Калькулятор доверительного интервала

Результаты

Мы на 95% уверены, что среднее генеральной совокупности лежит между 60,8373 и 68,7627. Эти 95% описывают метод, а не этот конкретный интервал: если взять много выборок и построить интервал по каждой, примерно у 95% таких интервалов окажется истинное среднее. Конкретный интервал либо содержит его, либо нет.

Как пользоваться калькулятором доверительного интервала

1. 1. Выберите, что оцениваете. Одно среднее, одну долю или разность средних двух независимых групп.
2. 2. Введите данные. Для среднего укажите среднее, стандартное отклонение и размер выборки — или вставьте исходные данные. Для доли введите число успехов и размер выборки. Для двух средних введите сводные статистики каждой группы.
3. 3. Задайте уровень доверия. Обычно берут 95%, но подойдёт любой уровень от 0 до 100: 90, 99 или 97,5.
4. 4. Прочитайте интервал. Вы получите границы, погрешность, стандартную ошибку, критическое значение, расчёт, интерпретацию простым языком и интервал в формате APA для копирования.

Формулы

У каждого интервала здесь одна и та же форма — оценка ± критическое значение × стандартная ошибка, — и различаются они только стандартной ошибкой и распределением, из которого берётся критическое значение.

Используйте t, когда стандартное отклонение получено из вашей выборки, — а это почти всегда. Интервал z нужен в редком случае, когда стандартное отклонение генеральной совокупности действительно известно, например для стандартизированного теста с опубликованным σ. Для долей интервал Уилсона — надёжный выбор по умолчанию: интервал Вальда заметно занижает охват, когда n мало или p̂ близко к 0 или 1, а Клоппера–Пирсона гарантирует охват не меньше заявленного, поэтому он получается широким.

Пример и интерпретация

Двадцать пять студентов получили среднее 64,8 при стандартном отклонении 9,6. Стандартная ошибка равна 9,6 / √25 = 1,92, критическое значение для 95%-ного доверия при 24 степенях свободы — t* = 2,0639, а погрешность — 2,0639 × 1,92 = 3,9627. Интервал идёт от 60,8373 до 68,7627 — в формате APA 95% ДИ [60,84; 68,76].

Правильная интерпретация такова: мы на 95% уверены, что среднее генеральной совокупности лежит между 60,84 и 68,76. 95% относится к методу, а не к этому интервалу: если повторить исследование много раз, примерно 95% интервалов, построенных таким образом, будут содержать истинное среднее, а каждый отдельный интервал либо содержит его, либо нет. «Существует 95%-ная вероятность, что истинное среднее лежит в этом интервале», — самое частое неверное прочтение.

Для доли 42 успеха из 120 дают p̂ = 0,35 и 95%-ный интервал Уилсона от 0,2705 до 0,4388 (Клоппера–Пирсона от 0,2652 до 0,4424; Вальда от 0,2647 до 0,4353). Для двух групп — среднее 78,2 (стандартное отклонение 10,5, n = 30) против 72,6 (стандартное отклонение 12,8, n = 28) — разность 5,6 имеет 95%-ный интервал Уэлча от −0,59 до 11,79 при 52,34 степенях свободы. Он включает 0, поэтому разность не значима при α = 0,05, хотя точечная оценка выглядит внушительно.

Типичные ошибки

• Использование z с выборочным стандартным отклонением. При n = 25 z* = 1,96 вместо t* = 2,064 делает интервал примерно на 5% уже, и разрыв растёт по мере уменьшения n.
• Чтение пересекающихся интервалов как «различий нет». Два 95%-ных интервала могут пересекаться, а разность между группами всё равно значима. Постройте интервал для разности.
• Сообщение интервала Вальда для малых выборок. При 2 успехах из 25 испытаний нижняя граница Вальда уходит ниже нуля; интервал Уилсона, от 0,0222 до 0,2497, остаётся в пределах от 0 до 1.
• Предположение, что большая уверенность всегда лучше. Более высокая уверенность требует более широкого интервала: те же баллы дают от 59,43 до 70,17 при 99%. Только большая выборка делает интервал одновременно уверенным и узким.

Часто задаваемые вопросы

Что такое доверительный интервал?

Диапазон правдоподобных значений параметра генеральной совокупности — среднего, доли, разности, — вычисленный по выборке. Его строят так, что при многократных повторных выборках заданная доля таких интервалов (уровень доверия, часто 95%) содержала бы истинное значение. Ширина интервала показывает, насколько точно выборка определяет параметр.

Как рассчитать 95%-ный доверительный интервал для среднего?

Прибавьте и вычтите критическое значение, умноженное на стандартную ошибку: x̄ ± t* × s / √n, где t* — 97,5-й процентиль t-распределения с n − 1 степенями свободы (2,064 при n = 25). Калькулятор выполняет каждый шаг и показывает расчёт, а также может вычислить среднее и стандартное отклонение по исходным данным.

В чём разница между доверительным интервалом и погрешностью?

Погрешность — это половина ширины интервала: критическое значение × стандартная ошибка. Интервал — оценка плюс и минус эта погрешность. 42 успеха из 120 — это 35% с 95%-ной погрешностью Вальда 8,5 процентного пункта, поэтому интервал идёт примерно от 26,5% до 43,5%.

Какой интервал для доли выбрать: Уилсона или Клоппера–Пирсона?

Уилсона — для большинства целей: его охват остаётся близким к заявленному даже на малых выборках и при крайних долях, и его чаще всего рекомендуют статистики вместо интервала Вальда. Клоппера–Пирсона гарантирует охват не меньше заявленного, поэтому он шире; используйте его, когда протокол или регулятор требует точного интервала.

Почему 99%-ный доверительный интервал шире 95%-ного?

Чтобы чаще захватывать истинное значение, интервал должен охватывать большую область. При 24 степенях свободы критическое t растёт с 2,064 до 2,797, поэтому погрешность увеличивается примерно на 36%. Единственный способ быть увереннее и при этом так же точным — большая выборка.

Можно ли получить доверительный интервал для парных данных?

Да. Вычтите каждую пару (например, после − до), вставьте разности в поле исходных данных для среднего, и результатом станет доверительный интервал для среднего разности. Вариант для двух средних предполагает две независимые группы, поэтому не используйте его для парных измерений.