حاسبة فترة الثقة
احصل على فترة ثقة لمتوسط (t أو z)، أو لنسبة (Wald وWilson score وClopper–Pearson الدقيقة)، أو للفرق بين متوسطين (Welch) بأي مستوى ثقة — مع هامش الخطأ والحساب التفصيلي وتفسير صحيح من جملة واحدة. مجاني ودون تسجيل.
النتائج
60.8373 – 68.7627
فترة ثقة 95%
64.8
المتوسط الحسابي للعينة (x̄)
± 3.9627
هامش الخطأ
1.92
الخطأ المعياري
2.0639
t* بدرجات حرية 24
كيف حُسبت هذه القيمة
SE = s / √n = 9.6 / √25 = 1.92
x̄ ± t* × SE = 64.8 ± 2.0639 × 1.92 = 64.8 ± 3.9627
نحن واثقون بنسبة 95% أن متوسط المجتمع يقع بين 60.8373 و68.7627. تصف النسبة 95% الطريقة، لا هذه الفترة وحدها: فلو سحبنا عينات كثيرة وبنينا منها فترات، لاحتوت نحو 95% من تلك الفترات على المتوسط الحقيقي. أما هذه الفترة بعينها فإما أن تحويه وإما لا تحويه.
بنمط APA
95% CI [60.84, 68.76]
كيفية استخدام حاسبة فترة الثقة
- 1. اختر ما تقدّره. متوسطًا واحدًا، أو نسبة واحدة، أو الفرق بين متوسطي مجموعتين مستقلتين.
- 2. أدخل أرقامك. للمتوسط، اكتب المتوسط والانحراف المعياري وحجم العينة — أو الصق البيانات الخام. وللنسبة، أدخل عدد النجاحات وحجم العينة. وللمتوسطين، أدخل الإحصاءات الموجزة لكل مجموعة.
- 3. حدّد مستوى الثقة. المعتاد 95%، لكن أي مستوى بين 0 و100 يصلح: 90 أو 99 أو 97.5.
- 4. اقرأ الفترة. تحصل على الحدود، وهامش الخطأ، والخطأ المعياري، والقيمة الحرجة، والحساب، وتفسيرًا بلغة بسيطة، والفترة بصيغة APA لتنسخها.
الصيغ
لكل فترة هنا الشكل نفسه — التقدير ± القيمة الحرجة × الخطأ المعياري — وتختلف فقط في الخطأ المعياري وفي التوزيع الذي تأتي منه القيمة الحرجة.
| الفترة | الصيغة | القيمة الحرجة من |
|---|---|---|
| متوسط، σ مجهولة | x̄ ± t* × s / √n | t بدرجات حرية n − 1 |
| متوسط، σ معلومة | x̄ ± z* × σ / √n | التوزيع الطبيعي المعياري |
| نسبة (Wald) | p̂ ± z* × √(p̂(1 − p̂) / n) | التوزيع الطبيعي المعياري |
| نسبة (Wilson score) | (p̂ + z²/2n ± z √(p̂(1 − p̂)/n + z²/4n²)) / (1 + z²/n) | التوزيع الطبيعي المعياري |
| نسبة (Clopper–Pearson) | كميات بيتا B(α/2; x, n − x + 1) وB(1 − α/2; x + 1, n − x) | توزيع ذي الحدين الدقيق |
| فرق متوسطين (Welch) | (x̄₁ − x̄₂) ± t* × √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) | t بدرجات حرية Welch–Satterthwaite |
استخدم t كلما كان الانحراف المعياري مستمدًا من عينتك، وهذا هو الغالب. أما فترة z فللحالة النادرة التي يكون فيها الانحراف المعياري للمجتمع معلومًا فعلًا، كاختبار موحّد بانحراف معياري منشور. وفي النسب، فترة Wilson score هي الخيار الآمن: فترة Wald تقلّل التغطية بشدة حين تكون n صغيرة أو حين تقترب p̂ من 0 أو 1، وClopper–Pearson تضمن تغطية لا تقل عن المعلنة، لذا تكون أعرض.
مثال تطبيقي وتفسيره
خمسة وعشرون طالبًا حصلوا على متوسط 64.8 بانحراف معياري 9.6. الخطأ المعياري هو 9.6 / √25 = 1.92، والقيمة الحرجة لثقة 95% بدرجات حرية 24 هي t* = 2.0639، وهامش الخطأ هو 2.0639 × 1.92 = 3.9627. فتمتد الفترة من 60.8373 إلى 68.7627 — وبصيغة APA: 95% CI [60.84, 68.76].
التفسير الصحيح هو: نحن واثقون بنسبة 95% أن متوسط المجتمع يقع بين 60.84 و68.76. والـ95% تخص الطريقة لا هذه الفترة وحدها: فلو كرّرت الدراسة مرات كثيرة، لاحتوت نحو 95% من الفترات المبنية بهذه الطريقة على المتوسط الحقيقي، وأي فترة منفردة إما أن تحويه وإما لا تحويه. وعبارة «هناك احتمال 95% أن يقع المتوسط الحقيقي في هذه الفترة» هي أكثر سوء فهم شيوعًا.
أما النسبة، فـ 42 نجاحًا من 120 تعطي p̂ = 0.35 وفترة Wilson بثقة 95% من 0.2705 إلى 0.4388 (وClopper–Pearson من 0.2652 إلى 0.4424؛ وWald من 0.2647 إلى 0.4353). ولمجموعتين — متوسط 78.2 (انحراف 10.5، n = 30) مقابل 72.6 (انحراف 12.8، n = 28) — فإن الفرق 5.6 له فترة Welch بثقة 95% من −0.59 إلى 11.79 بدرجات حرية 52.34. وهي تشمل 0، لذا فالفرق غير دال إحصائيًا عند α = .05، رغم أن التقدير النقطي يبدو كبيرًا.
أخطاء شائعة
- استخدام z مع انحراف معياري من العينة. مع n = 25، فإن استخدام z* = 1.96 بدلًا من t* = 2.064 يجعل الفترة أضيق بنحو 5%، ويزداد الفارق كلما صغرت n.
- قراءة الفترات المتداخلة على أنها «لا فرق». قد تتداخل فترتا ثقة 95% بينما يظل الفرق بين المجموعتين دالًا. احسب الفترة للفرق نفسه.
- تقديم فترة Wald لعينات صغيرة. مع نجاحين في 25 محاولة يقع الحد الأدنى لفترة Wald تحت الصفر، أما فترة Wilson، من 0.0222 إلى 0.2497، فتبقى ضمن 0 و1.
- افتراض أن الثقة الأعلى أفضل دائمًا. الثقة الأعلى تعطي فترة أعرض: نفس درجات الامتحان تعطي من 59.43 إلى 70.17 عند 99%. ولا تجعل الفترة واثقة وضيقة معًا إلا عينة أكبر.
الأسئلة الشائعة
- ما فترة الثقة؟
- نطاق من القيم المعقولة لمعلمة في المجتمع — متوسط أو نسبة أو فرق — محسوب من عينة. وهي مبنية بحيث إنه عبر عينات متكررة، تحتوي نسبة مُعلنة من هذه الفترات (مستوى الثقة، وغالبًا 95%) القيمةَ الحقيقية. وعرضها يدل على مدى دقة العينة في تحديد المعلمة.
- كيف أحسب فترة ثقة 95% لمتوسط؟
- أضف القيمة الحرجة مضروبة في الخطأ المعياري وأنقص منها: x̄ ± t* × s / √n، حيث t* هي النسبة المئوية 97.5 لتوزيع t بدرجات حرية n − 1 (2.064 لـ n = 25). تقوم الحاسبة بكل خطوة وتعرض الحساب، أو تحسب المتوسط والانحراف المعياري لك من البيانات الخام.
- ما الفرق بين فترة الثقة وهامش الخطأ؟
- هامش الخطأ هو نصف عرض الفترة: القيمة الحرجة × الخطأ المعياري. والفترة هي التقدير زائدًا ناقصًا ذلك الهامش. فـ 42 نجاحًا من 120 تعني 35% بهامش Wald بثقة 95% قدره 8.5 نقطة مئوية، فتمتد الفترة من نحو 26.5% إلى 43.5%.
- هل أستخدم فترة Wilson أم Clopper–Pearson للنسبة؟
- Wilson في معظم الأحوال: تغطيتها تبقى قريبة من المستوى المعلن حتى في العينات الصغيرة والنسب المتطرفة، وهي الفترة التي يوصي بها معظم الإحصائيين اليوم بدلًا من Wald. أما Clopper–Pearson فتضمن تغطية لا تقل عن المعلنة، لذا تكون أعرض؛ استخدمها حين يطلب بروتوكول أو جهة تنظيمية فترة دقيقة.
- لماذا تكون فترة 99% أعرض من فترة 95%؟
- لكي تحتوي القيمة الحقيقية في أغلب الأحيان، يجب أن تغطي الفترة مساحة أكبر. وبدرجات حرية 24 ترتفع قيمة t الحرجة من 2.064 إلى 2.797، فيزداد هامش الخطأ بنحو 36%. والطريقة الوحيدة لتكون أكثر ثقة وبالدقة نفسها هي عينة أكبر.
- هل يمكنني الحصول على فترة ثقة لبيانات مقترنة؟
- نعم. اطرح كل زوج (بعد − قبل مثلًا)، والصق الفروق في خيار البيانات الخام للمتوسط، فتكون النتيجة فترة الثقة لمتوسط الفرق. أما خيار المتوسطين فيفترض مجموعتين مستقلتين، فلا تستخدمه مع القياسات المقترنة.