Bayes-stellingcalculator

Breuken zoals 1/250 en waarden met een %-teken werken ook.

Zo gebruik je de Bayes-stellingcalculator

1. 1. Kies wat je weet. Meestal de a-priorikans P(A), de kans op het bewijs als A waar is, P(B|A), en als A onwaar is, P(B|niet A). Als je in plaats daarvan de totale kans P(B) kent, schakel dan over naar de tweede optie.
2. 2. Kies percentages of decimalen. In de percentagemodus typ je 1 voor 1%; in de decimalenmodus 0,01. Breuken zoals 1/250 werken in beide modi.
3. 3. Lees P(A|B) af. De a-posteriorikans verschijnt samen met P(B) en de kansen na een negatief resultaat, P(A|niet B) en P(niet A|niet B).
4. 4. Bekijk de tabel met mensen. Dezelfde getallen als aantallen uit 1.000, 10.000 of 100.000 mensen laten zien waar het antwoord vandaan komt.

De stelling van Bayes

P(A) is de a-priorikans — hoe waarschijnlijk A was voordat je het bewijs zag. P(B|A) is de aannemelijkheid van het bewijs als A waar is, en P(B|niet A) de aannemelijkheid als A onwaar is. P(B) is hoe vaak het bewijs in totaal voorkomt. Het resultaat, P(A|B), is de a-posteriorikans: hoe waarschijnlijk A nu is, nadat je B hebt gezien. Bij een diagnostische test zijn dit de prevalentie, de sensitiviteit, het fout-positief percentage (1 − specificiteit) en de positief voorspellende waarde.

Het klassieke voorbeeld van een medische test

Een aandoening treft 1% van de mensen. Een screeningstest ontdekt de aandoening in 90% van de gevallen (sensitiviteit), maar geeft ook een positief resultaat bij 9% van de mensen zonder de aandoening. Iemand test positief. Hoe waarschijnlijk is het dat die persoon de aandoening heeft? Veel mensen schatten dicht bij 90%. De stelling van Bayes zegt: P(B) = 0,9 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 0,0981, dus P(A|B) = 0,009 ÷ 0,0981 = 9,17%.

Geteld als mensen is het antwoord makkelijk te zien: van de 981 positieve uitslagen komen er maar 90 van mensen met de aandoening, en 90 ÷ 981 = 9,17%. De test is niet slecht — de aandoening is zeldzaam, dus de 9% valse positieven onder 9.900 gezonde mensen overstemt de echte positieven onder de 100 zieken. De psychologen Gerd Gigerenzer en Ulrich Hoffrage (1995) lieten zien dat problemen die je als natuurlijke frequenties zoals deze presenteert, veel nauwkeuriger worden beredeneerd dan wanneer je met kansen werkt.

Waarom de a-priorikans er zoveel toe doet

Houd dezelfde test, maar pas die toe op een groep waarin de aandoening 10% van de patiënten treft — een specialistische kliniek in plaats van een bevolkingsscreening — dan betekent een positief resultaat een kans van 52,63% dat iemand de aandoening heeft. Of test opnieuw: als de eerste positieve uitslag de kans naar 9,17% brengt, gebruik dat dan als nieuwe prior, en een tweede positieve uitslag (van een onafhankelijke test met dezelfde nauwkeurigheid) brengt die naar 50,25%. Daarom bevestigen screeningsprogramma's positieve uitslagen met een tweede test, en betekent hetzelfde bewijs in verschillende populaties iets anders.

De a-priorikans negeren is de basisfrequentiefout, en het is niet alleen een medisch probleem. Spamfilters, forensisch bewijs, fraudemeldingen en classificaties in machine learning hebben er allemaal mee te maken: als wat je zoekt zeldzaam is, zijn de meeste alarmen onjuist, ook als de detector goed is.

Veelgestelde vragen

Wat is de stelling van Bayes in eenvoudige woorden?

Het is een regel om een kans bij te stellen als je nieuw bewijs krijgt. Begin met hoe waarschijnlijk iets vooraf was (de prior), weeg hoeveel waarschijnlijker het bewijs is als het waar is dan als het onwaar is, en je krijgt de bijgestelde kans (de posterior). De formule is P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B).

Wat is het verschil tussen P(A|B) en P(B|A)?

Ze beantwoorden tegengestelde vragen. P(B|A) is de kans op een positieve test als je de aandoening hebt — de sensitiviteit, 90% in het voorbeeld. P(A|B) is de kans dat je de aandoening hebt als je positief test — 9,17% in het voorbeeld. Deze twee door elkaar halen — de drogreden van de omgekeerde voorwaardelijke kans, of in de rechtszaal de aanklagersdrogreden — is een van de meest voorkomende fouten bij redeneren over bewijs.

Hoe bereken ik P(B) voor de stelling van Bayes?

Meestal reken je het uit met de wet van de totale kans: P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|niet A) × (1 − P(A)). Dat is de eerste invoermodus hier. Als je P(B) al kent — uit enquêtegegevens bijvoorbeeld — gebruik dan de tweede modus, en de calculator berekent de impliciete P(B|niet A).

Wat zijn sensitiviteit en specificiteit?

Sensitiviteit is het aandeel mensen met de aandoening dat positief test, P(positief|aandoening). Specificiteit is het aandeel mensen zonder de aandoening dat negatief test, P(negatief|geen aandoening). Het fout-positief percentage dat deze calculator vraagt, is 1 − specificiteit, dus een test met 91% specificiteit heeft een fout-positief percentage van 9%.

Wat is de basisfrequentiefout?

Het is een kans beoordelen op basis van hoe goed het bewijs erbij past, terwijl je negeert hoe vaak het iets in de eerste plaats voorkomt. Bij een zeldzame aandoening komt zelfs een positief resultaat van een nauwkeurige test meestal van iemand zonder de aandoening, omdat er zoveel meer van hen zijn.

Kan ik de stelling van Bayes gebruiken met meer dan twee uitkomsten?

Ja. Bij meerdere onderling uitsluitende hypothesen A₁, A₂, … wordt de noemer de som van P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) over alle hypothesen. Deze calculator behandelt het veelvoorkomende geval met twee uitkomsten — A of niet A — dat diagnostische tests, screening en de meeste leerboekvoorbeelden dekt.