ما الفرق بين التباديل والتوافيق؟

يعدّ التبديل الترتيبات المرتَّبة، مثل من ينهي السباق أولًا وثانيًا وثالثًا. ويعدّ التوفيق الاختيارات غير المرتَّبة، مثل من يجلس في لجنة مكوَّنة من ثلاثة أشخاص. ولنفس قيمتي n وr، لا يكون nPr أصغر من nCr أبدًا.

nPr = n! ÷ (n − r)!، وهي تساوي حاصل الضرب n × (n − 1) × … × (n − r + 1). وفي 10P3 يكون 10 × 9 × 8 = 720.

nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)، وتساوي nPr ÷ r!. وفي 10C3 يكون 720 ÷ 6 = 120.

كيف أحسب احتمالات الفوز في اليانصيب؟

إذا اخترت k رقمًا من n ولم يهم الترتيب، فعدد التذاكر الممكنة هو nCk. وسحب 6 من 49 يعطي 49C6 = 13,983,816، لذا تفوز تذكرة واحدة بالجائزة الكبرى باحتمال 1 ÷ 13,983,816.

لماذا يُقيَّد الإدخال بـ n ≤ 170؟

170! هو أكبر عاملية تتسع لها الأعداد العشرية العائمة العادية، أما 171! فيفيض إلى ما لا نهاية. وضمن الحد، تُعرض النتائج الكبيرة بالترميز العلمي، وتكون تقريبية بعد نحو خمسة عشر رقمًا.

هل رمز القفل توافيق حقًّا؟

لا، فرياضيًا هو تبديل، لأن 1-2-3 و3-2-1 رمزان مختلفان. الترتيب مهم هنا، لذا فإن «قفل التباديل» هو الاسم الدقيق.

حاسبة التباديل والتوافيق

أدخِل إجمالي العناصر n والعدد الذي تختاره r، لتحصل على عدد التباديل (nPr، يهم فيه الترتيب) والتوافيق (nCr، لا يهم فيه الترتيب) جنبًا إلى جنب. تعرض كل نتيجة صيغتها وخطوات حلها، ويشرح دليل قصير أيّهما تحتاج إليه مسألتك. مجانية ودون تسجيل.

nPr وnCr

إجمالي العناصر (n)

العناصر المختارة (r)

التباديل — الترتيب مهم (10P3)

720

10P3 = 10! ÷ (10 − 3)! = 10! ÷ 7!

10! ÷ 7! يُختصر إلى حاصل ضرب أعلى 3 عوامل:

10 × 9 × 8 = 720

التوافيق — الترتيب غير مهم (10C3)

120

10C3 = 10! ÷ (3! × (10 − 3)!) = 10! ÷ (3! × 7!)

10C3 = 10P3 ÷ 3! — اقسم على عدد الترتيبات الممكنة لكل اختيار (6):

720 ÷ 6 = 120

متى يهم الترتيب؟

الترتيب مهم ← تبديل (nPr). قفل الرموز هو المثال الكلاسيكي: في قفل رمز مكوَّن من 3 خانات يستخدم الأرقام 1 و2 و3، يكون الرمزان 1-2-3 وَ3-2-1 مختلفين — نفس الأرقام الثلاثة بترتيب مختلف لن تفتح القفل. منصات التتويج (الأول والثاني والثالث)، وكلمات المرور، وترتيب الجلوس تعمل كلها بالطريقة نفسها.

الترتيب غير مهم ← توافيق (nCr). إضافات البيتزا هي المثال الكلاسيكي: البيتزا التي تحتوي على فطر وزيتون وفلفل هي نفس البيتزا التي تحتوي على فلفل وزيتون وفطر تمامًا. واللجان، واختيارات أرقام اليانصيب، وأوراق اللعب هي توافيق أيضًا.

لهذا السبب لا يكون nCr أكبر من nPr أبدًا: كل اختيار غير مرتَّب لعدد r من العناصر يقابله r! ترتيب مختلف، لذا nCr = nPr ÷ r!.

كيفية استخدام حاسبة التباديل والتوافيق

1. أدخِل n. وهو إجمالي العناصر المتمايزة التي تختار منها. تقبل الحاسبة الأعداد الصحيحة من 0 إلى 170، وتبدأ من 10.
2. أدخِل r. وهو عدد العناصر التي تختارها، من 0 حتى n. وتبدأ من 3.
3. اقرأ النتيجتين. يعدّ nPr الترتيبات المرتَّبة، ويعدّ nCr الاختيارات غير المرتَّبة. وتعرض كل بطاقة صيغتها، والحاصل المختصر الذي تُختزل إليه العاملية، ثم الإجابة.
4. اختر الصحيحة. يشرح اللوح أسفل النتيجة متى يهم الترتيب، مع أمثلة.

الصيغ

التباديل: nPr = n! ÷ (n − r)!. عمليًا هو حاصل الضرب n × (n − 1) × … × (n − r + 1)، ويضم r عاملًا.
التوافيق: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. يمكن ترتيب كل اختيار غير مرتّب لعدد r من العناصر بـ r! طريقة، لذا فقسمة nPr على r! تزيل التكرار.
كلاهما يفترض عدم التكرار: يمكن استخدام كل عنصر مرة واحدة. أما الاختيار مع التكرار فيستخدم nʳ للاختيارات المرتبة و(n + r − 1)! ÷ (r! × (n − 1)!) للاختيارات غير المرتبة، وهذه الحاسبة لا تحسبهما.

اختيار 3 من 10 (القيم الابتدائية)

10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 ترتيبًا

10C3 = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 اختيارًا غير مرتّب

متى يهم الترتيب؟ أربع حالات محلولة

الحالة	النوع	العدد
ذهبية وفضية وبرونزية بين 8 عدّائين	تبديل، 8P3	336
لجنة من 3 أشخاص تُختار من 10	توافيق، 10C3	120
أوراق بوكر مكوّنة من خمس ورقات من 52 ورقة	توافيق، 52C5	2,598,960
خمسة مناصب مختلفة تُشغل من 52 عضوًا	تبديل، 52P5	311,875,200
ستة أرقام تُسحب من 49 في يانصيب (الترتيب لا يهم)	توافيق، 49C6	13,983,816

كل مجموعة غير مرتبة من 5 عناصر يمكن ترتيبها بـ 5! = 120 طريقة، ولهذا فإن 52P5 ÷ 52C5 = 120. أما «التركيبة» في القفل فهي في الحقيقة تبديل، لأن 1-2-3 و3-2-1 تفتحان قفلين مختلفين.

حدود ينبغي معرفتها

n محدود بـ 170. إن 170! تساوي تقريبًا 7 × 10³⁰⁶، وهو أكبر عاملية يحتويها عدد عشري عائم عادي. وما بعدها يفيض الحساب.
الإجابات الكبيرة تقريبية. تُعرض النتائج التي تقل عن 10¹⁵ أعدادًا صحيحة. وما فوق ذلك يظهر بالترميز العلمي، والأرقام بعد نحو خمسة عشر رقمًا ليست دقيقة، لذا استخدم أداة أعداد صحيحة كبيرة إن احتجت كل الأرقام.
العناصر المتطابقة مختلفة. ترتيبات الأحرف في MISSISSIPPI ليست 11P11، لأن الأحرف المكررة لا تُميَّز. اقسم بدلًا من ذلك على عاملية عدد كل تكرار.
لا يجوز أن تكون r أكبر من n. لا يمكنك اختيار عناصر متمايزة أكثر مما لديك دون تكرار.

أي أداة تحتاج؟

تريد	استخدم
عدد الاختيارات المرتبة أو غير المرتبة	هذه الحاسبة
احتمال نتيجة مواتية	حاسبة الاحتمالات
n! وحدها	Factorial Calculator
احتمال k من النجاحات في n محاولة	Binomial Distribution Calculator
احتمال سحب مزيج معين دون إرجاع	Hypergeometric Distribution Calculator

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين التباديل والتوافيق؟: يعدّ التبديل الترتيبات المرتَّبة، مثل من ينهي السباق أولًا وثانيًا وثالثًا. ويعدّ التوفيق الاختيارات غير المرتَّبة، مثل من يجلس في لجنة مكوَّنة من ثلاثة أشخاص. ولنفس قيمتي n وr، لا يكون nPr أصغر من nCr أبدًا.
ما صيغة nPr؟: nPr = n! ÷ (n − r)!، وهي تساوي حاصل الضرب n × (n − 1) × … × (n − r + 1). وفي 10P3 يكون 10 × 9 × 8 = 720.
ما صيغة nCr؟: nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)، وتساوي nPr ÷ r!. وفي 10C3 يكون 720 ÷ 6 = 120.
كيف أحسب احتمالات الفوز في اليانصيب؟: إذا اخترت k رقمًا من n ولم يهم الترتيب، فعدد التذاكر الممكنة هو nCk. وسحب 6 من 49 يعطي 49C6 = 13,983,816، لذا تفوز تذكرة واحدة بالجائزة الكبرى باحتمال 1 ÷ 13,983,816.
لماذا يُقيَّد الإدخال بـ n ≤ 170؟: 170! هو أكبر عاملية تتسع لها الأعداد العشرية العائمة العادية، أما 171! فيفيض إلى ما لا نهاية. وضمن الحد، تُعرض النتائج الكبيرة بالترميز العلمي، وتكون تقريبية بعد نحو خمسة عشر رقمًا.
هل رمز القفل توافيق حقًّا؟: لا، فرياضيًا هو تبديل، لأن 1-2-3 و3-2-1 رمزان مختلفان. الترتيب مهم هنا، لذا فإن «قفل التباديل» هو الاسم الدقيق.