指数分布计算器
输入指数分布的速率 λ 或均值,以及一个值 x,即可得到密度、累积与生存概率、区间概率、中位数和任意百分位数,并附计算过程、无记忆性检验和阴影曲线。免费,无需注册。
在结果中增加 P(x ≤ X ≤ 此值)。
显示接下来还要等待的时间不依赖于 s。
求满足 P(X ≤ x) = p 的 x,例如 0.9 对应第 90 百分位数。
结果
λ = 1/均值 = 1/4 = 0.25
| 概率 | 含义 | 值 |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | 至多 6(也可写作小于 6) | 0.7769 |
| P(X > 6) | 超过 6(也可写作至少 6;即生存函数) | 0.2231 |
| f(6) | x 处的密度:f(x) = λe^(−λx). 这是密度,不是概率:它可以超过 1。 | 0.055783 |
4
均值(1/λ)
16
方差(1/λ²)
4
标准差(1/λ)
2.7726
中位数(ln 2 / λ)
0.25
风险率(λ)
无记忆性
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0.1054 / 0.4724 = 0.2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0.2231。两者相等:已经等待了 3,并不会改变接下来还要等待的时间。
分位数
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0.9) / 0.25 = 9.2103。因此 P(X ≤ 9.2103) = 0.9。
密度曲线
λ = 0.25 的指数分布密度。曲线下的阴影面积为 P(X ≤ x)。
如何使用指数分布计算器
- 1. 说明您已知哪个参数。 选择速率 λ(每单位时间的事件数)或均值 1/λ(每个事件所需的时间单位数),然后输入。计算器会换算另一个参数,并显示换算过程。
- 2. 输入 x。 您要查询的时间、距离或其他数量。若要求某个区间的概率,请再输入区间上限。
- 3. 可选项。 输入已等待的时间 s,即可看到无记忆性的作用;或输入概率 p,求出截断它的 x(p = 0.9 即第 90 百分位数)。
- 4. 读取结果。 P(X ≤ x)、P(X > x)、密度 f(x)、均值、方差、中位数和风险率,以及标出您所求概率的阴影曲线。
指数分布描述什么
指数分布描述在事件以恒定的平均速率独立发生时,直到下一个事件出现的等待时间:例如两次呼叫热线之间的间隔、一个放射性原子衰变的时间、电缆上相邻缺陷之间的距离。它是几何分布的连续对应,并且与泊松分布密切相关:若某段时间内的事件数服从速率为 λ 的泊松分布,则事件之间的等待时间服从同一 λ 的指数分布。
| 量 | 公式 |
|---|---|
| 密度 | f(x) = λe−λx |
| 累积概率 | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| 生存函数 | P(X > x) = e−λx |
| 概率为 p 的分位数 | x = −ln(1 − p) / λ |
| 均值与标准差 | 各为 1/λ |
| 方差 | 1/λ² |
| 中位数 | ln 2 / λ ≈ 0.6931 / λ |
速率还是均值?请先确认您的资料使用的是哪一个
教材对参数的写法并不统一。有些书写速率 λ,另一些书写均值(或尺度参数)θ = β = 1/λ。软件也是如此:R 的 dexp、pexp 和 qexp 使用速率,Excel 的 EXPON.DIST 同样使用速率,而 Python 的 scipy.stats.expon 使用 scale = 1/λ。混淆它们是使用这一分布时最常见的错误——均值为 4 分钟,对应的速率是每分钟 0.25,而不是 4。选择上面对应的选项,计算器会自动换算。
示例:等待来电的时间
热线电话平均每 4 分钟来一个电话,因此均值为 4,λ = 1/4 = 每分钟 0.25。下一个电话在 6 分钟内到达的概率为 P(X ≤ 6) = 1 − e−1.5 = 0.7769,而等待超过 6 分钟的概率为 P(X > 6) = e−1.5 = 0.2231。等待时间在 2 至 6 分钟之间的概率为 e−0.5 − e−1.5 = 0.3834。
中位数等待时间为 ln 2 / 0.25 = 2.7726 分钟——比均值 4 短,因为该分布右偏。第 90 百分位数为 −ln(0.1) / 0.25 = 9.2103 分钟:在上一通电话之后,十通电话中有九通会在约 9.2 分钟内到达。
无记忆性
假设已经过去 3 分钟而没有来电。再等至少 6 分钟的概率为 P(X > 9) / P(X > 3) = 0.1054 / 0.4724 = 0.2231——与重新开始时的 P(X > 6) 完全相同。指数分布是唯一具有这一性质的连续分布,它源于恒定的风险率:无论已经等待了多久,在下一瞬间发生事件的概率始终为 λ。
何时指数分布并不适用
无记忆性是一个很强的假设。电池或人会老化,因此风险率随时间上升的寿命模型(威布尔分布或伽马分布)拟合得更好;指数分布适用于无磨损地发生的事件,例如随机到达。
常见问题
- 如何由均值求 λ?
- 取倒数:λ = 1/均值。平均等待 4 分钟得到 λ = 每分钟 0.25,而每小时 3 次事件则对应均值 1/3 小时,即 20 分钟。x 的单位须与 λ 的单位保持一致,否则概率会算错。
- 什么是无记忆性?
- 它指 P(X > s + t | X > s) = P(X > t):您已经等待的时间不会改变接下来还要等待的时间的分布。如果公交车随机到达,平均间隔为 10 分钟,那么已经等待 20 分钟之后,您预期的剩余等待时间仍然是 10 分钟。
- 指数分布与泊松分布有什么关系?
- 它们从两个角度描述同一过程。泊松分布计算固定时段内的事件数;指数分布测量事件之间的时间。若电话以每小时 3 个的速率到达(泊松分布,λ = 3),则相邻电话之间的间隔服从均值为 20 分钟的指数分布,而等待超过 5 分钟的概率为 e−3 × 5/60 = 0.7788。
- 如何计算指数分布的 P(X > x)?
- 使用生存函数 e−λx。当 λ = 0.25、x = 6 时,结果为 e−1.5 = 0.2231。无需用 1 去减任何值——这也是计算器直接计算上尾概率、从而在尾部很远处仍能保持精度的原因。
- 为什么中位数小于均值?
- 该分布强烈右偏:许多较短的等待和少数很长的等待把均值拉高。中位数为 ln 2 / λ,约为均值 1/λ 的 69%。一半的等待时间短于平均等待时间的 0.69 倍。
- 指数分布是寿命的好模型吗?
- 只有在失效率恒定时才是,例如随机冲击或电子元件在其正常使用期内的情形。磨损、早期失效和老化都会使风险率随时间变化,而指数分布会错误地估计两端的概率。依赖它之前,请先检验拟合程度。