Calculateur de loi exponentielle
Saisissez le taux λ ou la moyenne d'une loi exponentielle et une valeur x : vous obtenez la densité, les probabilités cumulée et de survie, la probabilité d'un intervalle, la médiane et tout centile, avec le calcul détaillé, une vérification de l'absence de mémoire et une courbe hachurée. Gratuit, sans inscription.
Ajoute P(x ≤ X ≤ cette valeur) aux résultats.
Montre que l'attente restante ne dépend pas de s.
Trouve le x tel que P(X ≤ x) = p, par exemple 0,9 pour le 90e centile.
Résultats
λ = 1/moyenne = 1/4 = 0,25
| Probabilité | Signification | Valeur |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | au plus 6 (aussi : moins que 6) | 0,7769 |
| P(X > 6) | plus de 6 (aussi : au moins 6 ; la fonction de survie) | 0,2231 |
| f(6) | Densité en x : f(x) = λe^(−λx). Une densité, et non une probabilité : elle peut dépasser 1. | 0,055783 |
4
Moyenne (1/λ)
16
Variance (1/λ²)
4
Écart type (1/λ)
2,7726
Médiane (ln 2 / λ)
0,25
Taux de défaillance (λ)
Absence de mémoire
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. Les deux probabilités sont égales : avoir déjà attendu 3 ne change rien à l'attente restante.
Quantile
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Donc P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
Courbe de densité
Densité exponentielle avec λ = 0,25. L'aire hachurée sous la courbe vaut P(X ≤ x).
Comment utiliser le calculateur de loi exponentielle
- 1. Indiquez le paramètre connu. Choisissez le taux λ (événements par unité de temps) ou la moyenne 1/λ (unités de temps par événement), puis saisissez-le. Le calculateur convertit l'autre et affiche la conversion.
- 2. Saisissez x. Le temps, la distance ou l'autre quantité qui vous intéresse. Ajoutez une borne supérieure si vous voulez la probabilité d'un intervalle.
- 3. Options supplémentaires. Saisissez un temps déjà écoulé, s, pour voir l'absence de mémoire à l'œuvre, ou une probabilité p pour trouver le x qui la délimite (p = 0,9 donne le 90e centile).
- 4. Lisez les résultats. P(X ≤ x), P(X > x), la densité f(x), la moyenne, la variance, la médiane et le taux de défaillance, ainsi qu'une courbe avec votre probabilité hachurée.
Ce que modélise la loi exponentielle
La loi exponentielle décrit le temps d'attente du prochain événement lorsque les événements surviennent indépendamment à un taux moyen constant : l'intervalle entre deux appels à une ligne d'assistance, le temps avant la désintégration d'un atome radioactif, la distance entre deux défauts le long d'un câble. C'est l'équivalent continu de la loi géométrique, et elle est liée à la loi de Poisson : si le nombre d'événements sur une période suit une loi de Poisson de taux λ, les délais entre événements suivent une loi exponentielle de même λ.
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Densité | f(x) = λe−λx |
| Probabilité cumulée | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Fonction de survie | P(X > x) = e−λx |
| Quantile pour la probabilité p | x = −ln(1 − p) / λ |
| Moyenne et écart type | 1/λ chacun |
| Variance | 1/λ² |
| Médiane | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
Taux ou moyenne ? Vérifiez le paramètre de votre source
Les manuels divergent sur le paramètre. Certains écrivent le taux λ ; d'autres écrivent la moyenne (ou l'échelle) θ = β = 1/λ. Les logiciels font de même : dexp, pexp et qexp de R prennent le taux, de même que LOI.EXPONENTIELLE (EXPON.DIST) d'Excel, tandis que scipy.stats.expon de Python prend scale = 1/λ. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente avec cette loi : une moyenne de 4 minutes correspond à un taux de 0,25 par minute, pas à 4. Choisissez l'option correspondante ci-dessus et le calculateur fait la conversion.
Exemple détaillé : temps d'attente entre deux appels
Les appels à une ligne d'assistance arrivent en moyenne toutes les 4 minutes, donc la moyenne vaut 4 et λ = 1/4 = 0,25 par minute. La probabilité que le prochain appel dure au plus 6 minutes est P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, et la probabilité qu'il dure plus longtemps est P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231. La probabilité que l'attente se situe entre 2 et 6 minutes est e−0,5 − e−1,5 = 0,3834.
L'attente médiane est ln 2 / 0,25 = 2,7726 minutes, soit moins que la moyenne de 4, car la distribution est dissymétrique à droite. Le 90e centile est −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 minutes : neuf appels sur dix arrivent dans les 9,2 minutes environ suivant le précédent.
Absence de mémoire
Supposons que 3 minutes se soient écoulées sans appel. La probabilité d'attendre encore au moins 6 minutes est P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231 — exactement P(X > 6), la valeur pour un départ à zéro. La loi exponentielle est la seule loi continue ayant cette propriété, qui découle du taux de défaillance constant : à chaque instant, la probabilité d'un événement dans l'instant suivant est λ, quelle que soit la durée déjà écoulée.
Quand la loi exponentielle est le mauvais modèle
L'absence de mémoire est une hypothèse forte. Une batterie ou une personne vieillit, donc un modèle de durée de vie à taux croissant (Weibull ou gamma) s'ajuste mieux qu'une loi exponentielle ; la loi exponentielle convient aux événements qui surviennent sans usure, comme les arrivées aléatoires.
Questions fréquentes
- Comment trouver λ à partir de la moyenne ?
- Prenez l'inverse : λ = 1/moyenne. Une attente moyenne de 4 minutes donne λ = 0,25 par minute, et un taux de 3 événements par heure donne une moyenne de 1/3 d'heure, soit 20 minutes. Gardez les unités de x cohérentes avec celles de λ, sinon les probabilités seront fausses.
- Que signifie l'absence de mémoire ?
- Elle signifie P(X > s + t | X > s) = P(X > t) : le temps déjà attendu ne modifie pas la loi du temps qui reste à attendre. Si un bus arrive au hasard avec un intervalle moyen de 10 minutes, après 20 minutes d'attente, votre attente restante moyenne est toujours de 10 minutes.
- Quel est le lien entre la loi exponentielle et la loi de Poisson ?
- Elles décrivent le même processus sous deux angles. La loi de Poisson compte les événements sur une période donnée ; la loi exponentielle mesure le temps entre deux événements. Si les appels arrivent à raison de 3 par heure (Poisson, λ = 3), l'intervalle entre deux appels suit une loi exponentielle de moyenne 20 minutes, et la probabilité d'attendre plus de 5 minutes est e−3 × 5/60 = 0,7788.
- Comment calculer P(X > x) pour une loi exponentielle ?
- Utilisez la fonction de survie e−λx. Avec λ = 0,25 et x = 6, cela donne e−1,5 = 0,2231. Il n'est pas nécessaire de soustraire de 1 : c'est pourquoi le calculateur calcule directement la queue supérieure et conserve sa précision très loin dans la queue.
- Pourquoi la médiane est-elle plus petite que la moyenne ?
- La distribution est fortement dissymétrique à droite : beaucoup d'attentes courtes et quelques attentes très longues tirent la moyenne vers le haut. La médiane vaut ln 2 / λ, soit environ 69 % de la moyenne 1/λ. La moitié des attentes sont plus courtes que 0,69 fois l'attente moyenne.
- La loi exponentielle est-elle un bon modèle pour les durées de vie ?
- Seulement lorsque le taux de défaillance est constant, comme pour des chocs aléatoires ou des composants électroniques en période de fonctionnement normal. L'usure, la mortalité infantile et le vieillissement font varier le taux de défaillance dans le temps, et la loi exponentielle se trompe alors sur les deux queues. Vérifiez l'ajustement avant de vous y fier.