घातीय बंटन कैलकुलेटर
घातीय बंटन की दर λ या माध्य, और मान x दर्ज करें, और घनत्व, संचयी और उत्तरजीविता प्रायिकताएँ, परिसर की प्रायिकता, माध्यिका और कोई भी प्रतिशतक पाएँ — गणना दिखाई गई, स्मृतिहीनता की जाँच और छायांकित वक्र के साथ। निःशुल्क, पंजीकरण आवश्यक नहीं।
परिणामों में P(x ≤ X ≤ यह मान) जोड़ता है।
दिखाता है कि आगे का शेष समय s पर निर्भर नहीं करता।
वह x ढूँढता है जहाँ P(X ≤ x) = p, जैसे 90वें प्रतिशतक के लिए 0.9।
परिणाम
λ = 1/माध्य = 1/4 = 0.25
| प्रायिकता | अर्थ | मान |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | अधिकतम 6 (यह भी: 6 से कम) | 0.7769 |
| P(X > 6) | 6 से अधिक (यह भी: कम से कम 6; उत्तरजीविता फलन) | 0.2231 |
| f(6) | x पर घनत्व: f(x) = λe^(−λx). यह घनत्व है, प्रायिकता नहीं: यह 1 से अधिक हो सकता है। | 0.055783 |
4
माध्य (1/λ)
16
प्रसरण (1/λ²)
4
मानक विचलन (1/λ)
2.7726
माध्यिका (ln 2 / λ)
0.25
संकट-दर (λ)
स्मृतिहीनता
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0.1054 / 0.4724 = 0.2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0.2231। दोनों बराबर हैं: 3 समय पहले ही बीत जाने से आगे की प्रतीक्षा पर कोई असर नहीं पड़ता।
क्वांटाइल
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0.9) / 0.25 = 9.2103। तो P(X ≤ 9.2103) = 0.9।
घनत्व वक्र
λ = 0.25 वाला घातीय घनत्व। वक्र के नीचे छायांकित क्षेत्र P(X ≤ x) है।
घातीय बंटन कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. बताएँ कि कौन-सा पैरामीटर ज्ञात है। दर λ (प्रति इकाई घटनाएँ) या माध्य 1/λ (प्रति घटना इकाई-समय) चुनें, फिर उसे लिखें। कैलकुलेटर दूसरा बदलकर दिखाता है।
- 2. x दर्ज करें। वह समय, दूरी या अन्य मात्रा जिसके बारे में आप पूछ रहे हैं। किसी परिसर की प्रायिकता चाहिए तो ऊपरी सीमा भी जोड़ें।
- 3. वैकल्पिक अतिरिक्त। जो समय पहले ही बीत चुका है वह s दर्ज करें, ताकि स्मृतिहीनता गुण काम करता दिखे, या प्रायिकता p दर्ज करें ताकि वह x मिले जो उसे काटता है (p = 0.9 का अर्थ है 90वाँ प्रतिशतक)।
- 4. परिणाम पढ़ें। P(X ≤ x), P(X > x), घनत्व f(x), माध्य, प्रसरण, माध्यिका और संकट-दर, साथ में एक वक्र जिस पर आपकी प्रायिकता छायांकित है।
घातीय बंटन किसका मॉडल है
घातीय बंटन अगली घटना तक के प्रतीक्षा-समय का वर्णन करता है, जब घटनाएँ स्थिर औसत दर पर स्वतंत्र रूप से होती हैं: हेल्पलाइन पर कॉलों के बीच का अंतराल, किसी रेडियोधर्मी परमाणु के क्षय तक का समय, या किसी केबल पर दोषों के बीच की दूरी। यह ज्यामितीय बंटन का सतत समकक्ष है, और पॉइसन बंटन से जुड़ा है: यदि किसी अवधि में घटनाओं की संख्या दर λ वाला पॉइसन बंटन है, तो घटनाओं के बीच का प्रतीक्षा-समय उसी λ वाला घातीय बंटन होता है।
| मात्रा | सूत्र |
|---|---|
| घनत्व | f(x) = λe−λx |
| संचयी प्रायिकता | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| उत्तरजीविता फलन | P(X > x) = e−λx |
| प्रायिकता p के लिए क्वांटाइल | x = −ln(1 − p) / λ |
| माध्य और मानक विचलन | दोनों 1/λ |
| प्रसरण | 1/λ² |
| माध्यिका | ln 2 / λ ≈ 0.6931 / λ |
दर या माध्य? अपने स्रोत का तरीका जाँचें
पाठ्यपुस्तकें पैरामीटर के मामले में बँटी हुई हैं। कुछ दर λ लिखती हैं, कुछ माध्य (या पैमाना) θ = β = 1/λ। सॉफ़्टवेयर भी इसी तरह बँटा है: R के dexp, pexp और qexp दर लेते हैं, और Excel का EXPON.DIST भी, जबकि Python का scipy.stats.expon scale = 1/λ लेता है। इन दोनों को आपस में मिलाना इस बंटन की सबसे आम त्रुटि है — 4 मिनट का माध्य 0.25 प्रति मिनट की दर है, 4 नहीं। ऊपर से मेल खाता विकल्प चुनें, कैलकुलेटर रूपांतरण कर देगा।
हल किया गया उदाहरण: कॉलों के बीच प्रतीक्षा
हेल्पलाइन पर कॉलें औसतन हर 4 मिनट पर आती हैं, इसलिए माध्य 4 है और λ = 1/4 = 0.25 प्रति मिनट। अगली कॉल में अधिकतम 6 मिनट लगने की प्रायिकता P(X ≤ 6) = 1 − e−1.5 = 0.7769 है, और उसमें इससे अधिक समय लगने की प्रायिकता P(X > 6) = e−1.5 = 0.2231 है। प्रतीक्षा 2 से 6 मिनट के बीच पड़ने की प्रायिकता e−0.5 − e−1.5 = 0.3834 है।
माध्यिका प्रतीक्षा ln 2 / 0.25 = 2.7726 मिनट है — माध्य 4 से छोटी, क्योंकि बंटन दाईं ओर तिरछा है। 90वाँ प्रतिशतक −ln(0.1) / 0.25 = 9.2103 मिनट है: दस में से नौ कॉलें पिछली कॉल के लगभग 9.2 मिनट के भीतर आती हैं।
स्मृतिहीनता
मान लीजिए 3 मिनट बीत गए और कोई कॉल नहीं आई। अगले 6 मिनट या उससे अधिक प्रतीक्षा की प्रायिकता P(X > 9) / P(X > 3) = 0.1054 / 0.4724 = 0.2231 है — ठीक P(X > 6), यानी नई शुरुआत के लिए आँकड़ा। घातीय ही वह एकमात्र सतत बंटन है जिसमें यह गुण है, और यह स्थिर संकट-दर से निकलता है: हर क्षण अगले पल में घटना की प्रायिकता λ रहती है, चाहे आप कितनी भी देर से प्रतीक्षा कर रहे हों।
जब घातीय बंटन गलत मॉडल है
स्मृतिहीनता एक मज़बूत धारणा है। बैटरी या व्यक्ति उम्र के साथ घिसते हैं, इसलिए बढ़ती संकट-दर वाला जीवनकाल मॉडल (वेइबुल या गामा) घातीय से बेहतर बैठता है; घातीय उन घटनाओं के लिए ठीक है जो बिना घिसे घटती हैं, जैसे यादृच्छिक आगमन।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- माध्य से λ कैसे निकालूँ?
- व्युत्क्रम लें: λ = 1/माध्य। 4 मिनट का माध्य प्रतीक्षा λ = 0.25 प्रति मिनट देता है, और 3 घटनाएँ प्रति घंटा की दर का माध्य 1/3 घंटा, यानी 20 मिनट होता है। x की इकाइयाँ λ की इकाइयों के अनुरूप रखें, नहीं तो प्रायिकताएँ गलत होंगी।
- स्मृतिहीनता गुण का क्या अर्थ है?
- इसका अर्थ है P(X > s + t | X > s) = P(X > t): जो समय आप पहले ही प्रतीक्षा कर चुके हैं, वह आगे के समय के बंटन को नहीं बदलता। यदि बस यादृच्छिक रूप से आती है और औसत अंतराल 10 मिनट है, तो 20 मिनट प्रतीक्षा के बाद भी अपेक्षित शेष प्रतीक्षा 10 मिनट ही है।
- घातीय और पॉइसन बंटन कैसे जुड़े हैं?
- वे एक ही प्रक्रिया को दो ओर से देखते हैं। पॉइसन एक तय अवधि में घटनाएँ गिनता है; घातीय घटनाओं के बीच का समय मापता है। यदि कॉलें 3 प्रति घंटा की दर से आती हैं (पॉइसन, λ = 3), तो कॉलों के बीच का अंतराल माध्य 20 मिनट वाला घातीय बंटन है, और 5 मिनट से अधिक प्रतीक्षा की प्रायिकता e−3 × 5/60 = 0.7788 है।
- घातीय बंटन में P(X > x) की गणना कैसे करें?
- उत्तरजीविता फलन e−λx का उपयोग करें। λ = 0.25 और x = 6 के लिए यह e−1.5 = 0.2231 है। 1 में से घटाने की ज़रूरत नहीं — इसीलिए कैलकुलेटर ऊपरी पूँछ सीधे निकालता है और पूँछ में बहुत दूर तक सटीकता बनाए रखता है।
- माध्यिका माध्य से छोटी क्यों है?
- बंटन बहुत दाईं ओर तिरछा है: बहुत सारी छोटी प्रतीक्षाएँ और कुछ बहुत लंबी प्रतीक्षाएँ माध्य को ऊपर खींचती हैं। माध्यिका ln 2 / λ है, जो माध्य 1/λ का लगभग 69% है। आधी प्रतीक्षाएँ औसत प्रतीक्षा के 0.69 गुना से छोटी होती हैं।
- क्या घातीय बंटन जीवनकाल के लिए अच्छा मॉडल है?
- केवल तब जब विफलता-दर स्थिर हो, जैसे यादृच्छिक झटकों या इलेक्ट्रॉनिक पुर्जों के उपयोगी जीवनकाल में। घिसाव, शुरुआती मृत्यु-दर और बुढ़ापा, ये सब संकट-दर को समय के साथ बदलते हैं, और तब घातीय बंटन दोनों पूँछों का गलत अनुमान लगाता है। भरोसा करने से पहले फ़िट की जाँच कर लें।