Geometrische-gemiddeldecalculator
Bepaal het geometrisch gemiddelde van positieve getallen, of zet een reeks procentuele veranderingen — +10%, −5%, +20% — om in de werkelijke gemiddelde groei per periode. De uitwerking toont de logaritmemethode stap voor stap, en het harmonisch en rekenkundig gemiddelde staan ernaast, zodat je ziet welk gemiddelde jouw gegevens vragen.
0 waarden gevonden
Voer ten minste twee positieve getallen in.
Zo gebruik je de geometrische-gemiddeldecalculator
- 1. Kies waar je het gemiddelde van neemt. Positieve waarden zoals verhoudingen, concentraties of prijzen, of procentuele veranderingen van de ene periode naar de volgende.
- 2. Voer de getallen in. Voor veranderingen typ je 10 voor +10% en -5 voor −5%; een %-teken mag ook.
- 3. Lees het resultaat af. Waarden geven het geometrisch gemiddelde, met het harmonisch en rekenkundig gemiddelde ter vergelijking; veranderingen geven de gemiddelde groei per periode, het misleidende eenvoudige gemiddelde en de totale verandering.
- 4. Controleer de uitwerking. De logaritmemethode, de productvorm en een controle dat de gemiddelde groeisnelheid het totaal reproduceert, worden allemaal getoond.
De formule voor het geometrisch gemiddelde
Het rekenkundig gemiddelde telt de waarden op en deelt door n. Het geometrisch gemiddelde vermenigvuldigt ze en neemt de n-de wortel:
Definitie
GM = (x₁ × x₂ × … × xₙ)1/n
Logaritmemethode
GM = exp((ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) ÷ n)
Voor 2 en 8 is GM = √(2 × 8) = √16 = 4, waar het rekenkundig gemiddelde 5 is. Voor de voorbeeldgegevens — 12, 18, 30, 45 en 200 — is het product 58.320.000 en de vijfde wortel daarvan 35,74, terwijl het rekenkundig gemiddelde van 61 omhooggetrokken wordt door de ene grote waarde. De calculator gebruikt de logaritmemethode omdat die hetzelfde getal veilig berekent: een product van enkele honderden gewone waarden overschrijdt het getalbereik van een computer, maar een som van hun logaritmen nooit.
Gemiddelde groeisnelheden: waarom het geometrisch gemiddelde klopt
Groei stapelt zich op, dus veranderingen vermenigvuldigen zich. Een hoeveelheid die 10% groeit, 5% krimpt en 20% groeit, wordt vermenigvuldigd met 1,10 × 0,95 × 1,20 = 1,254 — een totale stijging van 25,4%. De constante groeisnelheid die hetzelfde totaal geeft, is het geometrisch gemiddelde van de groeifactoren min één: 1,2541/3 − 1 = 7,84% per periode.
Het eenvoudig gemiddelde van de drie veranderingen, 8,33%, overschat dat: 1,0833 tot de derde macht is 1,2714, dus het zou 100 omzetten in 127,14 in plaats van de 125,40 die je werkelijk hebt. Het verschil wordt dramatisch bij wisselvallige veranderingen. Een stijging van 50% gevolgd door een daling van 50% geeft gemiddeld 0%, maar 100 wordt 150 en daarna 75 — het geometrisch gemiddelde geeft de waarheid weer: −13,4% per periode. Dit is dezelfde berekening als een samengestelde jaarlijkse groeisnelheid (CAGR).
Welk gemiddelde moet je gebruiken?
| Gemiddelde | Gebruik het voor | Voorbeeld |
|---|---|---|
| Rekenkundig | Hoeveelheden die je optelt | Toetsscores, lengtes, dagelijkse temperaturen |
| Geometrisch | Hoeveelheden die je vermenigvuldigt, of gegevens die over ordes van grootte lopen | Groeipercentages, beleggingsrendementen, verhoudingen, indexcijfers |
| Harmonisch | Snelheden gemeten over een vaste hoeveelheid van iets | Gemiddelde snelheid over gelijke afstanden, koerswinstverhoudingen, de F1-score |
Het harmonisch gemiddelde is n ÷ Σ(1/x). Rijd je heen met 60 km/u en terug met 40 km/u over dezelfde afstand, dan is je gemiddelde snelheid 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 48 km/u, niet 50 — je deed er langer over op de langzame snelheid. Voor elke positieve dataset komen de drie gemiddelden in de volgorde harmonisch ≤ geometrisch ≤ rekenkundig voor.
Veelgestelde vragen
- Waarvoor wordt het geometrisch gemiddelde gebruikt?
- Het middelt hoeveelheden die door vermenigvuldiging samenkomen: groeipercentages en beleggingsrendementen over meerdere periodes, verhoudingen en fold-changes, en scheve positieve gegevens die over meerdere ordes van grootte lopen, zoals bacteriële aantallen of antilichaamtiters. In elk geval geeft het de typische vermenigvuldigende waarde, die het rekenkundig gemiddelde overschat.
- Hoe bereken je het geometrisch gemiddelde?
- Vermenigvuldig de n waarden en neem de n-de wortel van het product. Equivalent: neem het gemiddelde van de natuurlijke logaritmen van de waarden en verhef het resultaat tot de macht e, zoals rekenmachines en software het doen. Voor 4, 9 en 6 is het product 216, en de derdemachtswortel van 216 is 6.
- Waarom kan het geometrisch gemiddelde geen nul of negatieve getallen gebruiken?
- Eén nul maakt het hele product nul, wat de andere waarden ook zijn, en de logaritme van nul of van een negatief getal is niet gedefinieerd. Bij negatieve waarden is de wortel misschien zelfs geen reëel getal. Daarom worden groeipercentages omgezet in factoren zoals 0,95 voor −5%: de factoren blijven positief, tenzij een verandering −100% bereikt.
- Hoe bereken je een gemiddelde groeisnelheid?
- Zet elke procentuele verandering om in een groeifactor (1 + verandering ÷ 100), vermenigvuldig de factoren, neem de n-de wortel en trek 1 af. Voor +10%, −5% en +20% is dat 1,254^(1/3) − 1 = 7,84% per periode. Als je alleen de begin- en eindwaarde kent, geeft hetzelfde idee CAGR = (eind ÷ begin)^(1/n) − 1.
- Is het geometrisch gemiddelde altijd kleiner dan het rekenkundig gemiddelde?
- Het is nooit groter. Voor positieve getallen is het geometrisch gemiddelde kleiner dan of gelijk aan het rekenkundig gemiddelde, en ze zijn alleen gelijk als elke waarde hetzelfde is. Hoe meer de waarden uiteenlopen, hoe groter het verschil.
- Wanneer moet ik het harmonisch gemiddelde gebruiken?
- Gebruik het om snelheden te middelen wanneer het vaste deel in de noemer van de snelheid zit — gemiddelde snelheid over gelijke afstanden, gemiddelde prijs die je betaalt als je elke keer gelijke bedragen uitgeeft, of gemiddelde koerswinstverhoudingen. De F1-score uit machinaal leren is het harmonisch gemiddelde van precisie en recall, waardoor een hoge waarde geen lage waarde kan verbergen.