Simulator für den zentralen Grenzwertsatz

Ergebnisse

1.000 Stichproben, jeweils der Mittelwert von 30 Ziehungen aus dieser Grundgesamtheit, insgesamt 30.000 Zufallsziehungen. Startwert: 2024.

Bei n = 30 beträgt die vorhergesagte Schiefe der Stichprobenmittel 0,365: weiterhin deutlich schief, daher ist die Normalkurve nur eine grobe Näherung. Ein größeres n bringt sie näher heran.

Dies ist eine Veranschaulichung, kein Beweis. Bei einer endlichen Zahl von Stichproben wackeln die Balken um einige Prozent um die Kurve, und ein anderer Startwert verschiebt sie erneut.

So verwenden Sie den Simulator für den zentralen Grenzwertsatz

1. 1. Wählen Sie eine Grundgesamtheit. Beginnen Sie mit der rechtsschiefen und probieren Sie dann die stark schiefe, die bimodale und die Ja/Nein-Grundgesamtheit aus, deren Formen überhaupt nicht glockenförmig sind.
2. 2. Legen Sie den Stichprobenumfang n fest. Jede Stichprobe besteht aus n Zufallsziehungen, die zu einer Zahl gemittelt werden. Mit den Schnelltasten setzen Sie n auf 1, 5, 30 und 100 und sehen zu, wie sich das Histogramm verändert.
3. 3. Legen Sie die Anzahl der Stichproben fest. Jede Stichprobe liefert einen Mittelwert zum Histogramm. Mehr Stichproben machen das Bild glatter, ändern aber nicht, wie normal die Stichprobenverteilung tatsächlich ist. Das bewirkt nur n.
4. 4. Animieren Sie oder ändern Sie den Startwert. Die Animation fügt die Stichproben in kleinen Gruppen hinzu, und zwar nur, wenn Sie die Schaltfläche drücken. Derselbe Startwert erzeugt immer dasselbe Bild. „Neuer zufälliger Startwert“ wählt einen anderen.

Was der zentrale Grenzwertsatz besagt

Ziehen Sie n unabhängige Werte aus einer beliebigen Grundgesamtheit mit endlichem Mittelwert μ und endlicher Standardabweichung σ und mitteln Sie sie. Mit wachsendem n nähert sich die Verteilung dieses Mittels einer Normalverteilung mit dem Mittelwert μ und der Standardabweichung σ/√n, dem Standardfehler, unabhängig von der Form der Grundgesamtheit. Die Grundgesamtheit wird nicht normal. Normal wird die Verteilung der Stichprobenmittel.

Wie schnell das geschieht, hängt von der Grundgesamtheit ab. Eine symmetrische Grundgesamtheit erreicht dies schnell, eine schiefe langsam. Die Schiefe eines Stichprobenmittels ist die Schiefe der Grundgesamtheit geteilt durch √n. Die Tabelle des Simulators kann sie daher vorab vorhersagen:

Die Schiefe allein erzählt nicht die ganze Geschichte. Die bimodale Grundgesamtheit hat die Schiefe 0 und braucht trotzdem mehrere Ziehungen je Stichprobe, bevor ihre beiden Gipfel verschmelzen. Die verbreitete Regel „n von 30 oder mehr reicht“ passt zu mäßig schiefen Daten. Die lognormale Grundgesamtheit hat bei n = 100 noch eine deutliche Schiefe. Der Simulator markiert eine Anpassung als gut, sobald die vorhergesagte Schiefe unter 0,25 fällt. Das ist eine grobe Richtschnur, kein Satz.

Beispiel: schiefe Grundgesamtheit, n = 30

Mit den Standardeinstellungen (die exponentielle Grundgesamtheit mit μ = 1 und σ = 1, n = 30, 1.000 Stichproben, Startwert 2024) sagt der Satz einen Standardfehler von 1/√30 = 0,1826 und eine Schiefe von 0,3651 voraus. Die 1.000 Stichprobenmittel dieses Laufs haben einen Mittelwert von 1,008, eine SD von 0,1835 und eine Schiefe von 0,3448. Davon liegen 95,1 % innerhalb von 1,96 Standardfehlern um 1, gegenüber den 95 %, die eine Normalkurve liefern würde.

Die Zahlen liegen nah an der Theorie, aber nicht genau auf ihr, und das sollten sie auch nicht: 1.000 Stichproben sind ein endlicher Lauf. Der Lauf hat insgesamt 30.000 Zufallsziehungen gemacht, und ein anderer Startwert verschiebt jeden Balken ein wenig. Auch die Restschiefe ist real. Bei n = 30 sind die Mittelwerte einer exponentiellen Grundgesamtheit noch leicht rechtsschief, weshalb der Simulator die Normalkurve hier nur als grobe Näherung bezeichnet.

Häufig gestellte Fragen

Was besagt der zentrale Grenzwertsatz in einfachen Worten?

Mittelwerte vieler unabhängiger Beobachtungen sind näherungsweise normalverteilt, auch wenn die einzelnen Beobachtungen es nicht sind. Der Mittelwert von n Werten aus einer Grundgesamtheit mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ hat den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ/√n. Seine Verteilung sieht mit wachsendem n mehr und mehr wie eine Glockenkurve aus.

Wie groß muss der Stichprobenumfang sein?

Eine feste Zahl gibt es nicht. Bei ungefähr symmetrischen Grundgesamtheiten reichen n von 10 bis 15. Bei mäßig schiefen gilt meist n von 30 als Regel. Bei stark schiefen (wie der lognormalen hier) können n von 100 oder mehr nötig sein. Führen Sie den Simulator mit einer Grundgesamtheit wie Ihrer aus und sehen Sie sich das Histogramm an.

Macht der Satz die Grundgesamtheit normal?

Nein. Die Grundgesamtheit behält ihre Form. Normal wird die Verteilung des Stichprobenmittels. Deshalb funktionieren t-Tests und Konfidenzintervalle für einen Mittelwert bei mäßig nicht normalen Daten recht gut, sobald n nicht klein ist.

Warum ist meine simulierte Standardabweichung nicht genau σ/√n?

Weil der Lauf eine endliche Stichprobe von Stichprobenmitteln ist. Bei 1.000 Stichproben liegt die simulierte SD typischerweise innerhalb weniger Prozent des theoretischen Standardfehlers. Mehr Stichproben machen den Wert genauer. Ein anderer Startwert ergibt jedes Mal einen etwas anderen Wert.

Gilt der zentrale Grenzwertsatz immer?

Nicht, wenn die Grundgesamtheit keine endliche Varianz hat, wie die Cauchy-Verteilung, deren Stichprobenmittel genauso variabel ist wie eine einzelne Beobachtung. Er setzt außerdem unabhängige Ziehungen voraus. Korrelierte Daten, etwa wiederholte Messungen an einer Person, konvergieren langsamer oder gar nicht.

Was bewirkt der Startwert, und ist der Zufall echt?

Die Ziehungen sind Pseudozufallszahlen, die aus Ihrem Startwert erzeugt werden. Derselbe Startwert, dieselbe Grundgesamtheit, dasselbe n und dieselbe Anzahl von Stichproben ergeben daher immer exakt dasselbe Bild. Das ist nützlich, um ein Beispiel zu teilen. „Neuer zufälliger Startwert“ wählt einen Startwert über den sicheren Zufallsgenerator Ihres Browsers. Alles läuft im Browser, nichts wird hochgeladen.