حاسبة التباديل والتوافيق
أدخِل n (إجمالي العناصر) وَr (العناصر المختارة) لحساب nPr وَnCr جنبًا إلى جنب، مع حل الصيغ العاملية باستخدام أرقامك — وشرح مبسَّط لمتى يكون الترتيب مهمًا.
nPr وَnCr
التباديل — الترتيب مهم (10P3)
720
10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!
10! ÷ 7! يُختصر إلى حاصل ضرب أعلى 3 عوامل:
10 × 9 × 8 = 720
التوافيق — الترتيب غير مهم (10C3)
120
10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)
10C3 = 10P3 ÷ 3! — احذف 6 ترتيبات لكل اختيار:
720 ÷ 6 = 120
متى يكون الترتيب مهمًا؟
الترتيب مهم ← تبديل (nPr). قفل الرموز هو المثال الكلاسيكي: في قفل رمز مكوَّن من 3 خانات يستخدم الأرقام 1 و2 و3، يكون الرمزان 1-2-3 وَ3-2-1 مختلفين — نفس الأرقام الثلاثة بترتيب مختلف لن تفتح القفل. منصات التتويج (الأول والثاني والثالث)، وكلمات المرور، وترتيب الجلوس تعمل كلها بالطريقة نفسها.
الترتيب غير مهم ← توافق (nCr). إضافات البيتزا هي المثال الكلاسيكي: البيتزا التي تحتوي على فطر وزيتون وفلفل هي نفس البيتزا التي تحتوي على فلفل وزيتون وفطر تمامًا. اللجان، واختيارات أرقام اليانصيب، وأوراق اللعب هي توافيق أيضًا.
لهذا السبب لا يكون nCr أكبر من nPr أبدًا: كل اختيار غير مرتَّب لعدد r من العناصر يقابله r! ترتيب مختلف، لذا nCr = nPr ÷ r!.
الأسئلة الشائعة
- ما الفرق بين التباديل والتوافيق؟
- يحسب التبديل الترتيبات المرتَّبة — اختيار المركز الأول والثاني والثالث تبديل. يحسب التوافق الاختيارات غير المرتَّبة — اختيار 3 أشخاص للجنة توافق. لنفس قيمتَي n وَr، يكون nPr دائمًا أكبر من أو يساوي nCr.
- ما صيغة nPr؟
- nPr = n! ÷ (n − r)!. عمليًا هذا هو حاصل الضرب n × (n − 1) × … × (n − r + 1)، وهذه بالضبط هي الطريقة التي تحسبها بها هذه الحاسبة — دون الحاجة إلى حساب العوامل الكاملة.
- ما صيغة nCr؟
- nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). تساوي nPr مقسومة على r!، لأن كل اختيار غير مرتَّب لعدد r من العناصر يمكن ترتيبه بـ r! طريقة مختلفة.
- لماذا الإدخال محدود بـ n ≤ 170؟
- 170! هو أكبر قيمة عاملية تسعها الأرقام العشرية العائمة في JavaScript؛ وتتجاوز 171! هذا الحد إلى ما لا نهاية. ضمن الحد المسموح، تُعرَض النتائج الكبيرة جدًا بالترميز العلمي.
- هل "مجموعة" رمز القفل توافق حقًّا؟
- لا — رياضيًا هي تبديل، لأن 1-2-3 وَ3-2-1 يفتحان قفلين مختلفين. الترتيب مهم هنا، لذا فإن "قفل التباديل" هو الاسم الدقيق.