指数分布計算ツール
指数分布の率 λ または平均と、値 x を入力すると、密度、累積確率と生存確率、範囲の確率、中央値、任意のパーセンタイルが得られます。計算過程、無記憶性の確認、影付きの曲線も表示します。無料で、登録は不要です。
結果に P(x ≤ X ≤ この値) を追加します。
残りの待ち時間が s に依存しないことを示します。
P(X ≤ x) = p となる x を求めます。例えば 0.9 は90パーセンタイルです。
結果
λ = 1/平均 = 1/4 = 0.25
| 確率 | 意味 | 値 |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | 6 以下（6 未満とも） | 0.7769 |
| P(X > 6) | 6 より大きい（6 以上とも。生存関数） | 0.2231 |
| f(6) | x における密度：f(x) = λe^(−λx). これは確率ではなく密度であり、1を超えることもあります。 | 0.055783 |
4
平均（1/λ）
16
分散（1/λ²）
4
標準偏差（1/λ）
2.7726
中央値（ln 2 / λ）
0.25
ハザード率（λ）
無記憶性
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0.1054 / 0.4724 = 0.2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0.2231。両者は等しく、すでに3待ったことは残りの待ち時間を何も変えません。
分位点
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0.9) / 0.25 = 9.2103。したがって P(X ≤ 9.2103) = 0.9。
密度曲線
λ = 0.25 の指数密度。曲線の下の影の面積はP(X ≤ x)です。
指数分布計算ツールの使い方
- 1. わかっているパラメータを選びます。 率 λ（単位時間あたりの発生回数）または平均 1/λ（1回の発生までの時間）を選び、値を入力します。もう一方は自動で換算され、その換算も表示されます。
- 2. x を入力します。 知りたい時間、距離、その他の量です。範囲の確率が必要なら、上限も入力してください。
- 3. 追加の項目（任意）。 すでに待った時間 s を入力すると無記憶性を確認できます。確率 p を入力すると、それに対応する x を求めます（p = 0.9 なら90パーセンタイル）。
- 4. 結果を読みます。 P(X ≤ x)、P(X > x)、密度 f(x)、平均、分散、中央値、ハザード率に加え、指定した確率を影で示した曲線が表示されます。
指数分布が表すもの
指数分布は、事象が一定の平均率で独立に起こるとき、次の事象までの待ち時間を表します。例えば、電話相談の着信の間隔、放射性原子が崩壊するまでの時間、ケーブル上の傷の間隔などです。幾何分布の連続版にあたり、ポアソン分布とも関係があります。ある期間の発生回数が率 λ のポアソン分布に従うなら、事象の間の待ち時間は同じ λ の指数分布に従います。
| 量 | 公式 |
|---|---|
| 密度 | f(x) = λe−λx |
| 累積確率 | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| 生存関数 | P(X > x) = e−λx |
| 確率 p に対する分位点 | x = −ln(1 − p) / λ |
| 平均と標準偏差 | それぞれ 1/λ |
| 分散 | 1/λ² |
| 中央値 | ln 2 / λ ≈ 0.6931 / λ |
率か平均か？ 出典がどちらを使うか確認する
教科書によって、パラメータの選び方が違います。率 λ で書くものもあれば、平均（または尺度）θ = β = 1/λ で書くものもあります。ソフトウェアも同様に分かれます。R の dexp、pexp、qexp は率を取り、Excel の EXPON.DIST も率を取ります。一方、Python の scipy.stats.expon は scale = 1/λ を取ります。この分布で最もよくある間違いは取り違えです。平均が4分であれば、率は毎分0.25回であり、4ではありません。上で対応するオプションを選べば、ツールが換算します。
具体例：電話相談の待ち時間
電話相談への着信は平均4分ごとなので、平均は4、λ = 1/4 = 毎分0.25回です。次の着信までの時間が6分以下である確率は P(X ≤ 6) = 1 − e−1.5 = 0.7769 で、それより長い確率は P(X > 6) = e−1.5 = 0.2231 です。待ち時間が2分から6分の間に入る確率は e−0.5 − e−1.5 = 0.3834 です。
中央値の待ち時間は ln 2 / 0.25 = 2.7726 分で、平均の4分より短くなります。分布が右に歪んでいるためです。90パーセンタイルは −ln(0.1) / 0.25 = 9.2103 分です。つまり、10回のうち9回は、前の着信から約9.2分以内に次の着信があります。
無記憶性
3分間着信がなかったとします。さらに6分以上待つ確率は P(X > 9) / P(X > 3) = 0.1054 / 0.4724 = 0.2231 で、これはゼロから待ち始めたときの P(X > 6) とちょうど等しくなります。指数分布はこの性質を持つ唯一の連続分布で、一定のハザード率から導かれます。つまり、どれだけ待っても、次の瞬間に事象が起きる確率は常に λ です。
指数分布が不適切なモデルのとき
無記憶性は強い仮定です。電池や人は時間とともに劣化するため、ハザード率が上がる寿命モデル（ワイブル分布やガンマ分布）の方が適しています。指数分布は、摩耗なしに起こるランダムな到着などに向いています。
よくある質問
- 平均から λ を求めるには？
- 逆数をとります。λ = 1/平均です。平均待ち時間が4分なら λ = 毎分0.25回、毎時3回の率なら平均は1/3時間（20分）です。x の単位と λ の単位をそろえてください。そうしないと確率が誤ります。
- 無記憶性とは何ですか？
- P(X > s + t | X > s) = P(X > t) を意味します。すでに待った時間は、残りの待ち時間の分布を変えません。バスが平均10分間隔でランダムに来るなら、20分待った後も、残りの予想待ち時間は依然として10分です。
- 指数分布とポアソン分布の関係は？
- 同じ過程を2つの側面から見たものです。ポアソン分布は一定期間の発生回数を数え、指数分布は事象の間の時間を測ります。着信が毎時3回（ポアソン分布、λ = 3）なら、着信の間隔は平均20分の指数分布に従い、5分を超えて待つ確率は e−3 × 5/60 = 0.7788 です。
- 指数分布で P(X > x) はどう計算しますか？
- 生存関数 e−λx を使います。λ = 0.25、x = 6 なら e−1.5 = 0.2231 です。1から引く必要はありません。このツールが裾の確率を直接計算し、裾の遠い部分でも精度を保つのはそのためです。
- なぜ中央値は平均より小さいのですか？
- 分布が強く右に歪んでいるためです。短い待ち時間が多く、非常に長い待ち時間が少しあるため、平均が引き上げられます。中央値は ln 2 / λ で、平均 1/λ の約69%です。待ち時間の半分は、平均待ち時間の0.69倍より短くなります。
- 指数分布は寿命のモデルとして適していますか？
- 故障率が一定である場合、例えばランダムな衝撃や、使用期間中の電子部品などに限られます。摩耗、初期故障、経年劣化はハザード率を時間とともに変えるため、指数分布では両端の裾を誤って見積もります。頼る前に適合を確認してください。