حاسبة الاحتمالات
احسب فرصة حدث واحد من النتائج المواتية والإجمالية، واجمع حدثين مستقلين بـ«و» أو «أو»، أو أوجد احتمال ألا يقع حدث. أدخِل الاحتمالات ككسور عشرية أو نسب مئوية أو كسور اعتيادية، وسترى كل صيغة محلولة بأرقامك. مجاني ودون تسجيل.
حدث واحد
P = 0.1667 (16.6667%)
P(الحدث) = النتائج المواتية ÷ الإجمالي = 1 ÷ 6 = 0.1667
كنسبة مئوية: 0.1667 × 100 = 16.6667%
احتمالات لصالح الحدث: 1 مواتية مقابل 5 غير مواتية = 1 : 5
حدثان مستقلان — و / أو
P(A و B) = 0.0833 (8.3333%)
P(A و B) = P(A) × P(B)
= 0.5 × 0.1667 = 0.0833
P(A أو B) = 0.5833 (58.3333%)
P(A أو B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B)
= 0.5 + 0.1667 − 0.0833 = 0.5833
ملاحظة صريحة: تفترض هذه الصيغ أن A وB مستقلان، فوقوع أحدهما لا يغيّر احتمال الآخر. أما الأحداث غير المستقلة، مثل سحب أوراق دون إعادتها، فلا تنطبق عليها هذه الصيغ.
المتمِّم — P(ليس A)
P(ليس A) = 0.7 (70%)
P(ليس A) = 1 − P(A)
= 1 − 0.3 = 0.7
كيفية استخدام حاسبة الاحتمالات
- 1. حدث واحد. أدخِل عدد النتائج المواتية والعدد الإجمالي للنتائج متساوية الاحتمال (أعداد صحيحة، والمواتية لا تزيد عن الإجمالي). تحصل على الاحتمال كعدد عشري ونسبة مئوية، إضافةً إلى الاحتمالات (odds) لصالح الحدث.
- 2. حدثان. أدخِل P(A) وP(B) ككسر عشري (0.5)، أو نسبة مئوية (50%)، أو كسر اعتيادي (1/2). تحصل على P(A و B) وP(A أو B) للأحداث المستقلة. والرقم المجرّد الأكبر من 1 يُقرأ نسبة مئوية، فالعدد 2 يعني 2%، لا 200%.
- 3. المتمِّم. أدخِل P(A) بالصيغ نفسها، واحصل على P(ليس A) = 1 − P(A).
- 4. اقرأ الحل. تعرض كل نتيجة صيغتها وحسابها، مقرّبة إلى أربع منازل عشرية.
الصيغ
- حدث واحد: P = النتائج المواتية ÷ الإجمالي. ظهور الرقم 6 عند رمي نرد عادل هو 1 ÷ 6 = 0.1667، أو 16.67%، مع احتمالات 1 : 5 لصالح الحدث.
- «و» للأحداث المستقلة: P(A و B) = P(A) × P(B). يجب أن يقع الحدثان معًا، لذا تضرب الاحتمالات.
- «أو» للأحداث المستقلة: P(A أو B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B). الجمع يحسب منطقة التداخل مرتين، لذا نطرح نسخة واحدة منها.
- المتمِّم: P(ليس A) = 1 − P(A).
تُظهر العملة الصورة (50%) ويُظهر النرد الرقم 6 (1/6)
P(A و B) = 0.5 × 0.1667 = 0.0833، أي نحو 8.33%
P(A أو B) = 0.5 + 0.1667 − 0.0833 = 0.5833، أي نحو 58.33%
P(ليس B) = 1 − 0.1667 = 0.8333، أي نحو 83.33%
أسئلة «على الأقل واحد»
المتمِّم هو أسرع طريق إلى «على الأقل واحد»: P(على الأقل واحد) = 1 − P(لا شيء). ولرميتين لنرد ونريد 6 واحدة على الأقل، فاحتمال ألا تظهر 6 في أي من الرميتين هو 5/6 × 5/6 = 0.6944، فتكون الإجابة 1 − 0.6944 = 0.3056، أي نحو 30.56%. وإدخال 1/6 و1/6 في قسم الحدثين وقراءة P(A أو B) يعطي النتيجة نفسها، 0.3056. ولثلاث رميات أو أكثر، اضرب احتمال «لا 6» مرارًا، ثم خذ المتمِّم.
متى لا تنطبق الصيغ
- أحداث غير مستقلة. سحب ورقتين دون إعادة الأولى يغيّر احتمال الثانية، لذا فضرب الاحتمالات الأصلية خطأ. تفترض سطور «و» و«أو» هنا الاستقلال؛ استخدم الاحتمال الشرطي أو حاسبة التوزيع فوق الهندسي بدلًا منها.
- أحداث متنافية. إذا لم يقع الحدثان معًا، كظهور 2 أو 5 على نرد واحد، فإن P(A أو B) هي ببساطة P(A) + P(B). حد التداخل صفر، وسطر «أو» في هذه الحاسبة سيعطي إجابة أقل من الصحيحة إذا أدخلت الاحتمالين كأنهما مستقلان.
- نتائج غير متساوية الاحتمال. تفترض صيغة الحدث الواحد أن كل النتائج متساوية الاحتمال. النرد المنحاز أو المؤشر غير المتوازن يحتاجان إلى الاحتمال الفردي لكل نتيجة.
- الاحتمال مقابل الاحتمالات (odds). فرصة 1 من 6 هي احتمال 1/6، واحتمالات 1 : 5 لصالح الحدث؛ وهما ليسا العدد نفسه.
أي أداة تحتاج؟
| تريد… | استخدم |
|---|---|
| احتمالات الحدث الواحد و«و» و«أو» والنفي | حاسبة الاحتمالات هذه |
| معرفة عدد طرق ترتيب الأشياء أو اختيارها | حاسبة التباديل والتوافيق |
| احتمال k نجاحًا في n محاولة | حاسبة توزيع ذي الحدين |
| تحديث احتمال عندما ترى دليلًا | حاسبة نظرية بايز |
| المتوسط الناتج عبر تجارب كثيرة | حاسبة القيمة المتوقعة |
الأسئلة الشائعة
- كيف أحسب احتمال حدث واحد؟
- اقسم عدد النتائج المواتية على العدد الإجمالي للنتائج متساوية الاحتمال. احتمال ظهور الرقم 6 عند رمي نرد عادل هو 1 ÷ 6 ≈ 0.1667، أي نحو 16.67%.
- كيف أحسب احتمال وقوع حدثين معًا؟
- بالنسبة للأحداث المستقلة، اضرب الاحتمالين: P(A و B) = P(A) × P(B). واحتمال ظهور الصورة في رميتين لعملة عادلة هو 0.5 × 0.5 = 0.25.
- كيف أحسب احتمال وقوع A أو B؟
- بالنسبة للأحداث المستقلة، P(A أو B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B). يزيل الطرح منطقة التداخل التي يقع فيها الحدثان معًا، حتى لا تُحسب مرتين. أما الأحداث المتنافية فلا تداخل بينها، فتجمع الاحتمالين ببساطة.
- ما هو المتمِّم في الاحتمالات؟
- متمِّم الحدث هو ألا يقع: P(ليس A) = 1 − P(A). إذا كان احتمال هطول المطر 30%، فاحتمال ألا يهطل 70%. وهو الاختصار المناسب لمسائل «على الأقل واحد».
- ماذا تعني «الأحداث المستقلة»؟
- يكون حدثان مستقلين عندما لا يغيّر وقوع أحدهما احتمال وقوع الآخر، كرميتين منفصلتين لعملة. وصيغتا «و» و«أو» في هذه الصفحة تفترضان الاستقلال، فتعطيان إجابات خاطئة للأحداث غير المستقلة، مثل سحب أوراق دون إعادتها.
- ما الفرق بين الاحتمال والاحتمالات (odds)؟
- الاحتمال يقارن النتائج المواتية بجميع النتائج، أما الاحتمالات (odds) فتقارن المواتية بغير المواتية. فالفرصة 1 من 6 هي احتمال 1/6، واحتمالات 1 : 5 لصالح الحدث.