حاسبة التغاير

كيفية استخدام حاسبة التغاير

1. 1. أدخل الأزواج. اكتب قيم x وقيم y في قائمتين بالترتيب نفسه، أو انتقل إلى زوج «x, y» واحد في كل سطر، وهو مفيد عند لصق عمودين من جدول بيانات.
2. 2. تحقّق من العدد. يجب أن تحوي القائمتان العدد نفسه من القيم، فكل x مقترن بقيمة y التي في الموضع نفسه.
3. 3. اقرأ التغايرين. استخدم تغاير العينة لعينة من مجتمع أكبر، وهو الغالب في البحوث، واستخدم تغاير المجتمع حين تكون أزواجك هي المجتمع كله.
4. 4. تابع الجدول. يعرض كل صف الانحرافين عن المتوسطين وناتجهما، وتجمع النواتج لتعطي بسط الصيغة.

صيغة التغاير

يقيس التغاير ما إذا كان متغيران يتحركان معًا. لكل زوج، خذ بُعد x عن متوسطه وبُعد y عن متوسطه واضرب أحدهما في الآخر. يكون الناتج موجبًا إذا كان كلاهما فوق متوسطه أو كلاهما دونه، وسالبًا إذا كان أحدهما فوق متوسطه والآخر دونه. ويعطي متوسط النواتج التغاير:

تقسم صيغة العينة على n − 1 للسبب نفسه الذي تقسم به تباين العينة: فالانحرافات عن متوسطات العينة تميل إلى أن تكون أصغر قليلًا من الحقيقة، و n − 1 يصحح هذا الانحياز. والواقع أن تغاير المتغير مع نفسه هو تباينه.

مثال تطبيقي

خمسة طلاب يبلّغون عن ساعات مراجعتهم (x) وعن درجاتهم في الامتحان (y). المتوسطان هما x̄ = 6 ساعات وȳ = 75 نقطة:

تغاير العينة = 110 ÷ (5 − 1) = 27.5؛ وتغاير المجتمع = 110 ÷ 5 = 22. وكل ناتج صفر أو موجب، لذلك الإشارة موجبة بوضوح: الطلاب الذين راجعوا أكثر سجّلوا درجات أعلى. وقسمة التغاير على تباين x، وهو 10، تعطي أيضًا ميل خط الانحدار، أي 2.75 نقطة لكل ساعة إضافية.

لماذا يصعب تفسير حجم التغاير

يُقاس التغاير بوحدات x مضروبة في وحدات y، أي هنا ساعات × نقاط. فإذا سُجّلت مدة المراجعة بالدقائق بدل الساعات قفز التغاير من 27.5 إلى 1,650، مع أن العلاقة لم تتغير. لذلك تحمل إشارة التغاير معنى، لكن حجمه لا يخبرك إن كانت العلاقة قوية أو ضعيفة، ولا يمكنك مقارنة التغايرات بين دراسات مختلفة الوحدات.

يحل الارتباط هذه المشكلة بقسمة التغاير على الانحرافين المعياريين معًا: r = s_xy ÷ (s_x × s_y) = 27.5 ÷ (3.1623 × 8.86) ≈ 0.98، سواء بالساعات أو بالدقائق. وحين تريد أن تقول مدى قوة الصلة بين متغيرين، فاذكر r، وتعطيه حاسبة معامل الارتباط مع تفسيره، واحتفظ بالتغاير للصيغ التي تحتاجه، مثل ميول الانحدار وتباين المحافظ الاستثمارية.

الأسئلة الشائعة

ماذا يخبرك التغاير؟

يخبرك باتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين. فالتغاير الموجب يعني أنهما يميلان إلى الارتفاع معًا، والسالب يعني أن أحدهما يميل إلى الانخفاض كلما ارتفع الآخر، والقيمة القريبة من الصفر تعني غياب نمط خطي. ويعتمد حجمه على الوحدات، لذلك لا يقيس القوة.

ما الفرق بين التغاير والارتباط؟

الارتباط هو التغاير مُعاد قياسه بالانحرافين المعياريين للمتغيرين، فيصبح بلا وحدات ومحصورًا بين −1 و+1. ويشترك التغاير مع الارتباط في الإشارة، لكن حجمه قد يكون أي قيمة، لذلك لا يمكن مقارنة التغاير بين مجموعات البيانات أو وصفه بالضعف أو القوة، وهذا ما يفعله الارتباط وحده.

هل أستخدم تغاير العينة أم تغاير المجتمع؟

استخدم تغاير العينة، بالقسمة على n − 1، حين تكون بياناتك عينة وتريد تقدير العلاقة في مجتمع أكبر، وهذا هو الغالب في البحوث. واستخدم تغاير المجتمع، بالقسمة على n، فقط حين تملك كل أفراد المجتمع. وتؤدي الدالتان COVARIANCE.S وCOVARIANCE.P في إكسل التقسيم نفسه.

هل يمكن أن يكون التغاير سالبًا؟

نعم. يعني التغاير السالب أن القيم فوق المتوسط لأحد المتغيرين تميل إلى أن تقترن بقيم دون المتوسط للآخر، كساعات الشاشة وساعات النوم مثلًا. ولا يوجد حدّ أدنى أو أعلى لحجمه.

هل يعني تغاير صفر أن المتغيرين مستقلان؟

لا. يعني التغاير الصفري غياب علاقة خطية. فقد ترتبط المتغيرات بعلاقة منحنية قوية، كالعلاقة y = x² على مدى متماثل حول الصفر، ومع ذلك يكون تغايرها صفرًا تمامًا. أما المتغيرات المستقلة فتغايرها صفر دائمًا.

ما علاقة التغاير بميل الانحدار؟

ميل الانحدار بطريقة المربعات الصغرى لـ y على x هو تغاير x وy مقسومًا على تباين x: b = تغاير(x, y) ÷ تباين(x). وفي المثال المحلول يكون ذلك 27.5 ÷ 10 = 2.75 نقطة لكل ساعة، وهو الميل نفسه الذي تعرضه حاسبة الانحدار الخطي لهذه البيانات.