지수 분포 계산기
지수 분포의 비율 λ 또는 평균과 값 x를 입력하면 밀도, 누적확률과 생존확률, 구간 확률, 중앙값과 원하는 백분위수를 풀이와 함께 얻을 수 있습니다. 무기억성 검사와 색칠된 곡선도 제공합니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.
결과에 P(x ≤ X ≤ 이 값)을 더합니다.
남은 대기 시간이 s에 의존하지 않음을 보여 줍니다.
P(X ≤ x) = p인 x를 찾습니다. 예를 들어 90번째 백분위수는 0.9입니다.
결과
λ = 1/평균 = 1/4 = 0.25
| 확률 | 의미 | 값 |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | 6 이하 (또는 6 미만) | 0.7769 |
| P(X > 6) | 6보다 큼 (또는 6 이상; 생존 함수) | 0.2231 |
| f(6) | x에서의 밀도: f(x) = λe^(−λx). 밀도이지 확률이 아닙니다. 1을 넘을 수 있습니다. | 0.055783 |
4
평균 (1/λ)
16
분산 (1/λ²)
4
표준편차 (1/λ)
2.7726
중앙값 (ln 2 / λ)
0.25
위험률 (λ)
무기억성
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0.1054 / 0.4724 = 0.2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0.2231. 두 값은 같습니다. 이미 3만큼 기다렸다는 사실은 앞으로 남은 대기 시간을 바꾸지 않습니다.
분위수
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0.9) / 0.25 = 9.2103. 따라서 P(X ≤ 9.2103) = 0.9입니다.
밀도 곡선
λ = 0.25인 지수 밀도. 곡선 아래 색칠된 면적은 P(X ≤ x)입니다.
지수 분포 계산기 사용 방법
- 1. 아는 모수를 고르세요. 비율 λ(단위 시간당 사건 수) 또는 평균 1/λ(사건 하나당 시간 단위)을 고른 뒤 값을 입력하세요. 계산기가 나머지 하나로 환산하고 그 과정을 보여 줍니다.
- 2. x를 입력하세요. 알고 싶은 시간, 거리 또는 다른 양입니다. 구간의 확률을 원하면 상한도 입력하세요.
- 3. 선택 항목. 이미 기다린 시간 s를 입력하면 무기억성이 작동하는 모습을 볼 수 있고, 확률 p를 입력하면 그것을 자르는 x를 구합니다(p = 0.9이면 90번째 백분위수).
- 4. 결과를 읽으세요. P(X ≤ x), P(X > x), 밀도 f(x), 평균, 분산, 중앙값, 위험률, 그리고 여러분의 확률을 색칠한 곡선이 나옵니다.
지수 분포가 모형화하는 것
지수 분포는 사건이 일정한 평균 비율로 독립적으로 일어날 때, 다음 사건까지의 대기 시간을 나타냅니다. 콜센터의 통화 간격, 방사성 원자가 붕괴할 때까지의 시간, 케이블을 따라 나타나는 결함 사이의 거리 등이 그렇습니다. 이는 이산 분포인 기하 분포의 연속형 짝이며, 푸아송 분포와도 연결됩니다. 어떤 기간의 사건 수가 비율 λ의 푸아송 분포를 따르면, 사건 사이의 대기 시간은 같은 λ의 지수 분포를 따릅니다.
| 양 | 공식 |
|---|---|
| 밀도 | f(x) = λe−λx |
| 누적확률 | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| 생존 함수 | P(X > x) = e−λx |
| 확률 p에 대한 분위수 | x = −ln(1 − p) / λ |
| 평균과 표준편차 | 각각 1/λ |
| 분산 | 1/λ² |
| 중앙값 | ln 2 / λ ≈ 0.6931 / λ |
비율인가 평균인가? 원본이 어느 것을 쓰는지 확인하세요
교재마다 모수를 다르게 씁니다. 어떤 책은 비율 λ를, 다른 책은 평균(또는 척도) θ = β = 1/λ를 씁니다. 소프트웨어도 같이 나뉩니다. R의 dexp, pexp, qexp와 Excel의 EXPON.DIST는 비율을 받고, Python의 scipy.stats.expon은 scale = 1/λ을 받습니다. 가장 흔한 실수는 이 둘을 헷갈리는 것입니다. 평균 4분은 비율 분당 0.25이지, 4가 아닙니다. 위에서 맞는 옵션을 고르면 계산기가 환산합니다.
실제 예시: 통화 사이의 대기 시간
상담 전화는 평균 4분마다 옵니다. 따라서 평균은 4이고 λ = 1/4 = 0.25(분당)입니다. 다음 통화가 최대 6분 안에 올 확률은 P(X ≤ 6) = 1 − e−1.5 = 0.7769이고, 더 오래 걸릴 확률은 P(X > 6) = e−1.5 = 0.2231입니다. 대기 시간이 2분에서 6분 사이일 확률은 e−0.5 − e−1.5 = 0.3834입니다.
중앙값 대기 시간은 ln 2 / 0.25 = 2.7726분입니다. 분포가 오른쪽으로 치우쳐 있으므로 평균 4분보다 짧습니다. 90번째 백분위수는 −ln(0.1) / 0.25 = 9.2103분입니다. 즉 통화 열 번 중 아홉 번은 직전 통화 후 약 9.2분 안에 옵니다.
무기억성
3분 동안 전화가 오지 않았다고 해 봅시다. 앞으로 최소 6분을 더 기다릴 확률은 P(X > 9) / P(X > 3) = 0.1054 / 0.4724 = 0.2231입니다. 이는 정확히 P(X > 6), 즉 새로 시작했을 때의 값입니다. 지수 분포는 이 성질을 갖는 유일한 연속 분포이며, 일정한 위험률에서 비롯됩니다. 매 순간 다음 순간에 사건이 일어날 확률은 얼마나 오래 기다렸든 λ입니다.
지수 분포가 맞지 않는 모형일 때
무기억성은 강한 가정입니다. 배터리나 사람은 나이가 들기 때문에, 위험률이 증가하는 수명 모형(와이블이나 감마)이 지수 분포보다 잘 맞습니다. 지수 분포는 마모 없이 일어나는 사건, 예를 들어 무작위 도착에 알맞습니다.
자주 묻는 질문
- 평균에서 λ는 어떻게 구하나요?
- 역수를 취하세요: λ = 1/평균. 평균 대기 시간이 4분이면 λ = 분당 0.25이고, 시간당 3건의 비율이면 평균은 1/3시간, 즉 20분입니다. x의 단위와 λ의 단위를 일치시켜야 하며, 그렇지 않으면 확률이 틀립니다.
- 무기억성이란 무엇인가요?
- P(X > s + t | X > s) = P(X > t)라는 뜻입니다. 이미 기다린 시간은 앞으로 남은 대기 시간의 분포를 바꾸지 않습니다. 버스가 무작위로 도착하고 평균 간격이 10분이라면, 20분을 기다린 뒤에도 기대되는 남은 대기 시간은 여전히 10분입니다.
- 지수 분포와 푸아송 분포는 어떤 관계인가요?
- 같은 과정을 두 측면에서 봅니다. 푸아송 분포는 정해진 기간의 사건 수를 세고, 지수 분포는 사건 사이의 시간을 잽니다. 통화가 시간당 3건(푸아송, λ = 3)으로 온다면, 통화 사이의 간격은 평균 20분인 지수 분포를 따르며, 5분을 넘게 기다릴 확률은 e−3 × 5/60 = 0.7788입니다.
- 지수 분포에서 P(X > x)는 어떻게 계산하나요?
- 생존 함수 e−λx를 사용하세요. λ = 0.25이고 x = 6이면 e−1.5 = 0.2231입니다. 1에서 뺄 필요가 없습니다. 그래서 계산기는 꼬리 확률을 직접 계산하며, 꼬리 끝에서도 정밀도를 유지합니다.
- 중앙값이 평균보다 작은 이유는 무엇인가요?
- 분포가 강하게 오른쪽으로 치우쳐 있기 때문입니다. 짧은 대기가 많고 아주 긴 대기가 몇 번 있으면 평균이 올라갑니다. 중앙값은 ln 2 / λ로, 평균 1/λ의 약 69%입니다. 대기 시간의 절반은 평균 대기 시간의 0.69배보다 짧습니다.
- 지수 분포는 수명 모형으로 좋은가요?
- 위험률이 일정할 때만 그렇습니다. 예를 들어 무작위 충격이나 유효 수명 중인 전자 부품이 그렇습니다. 마모, 초기 고장, 노화는 모두 위험률을 시간에 따라 바꾸므로, 지수 분포는 양쪽 꼬리를 잘못 판단합니다. 의존하기 전에 적합성을 확인하세요.