Exponentialverteilungsrechner
Geben Sie die Rate λ oder den Mittelwert einer Exponentialverteilung und einen Wert x ein, und Sie erhalten die Dichte, die kumulierten und die Überlebenswahrscheinlichkeiten, eine Bereichswahrscheinlichkeit, den Median und jedes Perzentil — mit gezeigtem Rechenweg, einer Prüfung der Gedächtnislosigkeit und einer schraffierten Kurve. Kostenlos, ohne Anmeldung.
Fügt P(x ≤ X ≤ diesem Wert) zu den Ergebnissen hinzu.
Zeigt, dass die noch ausstehende Wartezeit nicht von s abhängt.
Findet das x mit P(X ≤ x) = p, etwa 0,9 für das 90. Perzentil.
Ergebnisse
λ = 1/Mittelwert = 1/4 = 0,25
| Wahrscheinlichkeit | Bedeutung | Wert |
|---|---|---|
| P(X ≤ 6) | höchstens 6 (auch: weniger als 6) | 0,7769 |
| P(X > 6) | mehr als 6 (auch: mindestens 6; die Überlebensfunktion) | 0,2231 |
| f(6) | Dichte bei x: f(x) = λe^(−λx). Eine Dichte, keine Wahrscheinlichkeit: Sie kann größer als 1 sein. | 0,055783 |
4
Mittelwert (1/λ)
16
Varianz (1/λ²)
4
Standardabweichung (1/λ)
2,7726
Median (ln 2 / λ)
0,25
Ausfallrate (λ)
Gedächtnislosigkeit
P(X > s + x | X > s) = P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231
P(X > x) = P(X > 6) = 0,2231. Beide sind gleich: Die bereits verstrichene Zeit von 3 ändert nichts an der noch ausstehenden Wartezeit.
Quantil
x = −ln(1 − p) / λ = −ln(1 − 0,9) / 0,25 = 9,2103. Also ist P(X ≤ 9,2103) = 0,9.
Dichtekurve
Exponentielle Dichte mit λ = 0,25. Die schraffierte Fläche unter der Kurve beträgt P(X ≤ x).
So verwenden Sie den Exponentialverteilungsrechner
- 1. Sagen Sie, welchen Parameter Sie kennen. Wählen Sie die Rate λ (Ereignisse pro Zeiteinheit) oder den Mittelwert 1/λ (Zeiteinheiten pro Ereignis) und geben Sie ihn ein. Der Rechner rechnet den anderen um und zeigt die Umrechnung.
- 2. Geben Sie x ein. Die Zeit, Strecke oder andere Menge, nach der Sie fragen. Fügen Sie eine obere Grenze hinzu, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit eines Bereichs möchten.
- 3. Optionale Zusätze. Geben Sie eine bereits verstrichene Wartezeit s ein, um die Gedächtnislosigkeit wirken zu sehen, oder eine Wahrscheinlichkeit p, um das x zu finden, das sie abschneidet (p = 0,9 ergibt das 90. Perzentil).
- 4. Lesen Sie die Ergebnisse ab. P(X ≤ x), P(X > x), die Dichte f(x), den Mittelwert, die Varianz, den Median und die Ausfallrate sowie eine Kurve mit Ihrer schraffierten Wahrscheinlichkeit.
Was die Exponentialverteilung modelliert
Die Exponentialverteilung beschreibt die Wartezeit bis zum nächsten Ereignis, wenn Ereignisse unabhängig mit einer konstanten mittleren Rate auftreten: der Abstand zwischen Anrufen bei einer Hotline, die Zeit bis zum Zerfall eines radioaktiven Atoms, der Abstand zwischen Fehlstellen entlang eines Kabels. Sie ist das stetige Gegenstück zur geometrischen Verteilung und hängt mit der Poisson-Verteilung zusammen: Ist die Anzahl der Ereignisse in einer Periode Poisson-verteilt mit Rate λ, sind die Wartezeiten zwischen den Ereignissen exponentialverteilt mit demselben λ.
| Größe | Formel |
|---|---|
| Dichte | f(x) = λe−λx |
| Verteilungsfunktion | P(X ≤ x) = 1 − e−λx |
| Überlebensfunktion | P(X > x) = e−λx |
| Quantil für die Wahrscheinlichkeit p | x = −ln(1 − p) / λ |
| Mittelwert und Standardabweichung | je 1/λ |
| Varianz | 1/λ² |
| Median | ln 2 / λ ≈ 0,6931 / λ |
Rate oder Mittelwert? Prüfen Sie, welche Ihre Quelle verwendet
Lehrbücher unterscheiden sich beim Parameter. Manche schreiben die Rate λ, andere den Mittelwert (oder Skalenparameter) θ = β = 1/λ. Auch Software unterscheidet sich: dexp, pexp und qexp in R verwenden die Rate, ebenso EXPON.VERT in Excel, während scipy.stats.expon in Python scale = 1/λ verwendet. Diese Verwechslung ist der häufigste Fehler bei dieser Verteilung — ein Mittelwert von 4 Minuten ist eine Rate von 0,25 pro Minute, nicht 4. Wählen Sie oben die passende Option, und der Rechner führt die Umrechnung durch.
Beispiel: Wartezeit zwischen Anrufen
Anrufe bei einer Hotline kommen im Durchschnitt alle 4 Minuten, also ist der Mittelwert 4 und λ = 1/4 = 0,25 pro Minute. Die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Anruf höchstens 6 Minuten dauert, ist P(X ≤ 6) = 1 − e−1,5 = 0,7769, und die Wahrscheinlichkeit, dass er länger dauert, ist P(X > 6) = e−1,5 = 0,2231. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit zwischen 2 und 6 Minuten liegt, ist e−0,5 − e−1,5 = 0,3834.
Die mediane Wartezeit ist ln 2 / 0,25 = 2,7726 Minuten — kürzer als der Mittelwert von 4, weil die Verteilung rechtsschief ist. Das 90. Perzentil ist −ln(0,1) / 0,25 = 9,2103 Minuten: Neun von zehn Anrufen kommen innerhalb von etwa 9,2 Minuten nach dem letzten.
Gedächtnislosigkeit
Angenommen, 3 Minuten sind ohne Anruf vergangen. Die Wahrscheinlichkeit, noch mindestens 6 Minuten zu warten, ist P(X > 9) / P(X > 3) = 0,1054 / 0,4724 = 0,2231 — genau P(X > 6), der Wert für einen Neustart. Die Exponentialverteilung ist die einzige stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft, und sie folgt aus der konstanten Ausfallrate: In jedem Augenblick ist die Chance auf ein Ereignis im nächsten Moment λ, egal wie lange man schon gewartet hat.
Wann die Exponentialverteilung das falsche Modell ist
Gedächtnislosigkeit ist eine starke Annahme. Eine Batterie oder ein Mensch altert, daher passt ein Lebensdauermodell mit steigender Ausfallrate (Weibull oder Gamma) besser als eine Exponentialverteilung. Die Exponentialverteilung passt zu Ereignissen, die ohne Verschleiß eintreten, etwa zufälligen Ankünften.
Häufig gestellte Fragen
- Wie finde ich λ aus dem Mittelwert?
- Bilden Sie den Kehrwert: λ = 1/Mittelwert. Eine mittlere Wartezeit von 4 Minuten ergibt λ = 0,25 pro Minute, und eine Rate von 3 Ereignissen pro Stunde ergibt einen Mittelwert von 1/3 Stunde, also 20 Minuten. Halten Sie die Einheiten von x und λ konsistent, sonst stimmen die Wahrscheinlichkeiten nicht.
- Was bedeutet die Gedächtnislosigkeit?
- Sie bedeutet P(X > s + t | X > s) = P(X > t): Die bereits verstrichene Wartezeit ändert nichts an der Verteilung der noch ausstehenden Zeit. Kommt ein Bus zufällig mit einem mittleren Abstand von 10 Minuten, beträgt die erwartete Restwartezeit nach 20 Minuten Wartezeit immer noch 10 Minuten.
- Wie hängen Exponential- und Poisson-Verteilung zusammen?
- Sie beschreiben denselben Vorgang von zwei Seiten. Die Poisson-Verteilung zählt Ereignisse in einem festen Zeitraum; die Exponentialverteilung misst die Zeit zwischen Ereignissen. Kommen Anrufe mit 3 pro Stunde (Poisson, λ = 3), ist der Abstand zwischen Anrufen exponentialverteilt mit einem Mittelwert von 20 Minuten, und die Wahrscheinlichkeit, länger als 5 Minuten zu warten, ist e−3 × 5/60 = 0,7788.
- Wie berechne ich P(X > x) für eine Exponentialverteilung?
- Verwenden Sie die Überlebensfunktion e−λx. Mit λ = 0,25 und x = 6 ergibt das e−1,5 = 0,2231. Man muss nicht von 1 subtrahieren — deshalb berechnet der Rechner den oberen Bereich direkt und behält seine Genauigkeit weit in der Randzone.
- Warum ist der Median kleiner als der Mittelwert?
- Die Verteilung ist stark rechtsschief: Viele kurze Wartezeiten und wenige sehr lange ziehen den Mittelwert nach oben. Der Median ist ln 2 / λ, etwa 69 % des Mittelwerts 1/λ. Die Hälfte aller Wartezeiten ist kürzer als 0,69 der durchschnittlichen Wartezeit.
- Ist die Exponentialverteilung ein gutes Modell für Lebensdauern?
- Nur wenn die Ausfallrate konstant ist, etwa bei zufälligen Schocks oder elektronischen Bauteilen in ihrer Nutzungsphase. Verschleiß, Frühausfälle und Alterung lassen die Ausfallrate sich mit der Zeit ändern, und die Exponentialverteilung schätzt dann beide Enden falsch ein. Prüfen Sie die Passung, bevor Sie sich darauf verlassen.