共分散計算ツール
対になったxとyの値を貼り付けると、標本共分散（n − 1で割る）と母集団共分散（nで割る）が求まり、すべての偏差と積の表が表示されます。符号が何を意味するか、共分散の大きさが単独では読み取りにくい理由も説明し、ピアソンの r も併せて示します。
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共分散を計算するには、(x, y) の組を少なくとも2つ入力してください。
共分散計算ツールの使い方
- 1. 対になった値を入力します。 xの値とyの値を、同じ順番の2つのリストとして入力するか、「x, y」の組を1行に1つずつ入力する形式に切り替えます。スプレッドシートの2列を貼り付けるときに便利です。
- 2. 個数を確認します。 2つのリストの個数は同じでなければなりません。各xは、同じ位置にあるyと組になります。
- 3. 2つの共分散を読みます。 研究で一般的な、より大きな母集団からの標本を扱う場合は標本共分散を、対になったデータが母集団全体である場合は母集団共分散を使います。
- 4. 表をたどります。 各行には、平均からの2つの偏差とその積が示されます。積の合計が、公式の分子になります。
共分散の公式
共分散は、2つの変数が一緒に動くかどうかを測ります。各組について、xが平均からどれだけ離れているか、yが平均からどれだけ離れているかを求めて掛け合わせます。両方が平均より大きいか、両方が平均より小さい場合、積は正になります。一方が平均より大きく、他方が小さい場合は負になります。積を平均すると共分散になります。
標本
sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (n − 1)
母集団
σxy = Σ(x − μx)(y − μy) ÷ N
標本版は、標本分散と同じ理由で n − 1 で割ります。標本平均からの偏差はわずかに小さくなる傾向があり、n − 1 がその偏りを補正するからです。実際、ある変数を自分自身と共分散させると、その分散になります。
具体例
5人の学生が、復習に費やした時間（x）と試験の点数（y）を報告しています。平均は x̄ = 6 時間、ȳ = 75 点です。
| x（時間） | y（点数） | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 65 | −4 | −10 | 40 |
| 4 | 70 | −2 | −5 | 10 |
| 6 | 72 | 0 | −3 | 0 |
| 8 | 81 | 2 | 6 | 12 |
| 10 | 87 | 4 | 12 | 48 |
積の合計：110。
標本共分散 = 110 ÷ (5 − 1) = 27.5、母集団共分散 = 110 ÷ 5 = 22 です。どの積もゼロまたは正なので、符号は明らかに正です。復習時間が長い学生ほど点数が高い、ということです。共分散をxの分散である10で割ると、回帰直線の傾きも求まります。復習1時間あたり 2.75 点です。
共分散の大きさが解釈しにくい理由
共分散は、xの単位とyの単位の積で測られます。ここでは、時間×点数です。復習時間を時間ではなく分で記録すると、関係は同じなのに共分散は 27.5 から 1,650 へ跳ね上がります。つまり、共分散の符号には意味がありますが、その大きさから関係が強いか弱いかはわかりません。また、単位の異なる研究どうしで共分散を比べることもできません。
相関係数は、両方の標準偏差で割ることで、この問題を解決します。r = sxy ÷ (sx × sy) = 27.5 ÷ (3.1623 × 8.86) ≈ 0.98 で、時間で測っても分で測っても同じです。2つの変数がどれほど強く関係しているかを述べたいときは、r を報告してください。解釈つきで 相関係数計算ツール が求めます。共分散は、回帰直線の傾きやポートフォリオの分散など、共分散を必要とする公式のために残しておきます。
よくある質問
- 共分散は何を示しますか？
- 2つの変数の間の線形な関係の向きを示します。共分散が正なら一緒に増える傾向があり、負なら一方が増えると他方が減る傾向があります。ゼロに近い値は、直線的な傾向がないことを意味します。大きさは単位に依存するため、関係の強さを測るものではありません。
- 共分散と相関の違いは何ですか？
- 相関は、共分散を2つの標準偏差で割って尺度を変えたもので、単位がなくなり、−1 と +1 の間に収まります。共分散は相関と同じ符号を持ちますが、どんな大きさもとりえます。そのため、データセットどうしで比べたり、強いか弱いかを読んだりできるのは相関だけです。
- 標本共分散と母集団共分散のどちらを使うべきですか？
- データが標本で、より大きな母集団の関係を推定したい場合は、n − 1 で割る標本共分散を使います。研究ではほぼこの場合です。母集団のすべての構成員を持っている場合にだけ、n で割る母集団共分散を使います。Excel の COVARIANCE.S と COVARIANCE.P も、この区別に対応しています。
- 共分散は負になりますか？
- なります。負の共分散は、一方の変数の平均より大きい値が、他方の平均より小さい値と同時に現れやすいことを意味します。たとえば、画面の利用時間と睡眠時間です。大きさに上限や下限はありません。
- 共分散がゼロなら、2つの変数は独立ですか？
- いいえ。共分散がゼロは、線形な関係がないことを意味するだけです。変数は曲線的に強く関係していることがあり、それでも共分散がちょうどゼロになる場合があります。古典的な例は、ゼロ付近に対称な範囲での y = x² です。独立な変数は、必ず共分散がゼロです。
- 共分散と回帰直線の傾きはどう関係しますか？
- yをxで回帰したときの最小二乗法の傾きは、共分散をxの分散で割ったものです。b = 共分散(x, y) ÷ 分散(x) です。計算例では、27.5 ÷ 10 = 2.75 点/時間となり、同じデータについて線形回帰計算ツールが報告する傾きと同じです。