Üstel Dağılım Hesaplayıcı
Üstel dağılımın oranını λ ya da ortalamasını ve bir x değerini girin; yoğunluğu, birikimli ve kuyruk olasılıklarını, bir aralık olasılığını, medyanı ve istediğiniz yüzdeliği alın — çalışma adım adım gösterilir, unutkanlık özelliği denetlenir ve olasılık gölgeli bir eğri üzerinde gösterilir. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
Sonuçlara P(x ≤ X ≤ bu değer) ekler.
Hâlâ gelecek olan beklemenin s'ye bağlı olmadığını gösterir.
P(X ≤ x) = p olan x'i bulur; ör. 90. yüzdelik için 0,9.
Sonuçlar
λ = 1/ortalama = 1/4 = 0,25
| Olasılık | Anlamı | Değer |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | 6 değerine kadar (ayrıca: 6 ya da daha az) | 0,7769 |
| P(X > 6) | 6 değerinden fazla (ayrıca: 6 ya da daha fazla; sağkalım fonksiyonu) | 0,2231 |
| f(6) | x noktasındaki yoğunluk: f(x) = λe^(−λx). Bu bir yoğunluktur, olasılık değildir: 1'i aşabilir. | 0,055783 |
4
Ortalama (1/λ)
16
Varyans (1/λ²)
4
Standart sapma (1/λ)
2,7726
Medyan (ln 2 / λ)
0,25
Tehlike oranı (λ)
Unutkanlık özelliği
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. İkisi eşittir: 3 kadar beklemiş olmak, geriye kalan bekleme süresini hiç değiştirmez.
Kuantil
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Yani P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
Yoğunluk eğrisi
λ = 0,25 için üstel yoğunluk. Eğrinin altındaki gölgeli alan: P(X ≤ x).
Üstel Dağılım Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Bildiğiniz parametreyi seçin. Oranı λ (birim zaman başına olay sayısı) ya da ortalamayı 1/λ (olay başına birim zaman) seçip girin. Hesaplayıcı diğerini dönüştürür ve dönüşümü gösterir.
- 2. x girin. Sorduğunuz süre, uzaklık ya da başka bir miktar. Bir aralığın olasılığını istiyorsanız üst sınırı da ekleyin.
- 3. İsteğe bağlı ekler. Unutkanlık özelliğini görmek için şimdiden beklenen süreyi s girin ya da kesme noktasını bulmak için bir p olasılığı girin (p = 0,9, 90. yüzdeliktir).
- 4. Sonuçları okuyun. P(X ≤ x), P(X > x), yoğunluk f(x), ortalama, varyans, medyan ve tehlike oranı ile olasılığınızın gölgelendiği bir eğri.
Üstel Dağılımın Modellediği Şey
Üstel dağılım, olayların sabit bir ortalama oranda ve birbirinden bağımsız olarak gerçekleştiği durumda bir sonraki olaya kadar geçen bekleme süresini tanımlar: yardım hattına gelen çağrılar arasındaki süre, bir radyoaktif atomun bozunmasına kadar geçen süre, bir kablodaki kusurlar arasındaki uzaklık. Kesikli geometrik dağılımın sürekli karşılığıdır ve Poisson dağılımı ile bağlantılıdır: bir dönemdeki olay sayısı λ oranlı Poisson dağılımına uyuyorsa, olaylar arasındaki bekleme süreleri aynı λ ile üstel dağılır.
| Nicelik | Formül |
|---|---|
| Yoğunluk | f(x) = λe−λx |
| Birikimli olasılık | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Sağkalım fonksiyonu | P(X > x) = e−λx |
| p olasılığı için kuantil | x = −ln(1 − p) / λ |
| Ortalama ve standart sapma | Her biri 1/λ |
| Varyans | 1/λ² |
| Medyan | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
Oran mı ortalama mı? Kaynağınızın hangisini kullandığını kontrol edin
Ders kitapları parametre konusunda ayrılır. Bazıları oranı λ, bazıları ortalamayı (ya da ölçeği) θ = β = 1/λ olarak yazar. Yazılımlar da aynı şekilde ayrılır: R'nin dexp, pexp ve qexp işlevleri oranı alır; Excel'in EXPON.DIST işlevi de öyle, oysa Python'un scipy.stats.expon işlevi ölçek = 1/λ alır. Bu dağılımda en sık yapılan hata bunları karıştırmaktır — ortalaması 4 dakika olan bir süre, dakikada 0,25 oranıdır, 4 değil. Yukarıdaki eşleşen seçeneği seçin, hesaplayıcı dönüşümü yapar.
Çalışılmış Örnek: Çağrılar Arasındaki Bekleme Süresi
Yardım hattına çağrılar ortalama her 4 dakikada bir gelir; ortalama 4 ve λ = 1/4 = 0,25'tir (dakikada). Bir sonraki çağrının en fazla 6 dakika sürme olasılığı P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, daha uzun sürme olasılığı P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231'dir. Bekleme süresinin 2 ile 6 dakika arasında olma olasılığı e−0,5 − e−1,5 = 0,3834'tür.
Medyan bekleme süresi ln 2 / 0,25 = 2,7726 dakikadır — ortalama olan 4'ten kısa, çünkü dağılım sağa çarpıktır. 90. yüzdelik −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 dakikadır: on çağrıdan dokuzu son çağrıdan itibaren yaklaşık 9,2 dakika içinde gelir.
Unutkanlık özelliği
3 dakika hiç çağrı gelmeden geçtiğini varsayın. Ek olarak en az 6 dakika daha bekleme olasılığı P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231'dir — tam olarak P(X > 6), yani yeni bir başlangıç için geçerli değerdir. Üstel dağılım bu özelliğe sahip tek sürekli dağılımdır ve bu, sabit tehlike oranından kaynaklanır: her an, ne kadar beklemiş olursanız olun, bir sonraki anda olay olasılığı λ'dır.
Üstel dağılım yanlış model olduğunda
Unutkanlık güçlü bir varsayımdır. Bir pil ya da bir insan yaşlanır; bu nedenle artan tehlike oranına sahip bir ömür modeli (Weibull ya da gama) üstel dağılımdan daha iyi uyar. Üstel dağılım ise aşınma olmadan gelen olaylar, ör. rastgele gelişler için uygundur.
Sık sorulan sorular
- λ'yı ortalamadan nasıl bulurum?
- Çarpmaya göre tersini alın: λ = 1/ortalama. Ortalama bekleme 4 dakikaysa λ dakikada 0,25'tir; saatte 3 olay oranı ise ortalama 1/3 saat, yani 20 dakikadır. x'in birimleriyle λ'nın birimlerini tutarlı tutun, aksi halde olasılıklar yanlış çıkar.
- Unutkanlık özelliği ne demektir?
- P(X > s + t | X > s) = P(X > t) demektir: zaten beklemiş olduğunuz süre, geriye kalan bekleme süresinin dağılımını değiştirmez. Ortalama aralığı 10 dakika olan rastgele bir otobüs için, 20 dakika bekledikten sonra beklenen kalan süre yine 10 dakikadır.
- Üstel ve Poisson dağılımları arasında nasıl bir ilişki var?
- İkisi aynı süreci iki yönden anlatır. Poisson sabit bir dönemdeki olay sayısını sayar; üstel dağılım ise olaylar arasındaki süreyi ölçer. Çağrılar saatte 3 gelirse (Poisson, λ = 3), çağrılar arasındaki süre ortalama 20 dakikalık üstel dağılımdır ve 5 dakikadan uzun bekleme olasılığı e−3 × 5/60 = 0,7788'dir.
- P(X > x) değerini üstel dağılım için nasıl hesaplarım?
- Sağkalım fonksiyonu e−λx kullanılır. λ = 0,25 ve x = 6 için e−1,5 = 0,2231'dir. Birden çıkarmaya gerek yoktur; hesaplayıcı kuyruk olasılığını doğrudan hesaplar ve kuyruğun uzak bölgelerinde bile hassasiyetini korur.
- Medyan neden ortalamadan küçüktür?
- Dağılım güçlü biçimde sağa çarpıktır: çok sayıda kısa bekleme ve birkaç çok uzun bekleme ortalamayı yukarı çeker. Medyan ln 2 / λ'dır, yani ortalama 1/λ'nın yaklaşık yüzde 69'udur. Bekleme sürelerinin yarısı, ortalama beklemenin 0,69 katından kısadır.
- Üstel dağılım yaşam süreleri için iyi bir model midir?
- Yalnızca tehlike oranı sabitse uygundur, ör. rastgele şoklar ya da kullanım ömrü içindeki elektronik parçalar için. Aşınma, erken arıza ve yaşlanma tehlike oranını zamanla değiştirir; bu durumda üstel dağılım iki kuyruğu da yanlış tahmin eder. Güvenmeden önce uyumu denetleyin.