Công Cụ Tính Hiệp Phương Sai
Dán các cặp giá trị x và y, rồi nhận hiệp phương sai mẫu (chia cho n − 1) và hiệp phương sai tổng thể (chia cho n), cùng bảng liệt kê từng độ lệch và tích. Công cụ giải thích dấu của hiệp phương sai cho bạn biết điều gì, vì sao độ lớn của nó khó đọc khi đứng riêng, và đưa ra hệ số tương quan Pearson r đi kèm. Miễn phí, không cần đăng ký.
0 giá trị
0 giá trị
Nhập ít nhất hai cặp (x, y) để tính hiệp phương sai.
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Hiệp Phương Sai
- 1. Nhập các cặp giá trị. Gõ các giá trị x và các giá trị y thành hai danh sách theo cùng thứ tự, phân tách bằng dấu chấm phẩy, hoặc chuyển sang chế độ mỗi dòng một cặp "x; y" — tiện khi dán hai cột từ bảng tính.
- 2. Kiểm tra số lượng. Hai danh sách phải có cùng số giá trị; mỗi x được ghép với y ở cùng vị trí.
- 3. Đọc cả hai hiệp phương sai. Dùng hiệp phương sai mẫu khi dữ liệu là một mẫu lấy từ một tổng thể lớn hơn — trường hợp thường gặp trong nghiên cứu — và dùng hiệp phương sai tổng thể khi các cặp của bạn là toàn bộ tổng thể.
- 4. Theo dõi bảng. Mỗi dòng cho thấy hai độ lệch so với trung bình và tích của chúng; tổng các tích chính là tử số của công thức.
Công Thức Hiệp Phương Sai
Hiệp phương sai đo xem hai biến có cùng biến thiên hay không. Với mỗi cặp, lấy khoảng cách của x so với trung bình của nó và khoảng cách của y so với trung bình của nó, rồi nhân chúng lại. Tích này dương khi cả hai cùng nằm trên trung bình hoặc cùng nằm dưới trung bình, và âm khi một bên trên và bên kia dưới. Lấy trung bình các tích sẽ cho hiệp phương sai:
Mẫu
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
Tổng thể
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
Công thức cho mẫu chia cho n − 1 vì cùng lý do mà phương sai mẫu làm như vậy: độ lệch so với trung bình của mẫu hơi nhỏ, và n − 1 hiệu chỉnh độ chệch đó. Thực tế, hiệp phương sai của một biến với chính nó chính là phương sai của nó.
Ví Dụ Minh Họa
Năm sinh viên báo cáo số giờ ôn tập (x) và điểm thi (y) của mình. Trung bình là x̄ = 6 giờ và ȳ = 75 điểm:
| x (giờ) | y (điểm) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
Tổng các tích: 110.
Hiệp phương sai mẫu = 110 ÷ (5 − 1) = 27,5; hiệp phương sai tổng thể = 110 ÷ 5 = 22. Mọi tích đều bằng không hoặc dương, nên dấu rõ ràng là dương: sinh viên ôn tập nhiều hơn thì đạt điểm cao hơn. Lấy hiệp phương sai chia cho phương sai của x, tức 10, cũng cho ra hệ số góc của đường hồi quy — 2,75 điểm cho mỗi giờ ôn thêm.
Vì Sao Độ Lớn Của Hiệp Phương Sai Khó Diễn Giải
Hiệp phương sai được đo bằng đơn vị của x nhân với đơn vị của y — ở đây là giờ-điểm. Nếu ghi thời gian ôn tập bằng phút thay vì giờ, hiệp phương sai tăng từ 27,5 lên 1.650, dù mối quan hệ không hề thay đổi. Vì vậy dấu của hiệp phương sai là có ý nghĩa, nhưng độ lớn của nó không cho bạn biết mối quan hệ mạnh hay yếu, và bạn không thể so sánh các hiệp phương sai giữa các nghiên cứu có đơn vị khác nhau.
Tương quan khắc phục điều này bằng cách chia cho cả hai độ lệch chuẩn: r = sxy ÷ (sx × sy) = 27,5 ÷ (3,1623 × 8,86) ≈ 0,98, dù tính bằng giờ hay bằng phút. Khi bạn muốn nói mối quan hệ mạnh đến đâu giữa hai biến, hãy báo cáo r — Công Cụ Tính Hệ Số Tương Quan cho kết quả kèm diễn giải — và giữ hiệp phương sai cho các công thức cần đến nó, chẳng hạn hệ số góc hồi quy và phương sai danh mục đầu tư.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Hiệp phương sai cho bạn biết điều gì?
- Nó cho biết chiều hướng của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến. Hiệp phương sai dương nghĩa là chúng có xu hướng cùng tăng, hiệp phương sai âm nghĩa là một biến có xu hướng giảm khi biến kia tăng, còn giá trị gần bằng không nghĩa là không có quy luật tuyến tính. Độ lớn của nó phụ thuộc vào đơn vị, nên nó không đo được mức độ mạnh yếu.
- Khác biệt giữa hiệp phương sai và tương quan là gì?
- Tương quan là hiệp phương sai được chia tỉ lệ bằng hai độ lệch chuẩn, nhờ đó không còn đơn vị và nằm trong khoảng từ −1 đến +1. Hiệp phương sai cùng dấu với tương quan nhưng có thể có độ lớn bất kỳ, nên chỉ tương quan mới so sánh được giữa các bộ dữ liệu hoặc được đọc là yếu hay mạnh.
- Nên dùng hiệp phương sai mẫu hay tổng thể?
- Dùng hiệp phương sai mẫu, chia cho n − 1, khi dữ liệu là một mẫu và bạn muốn ước lượng mối quan hệ trong một tổng thể lớn hơn — hầu như luôn là trường hợp trong nghiên cứu. Chỉ dùng hiệp phương sai tổng thể, chia cho n, khi bạn có toàn bộ thành viên của tổng thể. Các hàm COVARIANCE.S và COVARIANCE.P của Excel thực hiện đúng sự phân chia này.
- Hiệp phương sai có thể âm không?
- Có. Hiệp phương sai âm nghĩa là các giá trị trên trung bình của biến này có xu hướng đi cùng các giá trị dưới trung bình của biến kia — ví dụ số giờ dùng màn hình và số giờ ngủ. Độ lớn của nó không có giới hạn dưới hay trên.
- Hiệp phương sai bằng không có nghĩa là hai biến độc lập không?
- Không. Hiệp phương sai bằng không chỉ có nghĩa là không có quan hệ tuyến tính. Các biến có thể liên hệ mạnh theo kiểu cong — y = x² trên một khoảng đối xứng quanh không là ví dụ kinh điển — và vẫn có hiệp phương sai đúng bằng không. Các biến độc lập thì luôn có hiệp phương sai bằng không.
- Hiệp phương sai liên quan thế nào đến hệ số góc hồi quy?
- Hệ số góc bình phương tối thiểu của y theo x bằng hiệp phương sai chia cho phương sai của x: b = hiệp phương sai(x, y) ÷ phương sai(x). Trong ví dụ trên, đó là 27,5 ÷ 10 = 2,75 điểm mỗi giờ, cùng hệ số góc mà Linear Regression Calculator đưa ra cho các dữ liệu đó.