حاسبة نظرية بايز

تعمل أيضًا كسور مثل 1/250، والقيم المكتوبة بعلامة %.

كيفية استخدام حاسبة نظرية بايز

1. 1. اختر ما تعرفه. عادةً الاحتمال القبلي P(A)، واحتمال الدليل إذا كان A صحيحًا P(B|A)، وإذا كان A خاطئًا P(B|ليس A). وإذا كنت تعرف الاحتمال الكلي P(B) بدلًا من ذلك، فانتقل إلى الخيار الثاني.
2. 2. اختر النسب المئوية أو الكسور العشرية. في وضع النسب المئوية اكتب 1 لتعني 1%، وفي وضع الكسور العشرية اكتب 0.01. والكسور مثل 1/250 تعمل في الوضعين.
3. 3. اقرأ P(A|B). يظهر الاحتمال البعدي مع P(B)، والاحتمالات بعد نتيجة سلبية، وهي P(A|ليس B) وP(ليس A|ليس B).
4. 4. راجع جدول الأشخاص. الأرقام نفسها معبّرًا عنها بأعداد من 1,000 أو 10,000 أو 100,000 شخص توضح مصدر الجواب.

صيغة بايز

P(A) هو الاحتمال القبلي — مدى احتمال A قبل أن ترى الدليل. وP(B|A) هو احتمال الدليل إذا كان A صحيحًا، وP(B|ليس A) احتماله إذا كان A خاطئًا. أما P(B) فهو مدى تكرار الدليل بوجه عام. والنتيجة P(A|B) هي الاحتمال البعدي: مدى احتمال A الآن بعد أن رأيت B. وفي الاختبار التشخيصي تقابل هذه الكميات: معدل الانتشار، والحساسية، ومعدل الإيجابيات الكاذبة (1 − النوعية)، والقيمة التنبؤية الإيجابية.

المثال الكلاسيكي لاختبار طبي

تصيب حالة ما 1% من الناس. يكشف اختبار فحص الحالة في 90% من الأحوال (الحساسية)، لكنه يعطي نتيجة إيجابية أيضًا لـ9% من الأشخاص غير المصابين. ظهرت نتيجة شخص ما إيجابية. فما مدى احتمال أن يكون مصابًا؟ يخمّن كثيرون رقمًا قريبًا من 90%. أما نظرية بايز فتقول: P(B) = 0.9 × 0.01 + 0.09 × 0.99 = 0.0981، إذن P(A|B) = 0.009 ÷ 0.0981 = 9.17%.

عند عدّ الأشخاص يصبح الجواب واضحًا: من بين 981 نتيجة إيجابية، لا تأتي من مصابين إلا 90، وإن 90 ÷ 981 = 9.17%. والاختبار ليس سيئًا؛ فالحالة نادرة، لذلك تطغى الإيجابيات الكاذبة البالغة 9% بين 9,900 شخص سليم على الإيجابيات الصحيحة بين 100 مريض. وقد بيّن عالما النفس غيرد غيغرنزر وأولريش هوفراجه (1995) أن عرض المسائل في صورة تكرارات طبيعية كهذه يجعل الناس يستدلون بدقة أكبر بكثير من عرضها في صورة احتمالات.

لماذا يهم الاحتمال القبلي كثيرًا

أبقِ الاختبار نفسه وطبّقه حيث تصيب الحالة 10% من المرضى — عيادة متخصصة لا فحص للسكان — فستكون النتيجة الإيجابية احتمال إصابة بنسبة 52.63%. أو أعد الاختبار: إذا رفعت النتيجة الإيجابية الأولى الاحتمال إلى 9.17%، فاستخدمه احتمالًا قبليًا جديدًا، وستجعل نتيجة إيجابية ثانية (من اختبار مستقل بالدقة نفسها) الاحتمال 50.25%. لهذا تؤكد برامج الفحص النتائج الإيجابية باختبار ثانٍ، ولهذا يعني الدليل نفسه أشياء مختلفة في مجموعات مختلفة.

تجاهل الاحتمال القبلي هو مغالطة معدل الأساس، وليست مشكلة طبية وحدها. فمرشحات البريد المزعج والأدلة الجنائية وتنبيهات الاحتيال ومصنِّفات تعلم الآلة كلها تواجهها: حين يكون الشيء الذي تبحث عنه نادرًا، تكون معظم الإنذارات كاذبة حتى لو كان الكاشف جيدًا.

الأسئلة الشائعة

ما نظرية بايز بعبارة بسيطة؟

هي قاعدة لتحديث الاحتمال عند ظهور دليل جديد. تبدأ باحتمال وقوع الشيء قبل الدليل (القبلي)، وتزن مدى كون الدليل أرجح إذا كان الشيء صحيحًا منه إذا كان خاطئًا، فتحصل على الاحتمال المحدَّث (البعدي). والصيغة هي P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B).

ما الفرق بين P(A|B) وP(B|A)؟

يجيبان عن سؤالين متعاكسين. P(B|A) هو احتمال نتيجة إيجابية إذا كنت مصابًا، أي الحساسية، وهي 90% في المثال. أما P(A|B) فهو احتمال أن تكون مصابًا إذا ظهرت نتيجتك إيجابية، وهو 9.17% في المثال. والخلط بينهما، أي مغالطة قلب الشرطية، أو في المحكمة مغالطة المدعي العام، من أكثر الأخطاء شيوعًا في الاستدلال بالأدلة.

كيف أجد P(B) في نظرية بايز؟

عادةً تحسبه بقانون الاحتمال الكلي: P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|ليس A) × (1 − P(A)). وهذا هو وضع الإدخال الأول هنا. وإذا كنت تعرف P(B) مسبقًا — من بيانات مسح مثلًا — فاستخدم الوضع الثاني، فستحسب الحاسبة P(B|ليس A) الضمني.

ما الحساسية والنوعية؟

الحساسية هي نسبة المصابين الذين تظهر نتيجتهم إيجابية، أي P(إيجابية|مصاب). والنوعية هي نسبة غير المصابين الذين تظهر نتيجتهم سلبية، أي P(سلبية|غير مصاب). ومعدل الإيجابيات الكاذبة الذي تطلبه هذه الحاسبة هو 1 − النوعية، فالاختبار الذي نوعيته 91% معدل إيجابياته الكاذبة 9%.

ما مغالطة معدل الأساس؟

هي الحكم على احتمال شيء من مدى تطابق الدليل معه، مع تجاهل مدى شيوعه أصلًا. فحين تكون الحالة نادرة، تأتي حتى النتيجة الإيجابية لاختبار دقيق غالبًا من شخص غير مصاب، لأن عدد غير المصابين أكبر بكثير.

هل يمكنني استخدام نظرية بايز مع أكثر من نتيجتين؟

نعم. مع فرضيات متنافية A₁ وA₂ وغيرها، يصبح المقام مجموع P(B|Aᵢ) × P(Aᵢ) على جميعها. وتتعامل هذه الحاسبة مع الحالة الشائعة ذات النتيجتين — A أو ليس A — وهي تغطي الاختبارات التشخيصية والفحص وأغلب المسائل المدرسية.