Calculadora de distribución exponencial
Introduce la tasa λ o la media de una distribución exponencial y un valor x, y obtén la densidad, las probabilidades acumulada y de supervivencia, la probabilidad de un intervalo, la mediana y cualquier percentil, con el cálculo a la vista, una comprobación de falta de memoria y una curva sombreada. Gratis, sin registro.
Añade P(x ≤ X ≤ este valor) a los resultados.
Muestra que la espera que queda no depende de s.
Busca el x con P(X ≤ x) = p, como 0,9 para el percentil 90.
Resultados
λ = 1/media = 1/4 = 0,25
| Probabilidad | Significado | Valor |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | como máximo 6 (también: menos que 6) | 0,7769 |
| P(X > 6) | más de 6 (también: al menos 6; la función de supervivencia) | 0,2231 |
| f(6) | Densidad en x: f(x) = λe^(−λx). Una densidad, no una probabilidad: puede ser mayor que 1. | 0,055783 |
4
Media (1/λ)
16
Varianza (1/λ²)
4
Desviación estándar (1/λ)
2,7726
Mediana (ln 2 / λ)
0,25
Tasa de riesgo (λ)
Falta de memoria
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. Son iguales: haber esperado ya 3 no cambia nada sobre la espera que queda.
Cuantil
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Así que P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
Curva de densidad
Densidad exponencial con λ = 0,25. El área sombreada bajo la curva es P(X ≤ x).
Cómo usar la calculadora de distribución exponencial
- 1. Indica qué parámetro conoces. Elige la tasa λ (eventos por unidad de tiempo) o la media 1/λ (unidades de tiempo por evento), e introdúcela. La calculadora convierte el otro y muestra la conversión.
- 2. Introduce x. El tiempo, la distancia u otra cantidad que te interese. Añade un extremo superior si quieres la probabilidad de un intervalo.
- 3. Extras opcionales. Introduce un tiempo ya esperado, s, para ver la falta de memoria en acción, o una probabilidad p para encontrar la x que la deja por debajo (p = 0,9 da el percentil 90).
- 4. Lee los resultados. P(X ≤ x), P(X > x), la densidad f(x), la media, la varianza, la mediana y la tasa de riesgo, y una curva con tu probabilidad sombreada.
Qué modela la distribución exponencial
La distribución exponencial describe el tiempo de espera hasta el siguiente evento cuando los eventos ocurren de forma independiente a una tasa media constante: el intervalo entre llamadas a una línea de ayuda, el tiempo hasta que se desintegra un átomo radiactivo, la distancia entre defectos a lo largo de un cable. Es la contrapartida continua de la distribución geométrica, y está ligada a la distribución de Poisson: si el número de eventos en un periodo sigue una Poisson de tasa λ, las esperas entre eventos son exponenciales con la misma λ.
| Magnitud | Fórmula |
|---|---|
| Densidad | f(x) = λe−λx |
| Probabilidad acumulada | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Función de supervivencia | P(X > x) = e−λx |
| Cuantil para la probabilidad p | x = −ln(1 − p) / λ |
| Media y desviación estándar | 1/λ cada una |
| Varianza | 1/λ² |
| Mediana | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
¿Tasa o media? Comprueba cuál usa tu fuente
Los libros de texto se dividen en cuanto al parámetro. Algunos escriben la tasa λ; otros, la media (o escala) θ = β = 1/λ. El software también se divide: dexp, pexp y qexp de R usan la tasa, y también EXPON.DIST de Excel, mientras que scipy.stats.expon de Python usa scale = 1/λ. Confundirlos es el error más común con esta distribución: una media de 4 minutos es una tasa de 0,25 por minuto, no 4. Elige la opción correspondiente de arriba y la calculadora hace la conversión.
Ejemplo desarrollado: tiempo de espera entre llamadas
Las llamadas a una línea de ayuda llegan en promedio cada 4 minutos, así que la media es 4 y λ = 1/4 = 0,25 por minuto. La probabilidad de que la siguiente llamada tarde como máximo 6 minutos es P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, y la de que tarde más es P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231. La probabilidad de que la espera esté entre 2 y 6 minutos es e−0,5 − e−1,5 = 0,3834.
La mediana de la espera es ln 2 / 0,25 = 2,7726 minutos, menor que la media de 4, porque la distribución tiene cola a la derecha. El percentil 90 es −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 minutos: nueve de cada diez llamadas llegan en unos 9,2 minutos desde la anterior.
Falta de memoria
Supongamos que han pasado 3 minutos sin llamadas. La probabilidad de esperar al menos 6 más es P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231: exactamente P(X > 6), la cifra para un comienzo nuevo. La exponencial es la única distribución continua con esta propiedad, y se deduce de la tasa de riesgo constante: en cada instante, la probabilidad de un evento en el siguiente instante es λ, por mucho que hayas esperado.
Cuándo la exponencial es el modelo equivocado
La falta de memoria es un supuesto fuerte. Una batería o una persona envejecen, así que un modelo de vida con tasa de riesgo creciente (una Weibull o una gamma) encaja mejor que una exponencial; la exponencial sirve para eventos que llegan sin desgaste, como las llegadas aleatorias.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo encuentro λ a partir de la media?
- Toma el recíproco: λ = 1/media. Una espera media de 4 minutos da λ = 0,25 por minuto, y una tasa de 3 eventos por hora da una media de 1/3 de hora, es decir, 20 minutos. Mantén las unidades de x coherentes con las de λ, o las probabilidades saldrán mal.
- ¿Qué significa la falta de memoria?
- Significa P(X > s + t | X > s) = P(X > t): el tiempo que ya has esperado no cambia la distribución del tiempo que queda. Si un autobús llega al azar con una separación media de 10 minutos, tras esperar 20 minutos tu espera restante esperada sigue siendo de 10 minutos.
- ¿Cómo se relacionan las distribuciones exponencial y de Poisson?
- Describen el mismo proceso desde dos lados. La de Poisson cuenta los eventos en un periodo fijo; la exponencial mide el tiempo entre eventos. Si las llamadas llegan a 3 por hora (Poisson, λ = 3), el intervalo entre llamadas es exponencial con media 20 minutos, y la probabilidad de esperar más de 5 minutos es e−3 × 5/60 = 0,7788.
- ¿Cómo calculo P(X > x) en una distribución exponencial?
- Usa la función de supervivencia e−λx. Con λ = 0,25 y x = 6, es e−1,5 = 0,2231. No hace falta restar de 1: por eso la calculadora calcula directamente la cola superior y mantiene su precisión muy lejos en la cola.
- ¿Por qué la mediana es menor que la media?
- La distribución tiene una cola a la derecha muy marcada: muchas esperas cortas y unas pocas muy largas elevan la media. La mediana es ln 2 / λ, alrededor del 69 % de la media 1/λ. La mitad de todas las esperas son más cortas que 0,69 de la espera media.
- ¿Es la distribución exponencial un buen modelo para tiempos de vida?
- Solo cuando la tasa de fallo es constante, como ocurre con choques aleatorios o con componentes electrónicos en su vida útil. El desgaste, la mortalidad infantil y el envejecimiento hacen que la tasa de riesgo cambie con el tiempo, y entonces la exponencial juzga mal ambas colas. Comprueba el ajuste antes de confiar en ella.