziale?
- Usa la funzione di sopravvivenza e−λx. Con λ = 0,25 e x = 6 si ottiene e−1,5 = 0,2231. Non serve sottrarre da 1: per questo il calcolatore calcola direttamente la coda superiore e mantiene la precisione anche molto lontano nella coda.
- Perché la mediana è più piccola della media?
- La distribuzione è fortemente asimmetrica a destra: molte attese brevi e poche molto lunghe spingono in alto la media. La mediana è ln 2 / λ, circa il 69% della media 1/λ. Metà di tutte le attese è più breve di 0,69 volte l'attesa media.
- La distribuzione esponenziale è un buon modello per le durate di vita?
- Solo quando il tasso di guasto è costante, come per gli shock casuali o i componenti elettronici nella loro vita utile. Usura, mortalità infantile e invecchiamento fanno variare il tasso di rischio nel tempo, e allora l'esponenziale sbaglia entrambe le code. Verifica l'adattamento prima di affidartici.