Konfidenzintervall-Rechner

Ergebnisse

Wir sind zu 95 % sicher, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit zwischen 60,8373 und 68,7627 liegt. Das 95 % beschreibt das Verfahren, nicht dieses eine Intervall: Würde man viele Stichproben ziehen und aus jeder ein Intervall bilden, enthielte etwa 95 % dieser Intervalle den wahren Mittelwert. Dieses bestimmte Intervall enthält ihn oder enthält ihn nicht.

So verwenden Sie den Konfidenzintervall-Rechner

1. 1. Wählen Sie, was Sie schätzen. Einen einzelnen Mittelwert, einen einzelnen Anteil oder die Differenz der Mittelwerte zweier unabhängiger Gruppen.
2. 2. Geben Sie Ihre Zahlen ein. Für einen Mittelwert tippen Sie Mittelwert, Standardabweichung und Stichprobengröße — oder fügen Sie die Rohdaten ein. Für einen Anteil geben Sie die Anzahl der Erfolge und die Stichprobengröße ein. Für zwei Mittelwerte geben Sie die Zusammenfassung jeder Gruppe ein.
3. 3. Legen Sie das Konfidenzniveau fest. 95 % ist üblich, doch jedes Niveau zwischen 0 und 100 funktioniert: 90, 99 oder 97,5.
4. 4. Lesen Sie das Intervall. Sie erhalten die Grenzen, die Fehlerspanne, den Standardfehler, den kritischen Wert, den Rechenweg, eine verständliche Interpretation und das Intervall im APA-Format zum Kopieren.

Die Formeln

Jedes Intervall hat hier dieselbe Form — Schätzwert ± kritischer Wert × Standardfehler —, und sie unterscheiden sich nur im Standardfehler und in der Verteilung, aus der der kritische Wert stammt.

Verwenden Sie t, wann immer die Standardabweichung aus Ihrer eigenen Stichprobe stammt, was fast immer der Fall ist. Das z-Intervall ist für den seltenen Fall gedacht, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit wirklich bekannt ist, etwa bei einem standardisierten Test mit veröffentlichtem σ. Bei Anteilen ist das Wilson-Score-Intervall die sichere Wahl: Das Wald-Intervall erreicht die angegebene Überdeckung bei kleinem n oder bei p̂ nahe 0 oder 1 deutlich nicht, und Clopper–Pearson garantiert mindestens die angegebene Überdeckung, weshalb es breit ausfällt.

Beispiel und Interpretation

Fünfundzwanzig Studierende erreichen einen Mittelwert von 64,8 bei einer Standardabweichung von 9,6. Der Standardfehler ist 9,6 / √25 = 1,92, der kritische Wert für 95 % Konfidenz bei 24 Freiheitsgraden ist t* = 2,0639, und die Fehlerspanne ist 2,0639 × 1,92 = 3,9627. Das Intervall reicht von 60,8373 bis 68,7627 — im APA-Stil 95 %-KI [60,84; 68,76].

Die korrekte Lesart lautet: Wir sind zu 95 % sicher, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit zwischen 60,84 und 68,76 liegt. Die 95 % gehören zur Methode, nicht zu diesem Intervall: Würde man die Studie viele Male wiederholen, enthielte etwa 95 % der so gebauten Intervalle den wahren Mittelwert, und jedes einzelne Intervall enthält ihn oder enthält ihn nicht. „Mit 95 % Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Mittelwert in diesem Intervall“ ist die häufigste Fehlinterpretation.

Bei einem Anteil ergeben 42 Erfolge von 120 einen p̂ = 0,35 und ein 95-%-Wilson-Intervall von 0,2705 bis 0,4388 (Clopper–Pearson 0,2652 bis 0,4424; Wald 0,2647 bis 0,4353). Für zwei Gruppen — ein Mittelwert von 78,2 (SD 10,5, n = 30) gegen 72,6 (SD 12,8, n = 28) — hat die Differenz von 5,6 ein Welch-95-%-Intervall von −0,59 bis 11,79 bei 52,34 Freiheitsgraden. Es enthält die 0, die Differenz ist also bei α = 0,05 nicht statistisch signifikant, obwohl der Punktschätzer beachtlich wirkt.

Häufige Fehler

• Z mit einer Stichproben-Standardabweichung verwenden. Bei n = 25 macht z* = 1,96 statt t* = 2,064 das Intervall etwa 5 % zu schmal, und die Lücke wächst, je kleiner n wird.
• Überlappende Intervalle als „kein Unterschied“ lesen. Zwei 95-%-Intervalle können sich überlappen, während der Unterschied zwischen den Gruppen dennoch signifikant ist. Berechnen Sie stattdessen das Intervall für die Differenz.
• Für kleine Stichproben das Wald-Intervall angeben. Bei 2 Erfolgen in 25 Versuchen liegt die untere Grenze des Wald-Intervalls unter null; das Wilson-Intervall, 0,0222 bis 0,2497, bleibt innerhalb von 0 bis 1.
• Annehmen, mehr Konfidenz sei besser. Höhere Konfidenz erkauft man sich mit einem breiteren Intervall: Dieselben Prüfungsergebnisse ergeben bei 99 % 59,43 bis 70,17. Nur eine größere Stichprobe macht ein Intervall zugleich sicher und eng.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Konfidenzintervall?

Ein Bereich plausibler Werte für einen Parameter der Grundgesamtheit — einen Mittelwert, einen Anteil, eine Differenz —, der aus einer Stichprobe berechnet wird. Es ist so gebaut, dass bei wiederholten Stichproben ein angegebener Anteil solcher Intervalle (das Konfidenzniveau, oft 95 %) den wahren Wert enthält. Seine Breite zeigt, wie genau die Stichprobe den Parameter eingrenzt.

Wie berechne ich ein 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert?

Addieren und subtrahieren Sie den kritischen Wert mal dem Standardfehler: x̄ ± t* × s / √n, wobei t* das 97,5-Perzentil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden ist (2,064 für n = 25). Der Rechner führt jeden Schritt aus und zeigt den Rechenweg, oder er berechnet Mittelwert und Standardabweichung für Sie aus Rohdaten.

Was ist der Unterschied zwischen einem Konfidenzintervall und der Fehlerspanne?

Die Fehlerspanne ist die halbe Breite des Intervalls: kritischer Wert mal Standardfehler. Das Intervall ist der Schätzwert plus und minus diese Spanne. 42 Erfolge von 120 ergeben 35 % mit einer 95-%-Wald-Fehlerspanne von 8,5 Prozentpunkten; das Intervall reicht also von etwa 26,5 % bis 43,5 %.

Soll ich für einen Anteil das Wilson- oder das Clopper–Pearson-Intervall verwenden?

Für die meisten Zwecke Wilson: Seine Überdeckung bleibt auch bei kleinen Stichproben und extremen Anteilen nahe am angegebenen Niveau, und es ist das Intervall, das Statistiker heute anstelle von Wald empfehlen. Clopper–Pearson garantiert mindestens die angegebene Überdeckung und ist daher breiter; verwenden Sie es, wenn ein Protokoll oder eine Aufsichtsbehörde ein exaktes Intervall verlangt.

Warum ist ein 99-%-Konfidenzintervall breiter als ein 95-%-Intervall?

Um den wahren Wert häufiger zu erfassen, muss das Intervall mehr Raum abdecken. Bei 24 Freiheitsgraden steigt das kritische t von 2,064 auf 2,797, sodass die Fehlerspanne um etwa 36 % wächst. Nur eine größere Stichprobe macht Sie sicherer und zugleich genauso präzise.

Kann ich ein Konfidenzintervall für gepaarte Daten berechnen?

Ja. Bilden Sie die Differenzen jedes Paares (etwa nach − vor), fügen Sie die Differenzen in die Rohdatenoption für einen Mittelwert ein, und das Ergebnis ist das Konfidenzintervall für die mittlere Differenz. Die Option für zwei Mittelwerte setzt zwei unabhängige Gruppen voraus; verwenden Sie sie also nicht für gepaarte Messungen.