幾何平均計算ツール
正の数の幾何平均を求めたり、+10%、−5%、+20% のような増減率の並びを、期間ごとの真の平均成長率に変換したりできます。計算過程では対数法を段階ごとに示し、調和平均と算術平均も並べて表示するので、データにどの平均が適しているかを比べられます。
0 個の値を検出
2つ以上の正の数を入力してください。
幾何平均計算ツールの使い方
- 1. 何の平均を求めるかを選びます。 比率、濃度、価格などの正の値、または期間ごとの増減率です。
- 2. 数値を入力します。 増減率の場合は、+10%なら 10、−5%なら -5 と入力します。% 記号を付けても構いません。
- 3. 結果を読み取ります。 値の場合は、比較用の調和平均と算術平均とともに幾何平均が表示されます。増減率の場合は、期間ごとの平均成長率、誤解を招く単純平均、全体の変化が表示されます。
- 4. 計算過程を確認します。 対数法、積の形、そして平均成長率で合計の変化が再現されることの確認が、すべて表示されます。
幾何平均の公式
算術平均は、値を足して n で割ります。幾何平均は、値を掛け合わせて、その n 乗根を取ります：
定義
GM = (x₁ × x₂ × … × xₙ)1/n
対数法
GM = exp((ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) ÷ n)
2と8なら、GM = √(2 × 8) = √16 = 4 で、算術平均は5です。例のデータ（12、18、30、45、200）では、積は 58,320,000 で、その5乗根は 35.74 です。一方、算術平均の61は、1つの大きな値に引き上げられています。このツールが対数法を使うのは、同じ数を安全に計算できるからです。普通の値を数百個掛け合わせた積はオーバーフローしますが、その対数の和はオーバーフローしません。
平均成長率：なぜ幾何平均が正しいのか
成長は複利で進むので、変化は掛け算で合わさります。10%増え、5%減り、20%増えた量は、1.10 × 0.95 × 1.20 = 1.254 倍になります。つまり全体では25.4%の増加です。同じ合計になる一定の率は、成長係数の幾何平均から1を引いたものです。1.2541/3 − 1 = 期間あたり7.84% です。
3つの変化の単純平均は8.33%で、これは実際より高く見積もります。1.0833の3乗は1.2714なので、100は127.14になってしまい、実際の125.40にはなりません。変動の大きい変化では、この差が劇的になります。50%の上昇の後に50%の下落があると、単純平均は0%ですが、100は150を経て75になります。幾何平均は真実を報告し、期間あたり −13.4% になります。これは複合年間成長率（CAGR）と同じ計算です。
どの平均を使うべきか
| 平均 | 使う場面 | 例 |
|---|---|---|
| 算術平均 | 足し合わせられる量 | テストの点数、身長、日々の気温 |
| 幾何平均 | 掛け合わせられる量、または桁が何桁にもわたるデータ | 成長率、投資収益率、比率、指数 |
| 調和平均 | 一定の量で測定された率 | 同じ距離での平均速度、株価収益率（PER）の平均、F1スコア |
調和平均は n ÷ Σ(1/x) です。同じ距離を時速60kmで行き、時速40kmで戻ると、平均速度は 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 km/h で、50ではありません。遅い速度で長く走っていたからです。正の値のデータでは、3つの平均は 調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 算術平均 の順になります。
よくある質問
- 幾何平均は何に使われますか？
- 掛け算で合わさる量の平均に使います。複数の期間にわたる成長率や投資収益率、比率や倍率の変化、細菌数や抗体価のように何桁にもわたるデータなどです。いずれの場合も、算術平均が過大に見積もってしまう、典型的な乗算の値を示します。
- 幾何平均はどう計算しますか？
- n 個の値をすべて掛け合わせ、その積の n 乗根を取ります。同じことですが、値の自然対数の平均を取ってから指数関数で戻す方法もあり、計算機やソフトウェアはこの方法を使います。4、9、6なら積は216で、216の立方根は6です。
- 幾何平均でゼロや負の数を使えないのはなぜですか？
- 1つでもゼロがあると、ほかの値に関係なく積がゼロになります。また、ゼロや負の数の対数は定義されません。負の値では、根が実数にならないこともあります。そのため増減率は、−5% なら 0.95 のような成長係数に変換します。係数は、変化が −100% に達しない限り正のままです。
- 平均成長率はどう求めますか？
- 各増減率を成長係数（1 + 変化 ÷ 100）に変換し、係数を掛け合わせて、n 乗根を取り、1を引きます。+10%、−5%、+20% なら、期間あたり 1.254^(1/3) − 1 = 7.84% です。始まりと終わりの値だけが分かっている場合も同じ考え方で、CAGR = (終了値 ÷ 開始値)^(1/n) − 1 です。
- 幾何平均は、算術平均より必ず小さいのですか？
- 大きくなることはありません。正の数では、幾何平均は算術平均以下で、等しいのはすべての値が同じ場合だけです。値のばらつきが大きいほど、その差は広がります。
- 調和平均はいつ使うべきですか？
- 率の分母にあたる量が一定に保たれている場合に使います。たとえば、同じ距離での平均速度、毎回同じ金額を使ったときの平均価格、株価収益率の平均などです。機械学習のF1スコアは、適合率と再現率の調和平均で、一方が低いときに、もう一方の高い値がそれを隠してしまうことを防ぎます。