Wie liest man eine Chi-Quadrat-Tabelle?

Suchen Sie Ihre Freiheitsgrade in der linken Spalte und Ihr Signifikanzniveau α in der oberen Zeile; der Eintrag, an dem sich beide treffen, ist der kritische Wert. Verwerfen Sie die Nullhypothese, wenn Ihre χ²-Prüfgröße mindestens so groß ist. Bei df = 10 und α = 0,05 beträgt der kritische Wert 18,307.

Wie groß ist der kritische Chi-Quadrat-Wert bei 0,05 und 1 Freiheitsgrad?

3,841, also 1,96² – das Quadrat des zweiseitigen z-Werts, denn eine Chi-Quadrat-Variable mit 1 df ist das Quadrat einer standardnormalverteilten Variablen. Bei 2 df liegt der kritische Wert bei 5,991, bei 3 df bei 7,815.

Wie bestimme ich die Freiheitsgrade eines Chi-Quadrat-Tests?

Bei einem Test auf Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel gilt df = (r − 1)(c − 1). Beim Anpassungstest mit k Kategorien gilt df = k − 1, abzüglich einer Einheit für jeden aus den Daten geschätzten Parameter. Bei einem Test oder Konfidenzintervall zu einer einzelnen Varianz gilt df = n − 1.

Warum enthält die Tabelle Spalten wie 0,995 und 0,975?

Sie geben Werte im linken Ende der Verteilung an, die zweiseitige Tests und Konfidenzintervalle für eine Varianz benötigen. Die Kopfzeile bezeichnet weiterhin die Fläche rechts; die Spalte 0,975 enthält also den Wert mit 2,5 % der Fläche darunter.

Ist ein Chi-Quadrat-Test ein- oder zweiseitig?

Tests auf Unabhängigkeit und Anpassung sind rechtsseitig, weil nur große Werte von χ² gegen die Nullhypothese sprechen. Tests zu einer einzelnen Varianz können links-, rechtsseitig oder zweiseitig sein; dann kommen die linken Spalten und die Suche „Beide Enden“ ins Spiel.

Was tue ich, wenn meine Freiheitsgrade nicht in der Tabelle stehen?

Verwenden Sie die Suche, die jedes df annimmt: Bei α = 0,05 ergibt sie zum Beispiel 49,8018 für df = 35. Bei sehr großen df ist χ² annähernd normalverteilt mit dem Mittelwert df und der Varianz 2 × df.

Chi-Quadrat-Verteilungstabelle

Kritische Werte der rechtsseitigen Chi-Quadrat-Verteilung für 1 bis 100 Freiheitsgrade bei zehn Signifikanzniveaus – dazu eine Suche, die für jedes df und jedes α den exakten Wert liefert, rechts, links oder beidseitig. Drucken Sie eine saubere Kopie für Unterricht oder Prüfung. Kostenlos, ohne Anmeldung.

Freiheitsgrade (df)

Signifikanzniveau (α)

Ende

Kritischer Wert

χ² = 18,3070

Bei 10 df liegt eine Fläche von 0,05 oberhalb von 18,3070: Verwerfen Sie H₀, wenn χ² ≥ 18,3070 ist.

Jeder Eintrag ist der Wert von χ² mit der Fläche α rechts davon. Für den Wert mit der Fläche α links davon lesen Sie die Spalte mit der Überschrift 1 − α.

Kritische Werte der Chi-Quadrat-Verteilung
df	0,995	0,99	0,975	0,95	0,90	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
	Fläche rechts (α)
1	0,0000393	0,000157	0,000982	0,00393	0,0158	2,706	3,841	5,024	6,635	7,879
2	0,0100	0,0201	0,0506	0,103	0,211	4,605	5,991	7,378	9,210	10,597
3	0,0717	0,115	0,216	0,352	0,584	6,251	7,815	9,348	11,345	12,838
4	0,207	0,297	0,484	0,711	1,064	7,779	9,488	11,143	13,277	14,860
5	0,412	0,554	0,831	1,145	1,610	9,236	11,070	12,833	15,086	16,750
6	0,676	0,872	1,237	1,635	2,204	10,645	12,592	14,449	16,812	18,548
7	0,989	1,239	1,690	2,167	2,833	12,017	14,067	16,013	18,475	20,278
8	1,344	1,646	2,180	2,733	3,490	13,362	15,507	17,535	20,090	21,955
9	1,735	2,088	2,700	3,325	4,168	14,684	16,919	19,023	21,666	23,589
10	2,156	2,558	3,247	3,940	4,865	15,987	18,307	20,483	23,209	25,188
11	2,603	3,053	3,816	4,575	5,578	17,275	19,675	21,920	24,725	26,757
12	3,074	3,571	4,404	5,226	6,304	18,549	21,026	23,337	26,217	28,300
13	3,565	4,107	5,009	5,892	7,042	19,812	22,362	24,736	27,688	29,819
14	4,075	4,660	5,629	6,571	7,790	21,064	23,685	26,119	29,141	31,319
15	4,601	5,229	6,262	7,261	8,547	22,307	24,996	27,488	30,578	32,801
16	5,142	5,812	6,908	7,962	9,312	23,542	26,296	28,845	32,000	34,267
17	5,697	6,408	7,564	8,672	10,085	24,769	27,587	30,191	33,409	35,718
18	6,265	7,015	8,231	9,390	10,865	25,989	28,869	31,526	34,805	37,156
19	6,844	7,633	8,907	10,117	11,651	27,204	30,144	32,852	36,191	38,582
20	7,434	8,260	9,591	10,851	12,443	28,412	31,410	34,170	37,566	39,997
21	8,034	8,897	10,283	11,591	13,240	29,615	32,671	35,479	38,932	41,401
22	8,643	9,542	10,982	12,338	14,041	30,813	33,924	36,781	40,289	42,796
23	9,260	10,196	11,689	13,091	14,848	32,007	35,172	38,076	41,638	44,181
24	9,886	10,856	12,401	13,848	15,659	33,196	36,415	39,364	42,980	45,559
25	10,520	11,524	13,120	14,611	16,473	34,382	37,652	40,646	44,314	46,928
26	11,160	12,198	13,844	15,379	17,292	35,563	38,885	41,923	45,642	48,290
27	11,808	12,879	14,573	16,151	18,114	36,741	40,113	43,195	46,963	49,645
28	12,461	13,565	15,308	16,928	18,939	37,916	41,337	44,461	48,278	50,993
29	13,121	14,256	16,047	17,708	19,768	39,087	42,557	45,722	49,588	52,336
30	13,787	14,953	16,791	18,493	20,599	40,256	43,773	46,979	50,892	53,672
40	20,707	22,164	24,433	26,509	29,051	51,805	55,758	59,342	63,691	66,766
50	27,991	29,707	32,357	34,764	37,689	63,167	67,505	71,420	76,154	79,490
60	35,534	37,485	40,482	43,188	46,459	74,397	79,082	83,298	88,379	91,952
70	43,275	45,442	48,758	51,739	55,329	85,527	90,531	95,023	100,425	104,215
80	51,172	53,540	57,153	60,391	64,278	96,578	101,879	106,629	112,329	116,321
90	59,196	61,754	65,647	69,126	73,291	107,565	113,145	118,136	124,116	128,299
100	67,328	70,065	74,222	77,929	82,358	118,498	124,342	129,561	135,807	140,169

So verwenden Sie die Chi-Quadrat-Verteilungstabelle

1. Bestimmen Sie die Freiheitsgrade. (Zeilen − 1) × (Spalten − 1) bei einem Test auf Unabhängigkeit; Kategorien − 1 bei einem Anpassungstest, abzüglich einer weiteren Einheit für jeden aus den Daten geschätzten Parameter; n − 1 bei einer Varianz.
2. Wählen Sie die Spalte für α. Die Tabelle gibt die Fläche rechts von jedem Wert an. Für den üblichen rechtsseitigen Test bei α = 0,05 nehmen Sie also die Spalte 0,05.
3. Vergleichen Sie Ihre Prüfgröße. Ist Ihr χ² mindestens so groß wie der kritische Wert, verwerfen Sie die Nullhypothese.
4. Nutzen Sie die Suche für alles Übrige. Jedes df – 35, 120 oder einen Bruchwert –, jedes α sowie linksseitige oder zweiseitige Werte für Tests und Konfidenzintervalle zu einer Varianz.

So lesen Sie die Chi-Quadrat-Tabelle

Jeder Eintrag ist der Wert von χ², rechts von dem die Spaltenfläche α liegt. Suchen Sie Ihre Freiheitsgrade in der linken Spalte und Ihr Signifikanzniveau in der oberen Zeile: Bei df = 10 und α = 0,05 beträgt der kritische Wert 18,307, ein χ²-Wert von 18,307 oder mehr ist also signifikant. Die Spalten nahe 1 (0,995 bis 0,90) enthalten die kleinen Werte im linken Ende der Verteilung; die Spalten nahe 0 enthalten die rechtsseitigen kritischen Werte, die fast jeder Chi-Quadrat-Test verwendet.

Beispiele zum Nachschlagen
Situation	df	Spalte	Kritischer Wert
Test auf Unabhängigkeit, 2 × 2, α = 0,05	1	0,05	3,841
Test auf Unabhängigkeit, 3 × 3, α = 0,05	4	0,05	9,488
Anpassungstest, 4 Kategorien, α = 0,05	3	0,05	7,815
Anpassungstest, 11 Kategorien, α = 0,05	10	0,05	18,307
Zweiseitiger Test einer Varianz, n = 20, α = 0,05	19	0,975 und 0,025	8,907 und 32,852

Chi-Quadrat-Tests auf Anpassung und Unabhängigkeit sind rechtsseitig: Die Prüfgröße wächst mit jeder Abweichung von der Nullhypothese, daher sprechen nur große Werte dagegen. Ein Anpassungsergebnis von χ²(3) = 7,20 liegt unter 7,815 und ist bei 0,05 damit nicht signifikant – der P-Value Calculator ergibt für p genau 0,066.

Linke Enden und Konfidenzintervalle für eine Varianz

Die linken Spalten sind wichtig, wenn es um eine Varianz geht. Bei einer Stichprobe mit n = 20 und s = 4,2 liegt ein Konfidenzintervall von 95 % für σ² über beide Enden der χ²-Verteilung mit 19 df: σ² liegt zwischen 19 × 4,2² / 32,852 = 10,20 und 19 × 4,2² / 8,907 = 37,63. Wählen Sie in der Suche „Beide Enden“, um beide kritischen Werte auf einmal zu erhalten.

Häufige Fehler

Die Kopfzeile als linke Fläche lesen. Jede Spalte ist mit der Fläche rechts von ihr überschrieben; die Spalte 0,95 enthält den Wert mit 5 % der Verteilung darunter.
df bei einer Kontingenztafel falsch bestimmen. Es ist (Zeilen − 1) × (Spalten − 1), nicht die Zahl der Zellen minus eins.
α für einen Anpassungstest halbieren. Der Test ist von Natur aus einseitig, daher bedeutet α = 0,05 die Spalte 0,05.

Häufig gestellte Fragen

Wie liest man eine Chi-Quadrat-Tabelle?: Suchen Sie Ihre Freiheitsgrade in der linken Spalte und Ihr Signifikanzniveau α in der oberen Zeile; der Eintrag, an dem sich beide treffen, ist der kritische Wert. Verwerfen Sie die Nullhypothese, wenn Ihre χ²-Prüfgröße mindestens so groß ist. Bei df = 10 und α = 0,05 beträgt der kritische Wert 18,307.
Wie groß ist der kritische Chi-Quadrat-Wert bei 0,05 und 1 Freiheitsgrad?: 3,841, also 1,96² – das Quadrat des zweiseitigen z-Werts, denn eine Chi-Quadrat-Variable mit 1 df ist das Quadrat einer standardnormalverteilten Variablen. Bei 2 df liegt der kritische Wert bei 5,991, bei 3 df bei 7,815.
Wie bestimme ich die Freiheitsgrade eines Chi-Quadrat-Tests?: Bei einem Test auf Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel gilt df = (r − 1)(c − 1). Beim Anpassungstest mit k Kategorien gilt df = k − 1, abzüglich einer Einheit für jeden aus den Daten geschätzten Parameter. Bei einem Test oder Konfidenzintervall zu einer einzelnen Varianz gilt df = n − 1.
Warum enthält die Tabelle Spalten wie 0,995 und 0,975?: Sie geben Werte im linken Ende der Verteilung an, die zweiseitige Tests und Konfidenzintervalle für eine Varianz benötigen. Die Kopfzeile bezeichnet weiterhin die Fläche rechts; die Spalte 0,975 enthält also den Wert mit 2,5 % der Fläche darunter.
Ist ein Chi-Quadrat-Test ein- oder zweiseitig?: Tests auf Unabhängigkeit und Anpassung sind rechtsseitig, weil nur große Werte von χ² gegen die Nullhypothese sprechen. Tests zu einer einzelnen Varianz können links-, rechtsseitig oder zweiseitig sein; dann kommen die linken Spalten und die Suche „Beide Enden“ ins Spiel.
Was tue ich, wenn meine Freiheitsgrade nicht in der Tabelle stehen?: Verwenden Sie die Suche, die jedes df annimmt: Bei α = 0,05 ergibt sie zum Beispiel 49,8018 für df = 35. Bei sehr großen df ist χ² annähernd normalverteilt mit dem Mittelwert df und der Varianz 2 × df.