Làm thế nào để đọc bảng chi-bình phương?

Tìm bậc tự do ở cột bên trái và mức ý nghĩa α ở hàng trên cùng; ô giao nhau là giá trị tới hạn. Bác bỏ giả thuyết không nếu thống kê χ² của bạn ít nhất bằng số đó. Với df = 10 và α = 0,05, giá trị tới hạn là 18,307.

Giá trị tới hạn chi-bình phương tại 0,05 với 1 bậc tự do là bao nhiêu?

3,841, tức là 1,96² — bình phương của giá trị tới hạn z hai phía, vì biến chi-bình phương với 1 bậc tự do là bình phương của biến chuẩn tắc. Với 2 bậc tự do giá trị tới hạn là 5,991, và với 3 bậc tự do là 7,815.

Làm thế nào để tìm bậc tự do của kiểm định chi-bình phương?

Với kiểm định độc lập trong bảng r × c, df = (r − 1)(c − 1). Với kiểm định độ phù hợp có k loại, df = k − 1, trừ thêm một cho mỗi tham số được ước lượng từ dữ liệu. Với kiểm định hoặc khoảng tin cậy về một phương sai, df = n − 1.

Vì sao bảng có các cột như 0,995 và 0,975?

Chúng cho giá trị ở đuôi trái của phân phối, mà kiểm định hai phía và khoảng tin cậy cho phương sai cần đến. Tiêu đề vẫn là diện tích bên phải, nên cột 0,975 chứa giá trị có 2,5% diện tích nằm bên dưới.

Kiểm định chi-bình phương là một đuôi hay hai đuôi?

Kiểm định độc lập và độ phù hợp là kiểm định đuôi phải, vì chỉ các giá trị lớn của χ² mới là bằng chứng chống lại giả thuyết không. Các kiểm định về một phương sai có thể là đuôi trái, đuôi phải hoặc hai đuôi, và khi đó các cột bên trái cùng tra cứu "Hai đuôi" mới phát huy tác dụng.

Nếu bậc tự do của tôi không có trong bảng thì sao?

Dùng công cụ tra cứu, công cụ này chấp nhận mọi df: ở α = 0,05 nó cho 49,8018 với df = 35, chẳng hạn. Với df rất lớn, χ² xấp xỉ phân phối chuẩn với trung bình df và phương sai 2 × df.

Bảng Phân Phối Chi-Bình Phương

Giá trị tới hạn đuôi phải của phân phối chi-bình phương với 1 đến 100 bậc tự do ở mười mức ý nghĩa — cùng một công cụ tra cứu cho ra giá trị chính xác với bất kỳ df và α nào, ở đuôi phải, đuôi trái hoặc cả hai đuôi. In một bản sạch để dùng trong lớp học hoặc kỳ thi. Miễn phí, không cần đăng ký.

Bậc tự do (df)

Mức ý nghĩa (α)

Đuôi

Giá trị tới hạn

χ² = 18,3070

Với 10 bậc tự do, diện tích 0,05 nằm trên 18,3070: bác bỏ H₀ khi χ² ≥ 18,3070.

Mỗi ô là giá trị χ² có diện tích α nằm bên phải. Để tìm giá trị có diện tích α nằm bên trái, hãy đọc cột có tiêu đề 1 − α.

Giá trị tới hạn của phân phối chi-bình phương
df	0,995	0,99	0,975	0,95	0,90	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
	Diện tích bên phải (α)
1	0,0000393	0,000157	0,000982	0,00393	0,0158	2,706	3,841	5,024	6,635	7,879
2	0,0100	0,0201	0,0506	0,103	0,211	4,605	5,991	7,378	9,210	10,597
3	0,0717	0,115	0,216	0,352	0,584	6,251	7,815	9,348	11,345	12,838
4	0,207	0,297	0,484	0,711	1,064	7,779	9,488	11,143	13,277	14,860
5	0,412	0,554	0,831	1,145	1,610	9,236	11,070	12,833	15,086	16,750
6	0,676	0,872	1,237	1,635	2,204	10,645	12,592	14,449	16,812	18,548
7	0,989	1,239	1,690	2,167	2,833	12,017	14,067	16,013	18,475	20,278
8	1,344	1,646	2,180	2,733	3,490	13,362	15,507	17,535	20,090	21,955
9	1,735	2,088	2,700	3,325	4,168	14,684	16,919	19,023	21,666	23,589
10	2,156	2,558	3,247	3,940	4,865	15,987	18,307	20,483	23,209	25,188
11	2,603	3,053	3,816	4,575	5,578	17,275	19,675	21,920	24,725	26,757
12	3,074	3,571	4,404	5,226	6,304	18,549	21,026	23,337	26,217	28,300
13	3,565	4,107	5,009	5,892	7,042	19,812	22,362	24,736	27,688	29,819
14	4,075	4,660	5,629	6,571	7,790	21,064	23,685	26,119	29,141	31,319
15	4,601	5,229	6,262	7,261	8,547	22,307	24,996	27,488	30,578	32,801
16	5,142	5,812	6,908	7,962	9,312	23,542	26,296	28,845	32,000	34,267
17	5,697	6,408	7,564	8,672	10,085	24,769	27,587	30,191	33,409	35,718
18	6,265	7,015	8,231	9,390	10,865	25,989	28,869	31,526	34,805	37,156
19	6,844	7,633	8,907	10,117	11,651	27,204	30,144	32,852	36,191	38,582
20	7,434	8,260	9,591	10,851	12,443	28,412	31,410	34,170	37,566	39,997
21	8,034	8,897	10,283	11,591	13,240	29,615	32,671	35,479	38,932	41,401
22	8,643	9,542	10,982	12,338	14,041	30,813	33,924	36,781	40,289	42,796
23	9,260	10,196	11,689	13,091	14,848	32,007	35,172	38,076	41,638	44,181
24	9,886	10,856	12,401	13,848	15,659	33,196	36,415	39,364	42,980	45,559
25	10,520	11,524	13,120	14,611	16,473	34,382	37,652	40,646	44,314	46,928
26	11,160	12,198	13,844	15,379	17,292	35,563	38,885	41,923	45,642	48,290
27	11,808	12,879	14,573	16,151	18,114	36,741	40,113	43,195	46,963	49,645
28	12,461	13,565	15,308	16,928	18,939	37,916	41,337	44,461	48,278	50,993
29	13,121	14,256	16,047	17,708	19,768	39,087	42,557	45,722	49,588	52,336
30	13,787	14,953	16,791	18,493	20,599	40,256	43,773	46,979	50,892	53,672
40	20,707	22,164	24,433	26,509	29,051	51,805	55,758	59,342	63,691	66,766
50	27,991	29,707	32,357	34,764	37,689	63,167	67,505	71,420	76,154	79,490
60	35,534	37,485	40,482	43,188	46,459	74,397	79,082	83,298	88,379	91,952
70	43,275	45,442	48,758	51,739	55,329	85,527	90,531	95,023	100,425	104,215
80	51,172	53,540	57,153	60,391	64,278	96,578	101,879	106,629	112,329	116,321
90	59,196	61,754	65,647	69,126	73,291	107,565	113,145	118,136	124,116	128,299
100	67,328	70,065	74,222	77,929	82,358	118,498	124,342	129,561	135,807	140,169

Cách Sử Dụng Bảng Phân Phối Chi-Bình Phương

1. Tính bậc tự do. (số hàng − 1) × (số cột − 1) cho kiểm định độc lập; số loại − 1 cho kiểm định độ phù hợp, trừ thêm một cho mỗi tham số được ước lượng từ dữ liệu; n − 1 cho phương sai.
2. Chọn cột cho α. Bảng cho diện tích bên phải của mỗi giá trị, vì vậy với kiểm định đuôi phải thông thường tại α = 0,05 hãy dùng cột 0,05.
3. So sánh thống kê của bạn. Nếu χ² của bạn ít nhất bằng giá trị tới hạn, hãy bác bỏ giả thuyết không.
4. Dùng công cụ tra cứu cho mọi trường hợp khác. Bất kỳ df nào — 35, 120 hay một phân số — bất kỳ α nào, và giá trị ở đuôi trái hoặc hai đuôi cho kiểm định và khoảng tin cậy về phương sai.

Cách Đọc Bảng Chi-Bình Phương

Mỗi ô là giá trị χ² có diện tích α của cột nằm bên phải nó. Tìm bậc tự do của bạn ở cột bên trái và mức ý nghĩa dọc theo hàng trên cùng: với df = 10 tại α = 0,05 giá trị tới hạn là 18,307, vì vậy thống kê χ² từ 18,307 trở lên là có ý nghĩa. Các cột gần 1 (0,995 đến 0,90) chứa các giá trị nhỏ ở đuôi trái; các cột gần 0 chứa giá trị tới hạn đuôi phải mà hầu hết kiểm định chi-bình phương đều dùng.

Các tra cứu minh họa
Tình huống	df	Cột	Giá trị tới hạn
Kiểm định độc lập 2 × 2, α = 0,05	1	0,05	3,841
Kiểm định độc lập 3 × 3, α = 0,05	4	0,05	9,488
Kiểm định độ phù hợp, 4 loại, α = 0,05	3	0,05	7,815
Kiểm định độ phù hợp, 11 loại, α = 0,05	10	0,05	18,307
Kiểm định hai phía về phương sai, n = 20, α = 0,05	19	0,975 và 0,025	8,907 và 32,852

Các kiểm định chi-bình phương về độ phù hợp và độc lập là kiểm định đuôi phải: thống kê tăng lên với bất kỳ sai lệch nào so với giả thuyết không, nên chỉ những giá trị lớn mới là bằng chứng chống lại nó. Kết quả χ²(3) = 7,20 thấp hơn 7,815, nên không có ý nghĩa ở mức 0,05 — Công Cụ Tính P-Value cho p chính xác là 0,066.

Đuôi Trái và Khoảng Tin Cậy cho Phương Sai

Các cột bên trái quan trọng khi câu hỏi là về phương sai. Với một mẫu n = 20 và s = 4,2, khoảng tin cậy 95% cho σ² dùng cả hai đuôi của χ² với 19 bậc tự do: σ² nằm giữa 19 × 4,2² / 32,852 = 10,20 và 19 × 4,2² / 8,907 = 37,63. Chọn "Hai đuôi" trong công cụ tra cứu để có ngay cặp giá trị tới hạn.

Những Lỗi Thường Gặp

Đọc tiêu đề như diện tích đuôi trái. Mỗi cột được ghi tiêu đề bằng diện tích nằm bên phải; cột 0,95 chứa giá trị có 5% phân phối nằm bên dưới nó.
Tính sai bậc tự do cho bảng liên hợp. Đó là (số hàng − 1) × (số cột − 1), không phải số ô trừ một.
Chia đôi α cho kiểm định độ phù hợp. Kiểm định này vốn là một phía, nên α = 0,05 nghĩa là cột 0,05.

Câu Hỏi Thường Gặp

Làm thế nào để đọc bảng chi-bình phương?: Tìm bậc tự do ở cột bên trái và mức ý nghĩa α ở hàng trên cùng; ô giao nhau là giá trị tới hạn. Bác bỏ giả thuyết không nếu thống kê χ² của bạn ít nhất bằng số đó. Với df = 10 và α = 0,05, giá trị tới hạn là 18,307.
Giá trị tới hạn chi-bình phương tại 0,05 với 1 bậc tự do là bao nhiêu?: 3,841, tức là 1,96² — bình phương của giá trị tới hạn z hai phía, vì biến chi-bình phương với 1 bậc tự do là bình phương của biến chuẩn tắc. Với 2 bậc tự do giá trị tới hạn là 5,991, và với 3 bậc tự do là 7,815.
Làm thế nào để tìm bậc tự do của kiểm định chi-bình phương?: Với kiểm định độc lập trong bảng r × c, df = (r − 1)(c − 1). Với kiểm định độ phù hợp có k loại, df = k − 1, trừ thêm một cho mỗi tham số được ước lượng từ dữ liệu. Với kiểm định hoặc khoảng tin cậy về một phương sai, df = n − 1.
Vì sao bảng có các cột như 0,995 và 0,975?: Chúng cho giá trị ở đuôi trái của phân phối, mà kiểm định hai phía và khoảng tin cậy cho phương sai cần đến. Tiêu đề vẫn là diện tích bên phải, nên cột 0,975 chứa giá trị có 2,5% diện tích nằm bên dưới.
Kiểm định chi-bình phương là một đuôi hay hai đuôi?: Kiểm định độc lập và độ phù hợp là kiểm định đuôi phải, vì chỉ các giá trị lớn của χ² mới là bằng chứng chống lại giả thuyết không. Các kiểm định về một phương sai có thể là đuôi trái, đuôi phải hoặc hai đuôi, và khi đó các cột bên trái cùng tra cứu "Hai đuôi" mới phát huy tác dụng.
Nếu bậc tự do của tôi không có trong bảng thì sao?: Dùng công cụ tra cứu, công cụ này chấp nhận mọi df: ở α = 0,05 nó cho 49,8018 với df = 35, chẳng hạn. Với df rất lớn, χ² xấp xỉ phân phối chuẩn với trung bình df và phương sai 2 × df.

Công Cụ Liên Quan

Công Cụ Tính Kiểm Định Chi-Bình Phương Công Cụ Tính P-Value Bảng Phân Phối t (Student)Bảng Phân Phối F Bảng Z (Phân Phối Chuẩn Tắc)