Симулятор центральной предельной теоремы

Результаты

1 000 выборок, каждая — среднее 30 извлечений из этой популяции, всего 30 000 случайных извлечений. Seed: 2024.

При n = 30 предсказанная скошенность выборочных средних равна 0,365: они всё ещё заметно скошены, поэтому нормальная кривая — лишь грубое приближение. Большее n приблизит её.

Это иллюстрация, а не доказательство. При конечном числе выборок столбцы колеблются на несколько процентов вокруг кривой, а другой seed сдвигает их снова.

Как пользоваться симулятором центральной предельной теоремы

1. 1. Выберите популяцию. Начните с правосторонне скошенной, затем попробуйте очень скошенную, бимодальную и «да/нет» популяции, форма которых совсем не похожа на колокол.
2. 2. Задайте объём выборки n. Каждая выборка — это n случайных значений, усреднённых в одно число. Кнопки быстрого выбора переключают n между 1, 5, 30 и 100, и вы видите, как меняется гистограмма.
3. 3. Задайте число выборок. Каждая выборка даёт в гистограмму одно среднее. Больше выборок делает картину гладче, но не меняет того, насколько нормальным на самом деле является выборочное распределение: это определяет только n.
4. 4. Анимируйте или смените seed. Анимация добавляет выборки по нескольку за раз, только когда вы нажимаете кнопку. Один и тот же seed всегда воспроизводит одну и ту же картину; «Новый случайный seed» выбирает другой.

Что говорит центральная предельная теорема

Возьмите n независимых значений из любой популяции с конечным средним μ и конечным стандартным отклонением σ и усредните их. По мере роста n распределение этого среднего приближается к нормальному со средним μ и стандартным отклонением σ/√n — стандартной ошибкой, какой бы ни была форма популяции. Популяция не становится нормальной; нормальным становится распределение выборочных средних.

Насколько быстро это происходит, зависит от популяции. Симметричная популяция приближается быстро, скошенная — медленно. Скошенность выборочного среднего равна скошенности популяции, делённой на √n, поэтому таблица симулятора может предсказать её ещё до запуска:

Скошенность — не вся история: бимодальная популяция имеет скошенность 0, но всё равно требует нескольких извлечений на выборку, прежде чем её два горба сольются в один. Распространённое правило «n от 30 достаточно» подходит для умеренно скошенных данных; логнормальная популяция при n = 100 всё ещё заметно скошена. Симулятор отмечает совпадение как близкое, когда предсказанная скошенность опускается ниже 0,25 — это грубый ориентир, а не теорема.

Пример: скошенная популяция, n = 30

При настройках по умолчанию — экспоненциальная популяция (μ = 1, σ = 1), n = 30, 1000 выборок, seed 2024 — теорема предсказывает стандартную ошибку 1/√30 = 0,1826 и скошенность 0,3651. У 1000 выборочных средних этого запуска среднее равно 1,008, стандартное отклонение 0,1835, скошенность 0,3448, а 95,1% из них лежат в пределах 1,96 стандартной ошибки от 1 — против 95%, которые дала бы нормальная кривая.

Числа близки к теории, но не совпадают с ней, и так и должно быть: 1000 выборок — это конечный запуск. Всего запуск сделал 30 000 случайных извлечений, а другой seed немного сдвигает каждый столбец. Остаточная скошенность тоже реальна: при n = 30 средние экспоненциальной популяции всё ещё слегка скошены вправо, поэтому симулятор называет здесь нормальную кривую грубым приближением.

Часто задаваемые вопросы

Что говорит центральная предельная теорема простыми словами?

Средние многих независимых наблюдений приблизительно нормально распределены, даже если сами наблюдения не нормальны. Среднее n значений из популяции со средним μ и стандартным отклонением σ имеет среднее μ и стандартное отклонение σ/√n, а с ростом n его распределение всё больше напоминает колокол.

Каким должен быть объём выборки?

Единого числа нет. Для примерно симметричных популяций хватит n от 10 до 15; для умеренно скошенных обычно берут n = 30; для сильно скошенных (как логнормальная здесь) может понадобиться n = 100 и больше. Запустите симулятор на популяции, похожей на вашу, и посмотрите на гистограмму.

Делает ли теорема популяцию нормальной?

Нет. Популяция сохраняет свою форму. К нормальности приближается распределение выборочного среднего, поэтому t-тесты и доверительные интервалы для среднего хорошо работают на умеренно ненормальных данных, когда n не мало.

Почему моё смоделированное стандартное отклонение не равно точно σ/√n?

Потому что запуск — это конечная выборка выборочных средних. При 1000 выборках смоделированное стандартное отклонение обычно попадает в пределы нескольких процентов от теоретической стандартной ошибки; чтобы уточнить его, увеличьте число выборок. При другом seed значение будет немного другим.

Всегда ли работает центральная предельная теорема?

Нет, если у популяции нет конечной дисперсии, как у распределения Коши, выборочное среднее которого так же изменчиво, как одно наблюдение. Теорема также предполагает независимые извлечения; коррелированные данные, например повторные измерения одного человека, сходятся медленнее или не сходятся вовсе.

Что делает seed и настоящая ли здесь случайность?

Извлечения — псевдослучайные числа, порождённые вашим seed, поэтому одинаковые seed, популяция, n и число выборок всегда дают одну и ту же картину — это удобно для того, чтобы показать пример другим. «Новый случайный seed» выбирает seed с помощью безопасного генератора случайных чисел вашего браузера. Всё работает в браузере; ничего не загружается.